Двійкова сс таблиці. Бінарні числа: двійкова система числення. Чому зручна двійкова система

У курсі інформатики, незалежно, шкільному чи університетському, особливе місце приділяється такому поняттю як системи числення. Як правило, на нього виділяють кілька уроків чи практичних занять. Основна мета - не тільки засвоїти основні поняття теми, вивчити види систем числення, але й познайомитись із двійковою, вісімковою та шістнадцятковою арифметикою.

Що це означає?

Почнемо із визначення основного поняття. Як зазначає підручник "Інформатика", система числення – записи чисел, у якій використовується спеціальний алфавіт чи певний набір цифр.

Залежно від того, чи змінюється значення цифри від її положення в числі, виділяють дві: позиційну та непозиційну системи числення.

У позиційних системах значення цифри змінюється разом із її становищем в числі. Так, якщо взяти число 234, то цифра 4 у ній означає одиниці, а якщо розглянути число 243, то тут вона вже означатиме десятки, а не одиниці.

У непозиційних системах значення цифри статично, незалежно від її становища в числі. Найбільш яскравий приклад – паличкова система, де кожна одиниця позначається за допомогою рисочки. Не має значення, куди ви припишіть паличку, значення числа зміниться лише на одиницю.

Непозиційні системи

До непозиційних систем числення відносяться:

1. Поодинока система, яка вважається однією з перших. У ній замість цифр використовувалися палички. Чим їх було більше, тим більше значення числа. Зустріти приклад чисел, записаних таким чином, можна у фільмах, де йдеться про втрачених у морі людей, ув'язнених, які відзначають щодня за допомогою зарубок на камені чи дереві.
2. Римська, де замість цифр використовувалися латинські літери. Використовуючи їх, можна записати будь-яке число. У цьому його значення визначалося з допомогою суми та різниці цифр, у тому числі складалося число. Якщо ліворуч від цифри знаходилося менше число, то ліва цифра віднімалася з правої, а якщо справа цифра була меншою або дорівнює цифрі ліворуч, то їх значення підсумовувалися. Наприклад, число 11 записувалося як XI, а 9 – IX.
3. Літерні, у яких числа позначалися за допомогою алфавіту тієї чи іншої мови. Однією їх вважається слов'янська система, у якій ряд букв мав як фонетичне, а й числове значення.
4. в якій використовувалося всього два позначення для запису - клини та стрілочки.
5. У Єгипті теж використовувалися спеціальні символи позначення чисел. При записі числа кожен символ міг використовуватись не більше дев'яти разів.

Позиційні системи

Велика увага приділяється інформатиці позиційним системам числення. До них відносяться такі:

• двійкова;
• вісімкова;
• десяткова;
• шістнадцяткова;
• шістдесяткова, що використовується при рахунку часу (наприклад, у хвилині - 60 секунд, у годині - 60 хвилин).

Кожна з них має свій алфавіт для запису, правила перекладу і виконання арифметичних операцій.

Десяткова система

Ця система є для нас найбільш звичною. У ній використовуються цифри від 0 до 9 для запису чисел. Вони також звуться арабських. Залежно від положення цифри в числі вона може позначати різні розряди - одиниці, десятки, сотні, тисячі або мільйони. Її ми користуємося повсюдно, знаємо основні правила, якими виробляються арифметичні операції над числами.

Двійкова система

Одна з основних систем числення в інформатиці – двійкова. Її простота дозволяє комп'ютеру проводити громіздкі обчислення в кілька разів швидше, ніж у десятковій системі.

Для запису чисел використовується лише дві цифри - 0 і 1. При цьому залежно від положення 0 або 1 в числі його значення буде змінюватися.

Спочатку саме за допомогою комп'ютера отримували всю необхідну інформацію. При цьому одиниця означала наявність сигналу, що передається за допомогою напруги, а нуль - його відсутність.

Вісімкова система

Ще одна відома комп'ютерна система числення, у якій застосовуються цифри від 0 до 7. Застосовувалася переважно у тих галузях знань, що з цифровими пристроями. Але останнім часом вона використовується значно рідше, тому що на зміну їй прийшла шістнадцяткова система числення.

Двійково-десяткова система

Подання великих чисел у двійковій системі для людини – процес досить складний. Для його спрощення була розроблена Використовується вона зазвичай в електронному годиннику, калькуляторах. У цій системі з десяткової системи в двійкову перетворюється не все число, а кожна цифра переводиться у відповідний набір нулів і одиниць у двійковій системі. Аналогічно відбувається і переведення з двійкової системи до десяткової. Кожна цифра, представлена ​​у вигляді чотиризначного набору нулів та одиниць, перетворюється на цифру десяткової системи числення. В принципі немає нічого складного.

Для роботи з числами в даному випадку знадобиться таблиця систем числення, в якій буде зазначено відповідність між цифрами та їх двійковим кодом.

Шістнадцяткова система

Останнім часом все більшої популярності набуває в програмуванні та інформатиці система числення шістнадцяткова. У ньому використовуються як цифри від 0 до 9, а й ряд латинських літер - A, B, C, D, E, F.

При цьому кожна з літер має своє значення, так A=10, B=11, C=12 і так далі. Кожне число представляється як набору з чотирьох знаків: 001F.

Переклад чисел: з десяткового до двійкового

Переклад у системах числення чисел відбувається за певними правилами. Найчастіше зустрічається переведення з двійкової до десяткової системи і навпаки.

Для того щоб перевести число з десяткової системи в двійкову, необхідно послідовно ділити його на основу системи числення, тобто число два. При цьому залишок від кожного поділу необхідно фіксувати. Так відбуватиметься доти, поки залишок від розподілу не буде меншим або дорівнює одиниці. Проводити обчислення найкраще у стовпчик. Потім отримані залишки від розподілу записуються в рядок у зворотному порядку.

Наприклад, переведемо число 9 у двійкову систему:

Ділимо 9, так як число не ділиться націло, беремо число 8, залишок буде 9 - 1 = 1.

Після розподілу 8 на 2 отримуємо 4. Знову ділимо його, тому що число ділиться націло – отримуємо у залишку 4 – 4 = 0.

Проводимо ту саму операцію з 2. У залишку отримуємо 0.

Через війну розподілу ми отримуємо 1.

Незалежно від підсумкової системи числення, переведення чисел з десяткової до будь-якої іншої відбуватиметься за принципом розподілу числа на основу позиційної системи.

Переклад чисел: з двійкової до десяткової

Досить легко переводити числа та в десяткову систему числення з двійкової. Для цього достатньо знати правила зведення чисел у ступінь. В даному випадку, у ступінь двійки.

Алгоритм перекладу наступний: кожну цифру з коду двійкового числа необхідно помножити на двійку, причому перша двійка буде в ступеню m-1, друга - m-2 і так далі, де m - кількість цифр у коді. Потім скласти результати додавання, отримавши ціле число.

Для школярів цей алгоритм можна пояснити простіше:

Для початку беремо та записуємо кожну цифру, помножену на двійку, потім проставляємо ступінь двійки з кінця, починаючи з нуля. Потім складаємо отримане число.

Наприклад розберемо із Вами отримане раніше число 1001, перевівши їх у десяткову систему, і заразом перевіримо правильність наших обчислень.

Виглядатиме це таким чином:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

При вивченні цієї теми зручно використовувати таблицю зі ступенями двійки. Це значно зменшить кількість часу, необхідне проведення обчислень.

Інші варіанти перекладу

У деяких випадках переклад може здійснюватися між двійковою та вісімковою системою числення, двійковою та шістнадцятковою. У такому випадку можна користуватися спеціальними таблицями або запустити на комп'ютері програму калькулятор, обравши у вкладці вид варіант «Програміст».

Арифметичні операції

Незалежно від цього, у вигляді представлене число, із нею можна проводити звичні нам обчислення. Це може бути розподіл і множення, віднімання та додавання в системі числення, яку ви вибрали. Звісно, ​​кожної з них діють свої правила.

Так для двійкової системи розроблено свої таблиці кожної з операцій. Такі ж таблиці використовуються і в інших системах позицій.

Заучувати їх необов'язково – досить просто роздрукувати та мати під рукою. Також можна скористатися калькулятором на комп'ютері.

Одна з найважливіших тем в інформатиці – система числення. Знання цієї теми, розуміння алгоритмів перекладу чисел з однієї системи в іншу - запорука того, що ви зможете розібратися у складніших темах, таких як алгоритмізація та програмування та зможете самостійно написати свою першу програму.

ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ

Окрему позицію у зображенні числа прийнято називати розрядом, а номер позиції – номером розряду. Число розрядів у записі числа називається розрядністю і збігається з його довжиною.

Число - 1 0 0 1 0 1 1 0 1

Розряд - 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Порядковому номеру розряду відповідає його вага — множник, який треба помножити значення розряду у цій системі числення.

ПРИКЛАДИ

число 111 у десятковій системі:

число 101110 у двійковій системі:

одно 46 у десятковій системі

Двійкова: 0,1 (основа = 2)
Десяткова: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (основа = 10)
Шістнадцяткова: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F (основи = 16)

Непозиційні- які містять необмежену кількість символів, причому кількісний еквівалент будь-якої цифри постійний, і залежить лише від її зображення. Позиція цифр серед значення не має.

Приклад:

I = 1
II = 2
III = 3
XXXI = 31

Приклад:

111 = 100 + 10 + 1

ДВОЇЧНА СИСТЕМА

ПРАВИЛА ПЕРЕКЛАДУ З ДЕСЯТИЧНОЇ СИСТЕМИ В ДВІЙНУ СИСТЕМУ

Наприклад, необхідно перевести діяльне число 46 у двійковий вигляд:

Отримуємо число 101110

ПРАВИЛА ДВОЙКОВОГО ДОДАТКУ ТА ПРИМНОЖЕННЯ

СТАНОВЛЕННЯ

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=10

Результат останньої дії означає перенесення одиниці до вищого розряду. Тобто збільшення або зменшення двійкового числа на порядок застосовуються операція зсуву вправо чи вліво (SRR і SRL).

СТАНОВЛЕННЯ У СТВОРЧИК

УМНОЖЕННЯ

Вступ………………………………………………………………………………

I. Поняття двійкової системи числення…………………………………………………………………..

1.1. Історія двійкової системи числення

1.2. Переведення чисел із двійкової системи числення до десяткової

1.3. Переклад десяткового числа в двійкове

ІІ. Чому зручна двійкова система? ………………………………………………

2.1. Переваги двійкової системи

2.2. Недоліки двійкової системи

Висновок …………………………………………………………………………..

Бібліографічний список………………………………………………………....

Вступ:

Хто стоїть біля витоків двійкової системи числення, як і де її почали застосовувати, чому двійкова система числення збереглася донині.

Поняття «число» є ключовим як математики, так інформатики. Люди завжди рахували та записували числа, навіть 5 тисяч років тому. Але записували їх за іншими правилами, хоча в будь-якому випадку число зображалося за допомогою будь-якого або кількох символів, які називалися цифрами.

Мова чисел, як і будь-яка інша, має свій алфавіт. У тій мові чисел, якою ми зазвичай користуємося, алфавітом є десять цифр – від 0 до 9. Це десяткова система числення.

Системою численнями називатимемо спосіб представлення числа символами деякого алфавіту, які називають цифрами.

Причина, через яку десяткова система числення стала загальноприйнятою, зовсім не математична. Десять пальців рук – це апарат для рахунку, яким людина користується з доісторичних часів. Стародавнє написання десяткових цифр:

Поняття двійкової системи числення.

Двійкова система числення- позиційна система числення з основою два. (Позиційна система числення (позиційна нумерація) – система числення, в якій значення кожного числового знака (цифри) у записі числа залежить від його позиції (розряду).

Історія двійкової системи числення.

Думка про двійковій системі належить Лейбніцу, який вважав, що з важких дослідженнях теоретично чисел може мати великі переваги перед десятковою системою. Крім того, при будь-яких арифметичних операціях дії над числами, написаними в бінарній системі, полегшуються найвищою мірою. Єзуїт Буве (Bouvet), місіонер у Китаї, якому Лейбніц писав про свій винахід, повідомив йому, що в Китаї існує загадковий напис, який можна пояснити бінарною системою. Напис цей, який приписують імператору Фо-ги, котрий жив у 25 столітті до зв. е., засновнику Китайської імперії, покровителю наук і мистецтв, не могла бути пояснена китайськими вченими, які вважали її не має сенсу. Вона складається з низки довгих і коротких рисочок. Якщо прийняти, що довга риса означає 1, а коротка 0, весь напис виявляється просто поруч натуральних чисел, написаних по двійковій системі. Ось цей напис:

Двійкова система числення виявилася зручною для використання в ЕОМ. Використання двійкової системи виявилося найефективнішим в електронних схемах: цифри 0 і 1 зручно кодувати рівнями напруги, що відповідає напрузі на шинах живлення, „0“ і „+V“; використання більшої кількості рівнів спричинило б ускладнення схем. Хоча були прецеденти створення та троїчних ЕОМ.

У двійковій системі числення використовуються лише дві цифри 0 і 1. Іншими словами, двійка є основою двійкової системи числення. (Аналогічно у десяткової системи основа 10.)

Щоб навчитися розуміти числа у двійковій системі числення, спочатку розглянемо, як формуються числа у звичній нам десятковій системі числення.

У десятковій системі числення ми маємо десять знаків-цифр (від 0 до 9). Коли рахунок сягає 9, то вводиться новий розряд (десятки), а одиниці обнулюються і рахунок починається знову. Після 19 розряд десятків збільшується на 1, а одиниці знову обнуляються. І так далі. Коли десятки сягають 9, потім з'являється третій розряд – сотні.

Двійкова система числення аналогічна десяткової крім того, що у формуванні числа беруть участь лише дві знака-цифри: 0 і 1. Як тільки розряд досягає своєї межі (тобто одиниці), з'являється новий розряд, а старий обнуляється.

0 – це нуль

1 – це один (і це межа розряду)

10 – це два

11 – це три (і це знову межа)

100 – це чотири

101 – п'ять

110 – шість

111 - сім і т.д.

1.3. Переклад чисел із двійкової системи числення до десяткової:

1. 10001001 = 1*2^{7} + 0*2^{6} + 0*2^{5} + 0*2^{4} + 0*2^{3} + 0*2^{2} + 0* 2^{1} + 0*2^{0} = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Тобто. число 10001001 на підставі 2 дорівнює числу 137 на підставі 10. Записати це можна так:

10001001_{2} = 137_{10}

2. 1011_{2} = 1*2^3 + 0*2*2+1*2^1+1*2^0 =1*8 + 1*2+1=11_{10}

3. 10101010_{2} = 1*2^{7} + 0*2^{6} + 1*2^{5} + 0*2^{4} + 1*2^{3} + 0*2^{2} + 1*2^{1} + 0*2^{0} = 128 + 32 +8 + 2 = 170_{10}

4. 101101_{2} = 1*2^{5} + 0*2^{4} + 1*2^{3} + 1*2^{2} + 0*2^{1} + 1*2^{0} = 63_{10}

5. 100,101_{2} = 1*2^{2} +0*2^{1} + 0*2^{0} + 1*2^{-1} + 0*2^{-2} + 1*2^{-3} = 4 + 2 = 6Елементи змісту не знайдено. _{10}

6. 111101_{2} = 1*2^{5} + 1*2^{4} + 1*2^{3} + 1*2^{2} + 0*2^{1} + 1*2^{0} = 32 +16 + 13 = 61_{10}

7. 1001_{2} = 1*2^{3} + 0*2^{2} + 0*2^{1} + 1*2^{0} = 9

8. 10011,1_{2} = 1*2^{4} + 0*2^{3} + 0*2^{2} + 1*2^{1} + 1*2^{0} + 1*2^{-1} = 19,5

9. 11101,11_{2} = 1*2^{5} + 1*2^{4} + 1*2^{3} + 0*2^{1} +1*2^{0} + 1*2^{-1} = 57,5

10. 100111 = 1*2^{5} + 0*2^{4} + 0*2^{3} +1*2^{2} + 1*2^{1} + 1*2^{0} = 39

1.4. Переклад десяткового числа у двійкове:

Може знадобитися перевести десяткове число у двійкове. Один із способів – це розподіл на два та формування двійкового числа із залишків. Наприклад, потрібно отримати з числа 77 його двійковий запис:

77/2 = 38 (1 залишок)

38/2 = 19 (0 залишок)

19/2 = 9 (1 залишок)

9/2 = 4 (1 залишок)

4/2 = 2 (0 залишок)

2/2 = 1 (0 залишок)

1/2 = 0 (1 залишок)

Збираємо залишки разом, починаючи з кінця: 1001101. Це і є число 77 у двійковому поданні. Перевіримо:

1. 1001101_{10} = 1*2^{6} + 0*2^{5} + 0*2^{4} + 1*2^{3} + 1*2^{2} + 0*2^{1} + 1*2^{0} = 64 + 8 + 5 = 77_{2}

2. 49_(10) = \dfrac( 49 ) ( 2 ) = 110001_(2)

3. 15_(10) = \dfrac( 49 ) ( 2 ) = 1111_(2)

4. 31_(10) = \dfrac( 31 ) ( 2 ) = 11111_(2)

5. 0,45_(10) = \dfrac( 0,45 ) ( 2 ) = 0,11100_(2)

6. 95_(10) = \dfrac( 95 ) (2 ) = 1011111_(2)

7. 102_(10) = \dfrac(102 ) ( 2 ) = 1100110_(2)

8. 58_(10) = \dfrac( 58 ) ( 2 ) = 110100_(2)

9. 4956_(10) = \dfrac( 4956 ) ( 2 ) = 101101011100_(2)

10. 125_(10) = \dfrac( 125 ) ( 2 ) = 10111101_(2)

2. Чому зручна двійкова система?

Варто зазначити, що двійкова система давно була предметом пильної уваги вчених. Офіційне народження двійкової системи числення пов'язане з ім'ям Г.В. Під час роботи ЕОМ постійно відбувається перетворення чисел із десяткової системи числення в двійкову, і навпаки. Та й людині, що має справу з ЕОМ, часто доводиться вдаватися до перетворення чисел.

Ось що писав Лаплас про ставлення великого німецького математика Г.В. Лейбніца до двійкової (бінарної) системи: «У своїй бінарній арифметиці Лейбніц бачив прообраз твору. Йому уявлялося, що одиниця представляє божественне початок, а нуль – небуття і що вища істота створює все, що існує з небуття, точно так само, як одиниця і нуль у його системі виражають усі числа».

Головна перевага двійкової системи – простота алгоритмів складання, віднімання, множення та розподілу. Таблиця множення в ній зовсім не потрібно нічого запам'ятовувати, адже будь-яке число, помножене на нуль, дорівнює нулю, а помножене на одиницю дорівнює самому собі. І при цьому жодних переносів у наступні розряди, а вони є навіть у трійковій системі числення.

Якщо відволіктися від технічних деталей, то саме за допомогою цих операцій і виконуються всі операції в комп'ютері, так як вдалося створити технічні пристрої, що надійно працюють, які можуть зі 100 процентною надійністю зберігати і розпізнавати не більше двох різних станів (цифр):

Електромагнітні реле (замкнене/розімкнуте), широко використовувалися в конструкціях перших ЕОМ;

Ділянка поверхні магнітного носія інформації (намагнічений/розмагнічений);

Ділянка поверхні лазерного диска (відбиває/не відбиває);

Тригер, що може стійко перебувати в одному з двох станів, широко використовується в оперативній пам'яті комп'ютера.

Твердження двійкової арифметики як загальноприйнятої при конструкції ЕОМ з програмним управлінням відбулося під впливом роботи Дж. фон Неймана про проект першої ЕОМ з програмою, що зберігається в пам'яті. Робота написана у 1946 році.

2.1. Переваги двійкової системи числення:

1. Переваги двійкової системи числення полягають у простоті реалізації процесів зберігання, передачі та обробки інформації на комп'ютері.

2. Для її реалізації потрібні елементи із двома можливими станами, а не з десятьма.

3. Подання інформації за допомогою лише двох станів надійне та завадове стійке.

4. Можливість застосування алгебри логіки до виконання логічних перетворень.

5. Двійкова арифметика простіша за десяткову.

2.2. Недоліки двійкової системи числення:

1. Отже, код числа, записаного в двійковій системі числення є послідовністю з 0 і 1. Великі числа займають досить велике число розрядів.

2. Швидке зростання числа розрядів - найважливіший недолік двійкової системи числення.

3.1. Висновок:

У ході вивчення даної теми ми з'ясували, що двійкова система числення набагато старша за електронні машини. Двійковою системою числення люди цікавляться давно. Особливо сильним захоплення було з кінця 16 до 19 століття. Знаменитий Лейбніц вважав двійкову систему числення простою, зручною, красивою. Навіть на його прохання було вибито медаль на честь цієї «діадичної» системи (так називали тоді двійкову систему числення).

Двійкова система числення найбільш проста та зручна для автоматизації.

Наявність у системі лише двох символів спрощує їх перетворення на електричні сигнали.

З будь-якої системи числення можна перейти до бінарного коду.

Багато ЕОМ використовують або безпосередньо двійкову систему числення, або двійкове кодування будь-якої іншої системи числення.

Але двійкова система має й недоліки:

Нею користуються тільки для ЕОМ для внутрішньої та зовнішньої роботи;

Швидке зростання кількості розрядів, необхідних для запису чисел.

бібліографічний список

1. Нестеренко О.В. ЕОМ та професія програміста. М: Просвітництво, 1990.

2. Решетніков В.М., Сотников А.М. Інформатика – що це? М: Радіо і зв'язок, 1989.

3. Фомін С.В. Системи числення. М: Наука, 1987.

4. Інформатика: Системи числення: спецвипуск №42 1995.

5. Інформатика: Семінар №2, №3 2006.

6. Інформатика: У світ інформатики №8 2007.

7. http://www.internet-school.ru/Enc.ashx?item=3773

Звісно, ​​це стосується як процесорів, а й інших складових комп'ютера, наприклад, або . І коли ми говоримо, наприклад, про розрядність шини даних, ми маємо на увазі кількість висновків на шині даних, за якими передаються дані, тобто кількість двійкових цифр в числі, яке може бути передано по шині даних за один раз. Але про розрядність трохи згодом.

Отже, процесор (і комп'ютер загалом) використовує двійкову систему, яка оперує лише двома цифрами: 0 і 1. І тому основа двійкової системиодно 2. Аналогічно, основа десяткової системи дорівнює 10, оскільки використовуються 10 цифр.

Кожна цифра у двійковому числі називається біт(або розряд). Чотири біти – це напівбайт(або зошит), 8 біт – байт, 16 біт – слово, 32 біти – подвійне слово. Запам'ятайте ці терміни, тому що у програмуванні вони використовуються дуже часто. Можливо, вам уже доводилося чути фрази типу слово данихабо байт даних. Тепер, сподіваюся, ви розумієте, що це таке.

Відлік бітів у числі починається з нуля та праворуч. Тобто в двійковому числі молодший біт(нульовий біт) є крайнім праворуч. Зліва знаходиться старший біт. Наприклад, у слові старший біт – це 15-й біт, а байті – 7-й. Наприкінці двійкового числа прийнято додавати літеру b. Таким чином ви (і асемблер) знатимете, що це двійкове число. Наприклад,

101 – це десяткове число 101b – це двійкове число, яке еквівалентне десятковому числу 5. А тепер спробуємо зрозуміти, як формується двійкове число.

Нуль, він і Африці нуль. Тут питань немає. Але що далі. А далі розряди двійкового числа заповнюються зі збільшенням цього числа. Наприклад розглянемо зошит. Зошита (або напівбайт) має 4 біти.

Отже, бачимо, що з формуванні двійкових чисел розряди числа заповнюються нулями і одиницями у певній послідовності:

Якщо молодший дорівнює нулю, ми записуємо туди одиницю. Якщо у молодшому биті одиниця, ми переносимо їх у старший біт, а молодший біт очищаємо. Той самий принцип діє і в десятковій системі:

0…9 10 – очищаємо молодший розряд, а до старшого додаємо 1 Всього для зошита у нас вийшло 16 комбінацій. Тобто в зошит можна записати 16 чисел від 0 до 15. Байт – це вже 256 комбінацій та числа від 0 до 255. Ну і так далі. На рис. 2.2 показано наочно уявлення двійкового числа (подвійне слово).

Рис. 2.2. Двійкове число.

Згадаймо матеріал із систем обчислення. У ньому говорилося, що найзручнішою системою числення для комп'ютерних систем є двійкова система. Дамо визначення цій системі:

Двійковою системою числення називається позиційна система числення, яка має підставою число 2.

Для запису будь-якого числа в двійковій системі числення використовуються лише 2 цифри: 0 і 1.

Загальна форма запису двійкових чисел

Для цілих двійкових чисел можна записати:

Ця форма запису числа «підказує» правило переведення натуральних двійкових чисел у десяткову систему числення: потрібно обчислити суму ступенів двійки, відповідних одиницям у згорнутій формі запису двійкового числа.

Правила складання двійкових чисел

Основні правила складання однобітових чисел

Звідси видно, як і, як й у десятковій системі числення, числа, представлені у двійковій системі числення, складають порозрядно. Якщо розряд переповнюється, одиниця переноситься до наступного розряду.

Приклад додавання двійкових чисел

Правила віднімання двійкових чисел

Але як бути з 0-1 =? Віднімання двійкових чисел трохи відрізняється від віднімання десяткових чисел. І тому використовується кілька способів.

Віднімання методом запозичення

Запишіть двійкові числа один під одним – менше під великим. Якщо менше число має менше цифр, вирівняйте його з правого краю (так, як записуєте десяткові числа при їх відніманні).
Деякі завдання на віднімання двійкових чисел нічим не відрізняються від віднімання десяткових чисел. Запишіть числа один під одним і, починаючи праворуч, знайдіть результат віднімання кожної пари чисел.

Ось кілька простих прикладів:

Розглянемо складніше завдання. Ви повинні запам'ятати лише одне правило, щоб вирішувати завдання на віднімання двійкових чисел. Це правило описує запозичення цифри зліва, щоб ви могли відняти 1 з 0 (0 - 1).

У першому стовпці праворуч ви отримуєте різницю 0 - 1 . Для її обчислення необхідно запозичити цифру зліва (з розряду десятків).

Таким чином, у десятковій системі ця різниця записується у вигляді: 2 – 1 = 1.

Відніміть цифри в стовпцях, що залишилися. Тепер це легко зробити (працюйте зі стовпцями, рухаючись, праворуч наліво):

Віднімання методом доповнення

Запишіть двійкові числа один під одним так, як записуєте десяткові числа при їх відніманні. Цей метод використовується комп'ютерами для віднімання двійкових чисел, оскільки він заснований на ефективнішому алгоритмі.

Якщо значимість чисел різна, до числа з меншою значністю ліворуч припишіть відповідну кількість 0.

У кількості, що віднімається, поміняйте цифри: кожну 1 поміняйте на 0, а кожен 0 на 1.

Насправді ми «забираємо доповнення в одиниці», тобто віднімаємо кожну цифру з 1. Це працює в двійковій системі, оскільки така «заміна» може мати лише два можливі результати: 1 - 0 = 1 та 1 - 1 = 0.

До отриманого віднімається додайте одиницю.

Тепер замість віднімання складіть два двійкові числа.

Перевірте відповідь. Швидкий спосіб – відкрийте двійковий онлайн калькулятор та введіть у нього ваше завдання. Два інших методи мають на увазі перевірку відповіді вручну.

1) Переведемо числа до двійкової системи числення:
Припустимо, що з числа 101101 2 треба відняти 11011 2

2) Позначимо як число A 101101 2 і як число B 11011 2 .

3) Запишемо числа A та B стовпчиком, одне під іншим, починаючи з молодших розрядів (нумерація розрядів починається з нуля).

4) Віднімемо розряд за розрядом з числа A число B записуючи результат C починаючи з молодших розрядів. Правила порозрядного віднімання, для двійкової системи числення представлені у таблиці нижче.

Весь процес складання наших чисел виглядає так:

(червоним шрифтом показано позики з відповідного розряду)

Правила множення двійкових чисел.

Загалом ці правила дуже прості та зрозумілі.

Множення багаторозрядних двійкових чисел відбувається так само як і звичайних. Кожне значний розряд множимо на верхнє число за наведеними правилами, дотримуючись позиції. Примножувати просто - оскільки множення на одиницю дає одне й те саме число.