Повідомлення інші назви теореми піфагору. Стародавні теореми. Історія теореми Піфагора. Подібні геометричні фігури на трьох сторонах

Привидів Владислав, Фарафонова Катерина

Проектна робота учнів до математичної конференції

Завантажити:

Попередній перегляд:

БОУ ТР ГО «Троснянська середня загальноосвітня школа»

Учнівська математична конференція, присвячена великому математику Піфагору

(в рамках Тижня математики у школі)

Історія теореми Піфагора

(проект)

Підготували

учні 9 б класу

Фарафонова Катерина та Привидів Владислав

Вчитель Білик Т.В.

Січень – 2016р.

Цілі:

• 1.Розширити свої знання з історії математики.
• 2. Ознайомитися з біографічними фактами із життя Піфагора, пов'язаними з теоремою.
• 3.Вивчити історію теореми Піфагора через міфи, легенди давнини.
• 4.Розглянути застосування теореми Піфагора під час вирішення завдань із різних розділів геометрії.

План.

1. Введення

2. З історії теореми

3. Вірші про Піфагора

4. Підсумок

5. Висновок

Вступ.

Теорема Піфагора здавна широко застосовувалася у різних галузях науки, техніки та практичного життя. Про неї писали у своїх творах римський архітектор та інженер Вітрувій, грецький письменник-мораліст Плутарх, грецький вчений ІІІ ст. Діоген Лаерцій, математик V ст. Прокл та багато інших. Легенда про те, що на честь свого відкриття Піфагор приніс у жертву бика або, як розповідають інші, сто бугаїв, послужила приводом для гумору в розповідях письменників та у віршах поетів.

Поет Генріх Гейне (1797-1856), відомий своїми антирелігійними поглядами та уїдливими глузуваннями над забобонами, в одному зі своїх творів висміює «вчення» про переселення душ таким чином:

"Хто знає! Хто знає! Душа Піфагора оселилася, можливо, бідняку ​​- кандидата, який не зміг довести теореми Піфагора і тому провалився на іспиті, тоді як у його екзаменаторах живуть душі тих самих бугаїв, яких колись Піфагор приніс у жертву безсмертним богам, зрадований відкриттям своєї теоре. Історія Піфагорової теореми починається задовго до Піфагора. Протягом століть було дано численні різні докази теореми Піфагора.

З історії теореми

Історичний огляд почнемо з стародавнього Китаю. Тут особливу увагу привертає математична книга Чупей. У цьому творі так йдеться про піфагоровий трикутник зі сторонами 3, 4 і 5: "Якщо прямий кут розкласти на складові, то лінія, що з'єднує кінці його сторін, буде 5, коли основа є 3, а висота 4". У цій же книзі запропоновано малюнок, який збігається з одним із креслень індуської геометрії Басхари.

• Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 32 + 42 = 52 було відомо вжеєгиптянам ще близько 2300 до н. е., за часів царяАменемхета I (згідно з папірусом 6619 Берлінського музею). На думку Кантора гарпедонапти, або "натягувачі мотузок", будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 та 5. Дуже легко можна відтворити їх спосіб побудови. Візьмемо мотузку завдовжки 12 м. і прив'яжемо до неї по кольоровій смужці на відстані 3м. від одного кінця та 4 метри від іншого. Прямий кут виявиться ув'язненим між сторонами завдовжки 3 і 4 метри. Гарпедонаптам можна було б заперечити, що їх спосіб побудови стає зайвим, якщо скористатися, наприклад, дерев'яним косинцем, що застосовується всіма теслярами. І дійсно, відомі єгипетські малюнки, на яких зустрічається такий інструмент, наприклад, малюнки, що зображують столярну майстерню.

• Дещо більше відомо про теорему Піфагора увавилонян . В одному тексті, що відноситься до часуХаммурабі , тобто до 2000 до н. е., наводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника. Звідси можна дійти невтішного висновку, що у Дворіччя вміли робити обчислення з прямокутними трикутниками, по крайнього заходу у деяких випадках. Грунтуючись, з одного боку, на сьогоднішньому рівні знань про єгипетську та вавілонську математику, а з іншого - на критичному вивченні грецьких джерел, Ван-дер-Варден (голландський математик) зробив такий висновок:"Заслугою перших грецьких математиків, таких як Фалес, Піфагор і піфагорійці, є не відкриття математики, але її систематизація та обґрунтування. У їхніх руках обчислювальні рецепти, засновані на невиразних уявленнях, перетворилися на точну науку."Геометрія у індусів , Як і в єгиптян і вавилонян, була тісно пов'язана з культом. Цілком ймовірно, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Індії вже близько 18 століття до н. е.

• У першому російському перекладі евклідових "Початок", зробленому Ф. І. Петрушевським, теорема Піфагора викладена так:"У прямокутних трикутниках квадрат зі сторони, що протилежить прямому куту, дорівнює сумі квадратів зі сторін, що містять прямий кут".Нині відомо, що ця теорема була відкрита Піфагором. Однак одні вважають, що Піфагор першим дав її повноцінний доказ, інші відмовляють йому і в цій заслугі. Деякі приписують Піфагору доказ, який Евклід наводить у першій книзі своїх "Початків". З іншого боку, Прокл стверджує, що доказ у "Початках" належить самому Евкліду. Як бачимо, історія математики майже зберегла достовірних даних про життя Піфагора та її математичної діяльності. Натомість легенда повідомляє навіть найближчі обставини, що супроводжували відкриття теореми. Розповідають, що на честь цього відкриття Піфагор приніс у жертву 100 бугаїв.

• Довгий час вважали, що до Піфагора ця теорема була відома і названа її тому «теоремою Піфагора». Ця назва збереглася досі. Проте в даний час встановлено, що ця найважливіша теорема зустрічається у вавилонських текстах, написаних за 1200 до Піфагора.
• Про те, що трикутник зі сторонами 3, 4 та 5 є прямокутником, знали за 2000 років до н.е. єгиптяни, які, ймовірно, користувалися цим ставленням для побудови прямих кутів при спорудженні будівель. У Китаї пропозиція про квадрат гіпотенузи була відома принаймні за 500 років до Піфагора. Ця теорема була відома і в Стародавній Індії; про це свідчать пропозиції, які у «Сутрах».

Піфагор зробив багато важливих відкриттів, але найбільшу славу вченому принесла доведена ним теорема, яка носить його ім'я. Справді, у сучасних підручниках теорема сформульована так: "У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів". - Як записати теорему Піфагора для прямокутного трикутникаАВС з катетами а, b і гіпотенузою с.

а 2 + b 2 = с 2

Припускають, що за часів Піфагора теорема звучала інакше: " Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих з його катетах " . Справді,з 2 – площа квадрата, побудованого на гіпотенузі,а 2 та b 2 – площі квадратів, збудованих на катетах.

Ймовірно, факт, викладений у теоремі Піфагора, спочатку був встановлений для рівнобедрених прямокутних трикутників. Квадрат, побудований на гіпотенузі, містить чотири трикутники. А на кожному катете побудований квадрат, що містить два трикутники. З малюнка 9 видно, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Вірші про Піфагора.
Німецький письменник-романіст А. Шаміссо, який на початку ХІХ ст. Брав участь у навколосвітній подорожі російським кораблем «Рюрік», написав такі вірші:
Буде вічною істина, коли
Її пізнає слабка людина!
І нині теорема Піфагора
Вірна, як і його далекий вік.
Багато було жертвопринесення
Багам від Піфагора. Сто биків
Він віддав на заклання та спалення
За світла промінь, що прийшов із хмар.
Тому завжди з тих пір,
Трохи істина народжується на світ,
Бики ревуть, її відчуваючи, слідом.
Вони не в змозі світла завадити,
А можуть лише, заплющивши очі, тремтіти
Від страху, що вселив у них Піфагор

Підбиваємо підсумок:
Якщо дано нам трикутник
І притому з прямим кутом,
То квадрат гіпотенузи
Ми завжди легко знайдемо:
Катети у квадрат зводимо,
Суму ступенів знаходимо
І таким простим шляхом
До результату ми прийдемо.

Наближається залік з геометрії, але в заліках і іспитах іноді бувають випадки, коли учні, витягнувши квиток, пам'ятають формулювання теореми, але забувають із чого почати доказ. Щоб цього не сталося з вами, пропоную рисунок – опорний сигнал. Думаю, він надовго залишиться у вашій пам'яті.

Відрубав Іван-царевич голову дракона, а в нього дві нові виросли. Математичною мовою це означає: провели в ΔАВС висоту CD , і утворилося два нових прямокутних трикутники ADC та BDC .

Висновок.

Після вивчення побудованого матеріалу можна зробити висновок, що теорема Піфагора - одна з найголовніших теорем геометрії тому, що з її допомогою можна довести багато інших теорем і вирішити безліч завдань.

Піфагор і школа Піфагора відіграли велику роль у вдосконаленні методів вирішення наукових проблем: математику твердо увійшло положення про необхідність суворих доказів, що й додало їй значення особливої ​​науки.

Чи не асоціювалося б з теоремою Піфагора. Навіть ті, хто у своєму житті далекий від математики, продовжують зберігати спогади про "піфагорові штани" - квадрат на гіпотенузі, рівновеликий двом квадратам на катетах. Причина такої популярності теореми Піфагора ясна: це простота – краса – значимість. Насправді теорема Піфагора проста, але не очевидна. Протиріччя двох початків і надає їй особливої ​​привабливої ​​сили, робить її красивою. Але, крім того, теорема Піфагора має велике значення. Вона застосовується у геометрії буквально на кожному кроці. Існує близько п'ятисот різних доказів цієї теореми, що свідчить про гігантську кількість її конкретних реалізацій.

Історичні дослідження датують поява світ Піфагора приблизно 580 роком до нашої ери. Щасливий батько Мнесарх оточує хлопчика турботами. Можливості дати синові гарне виховання та освіту у нього були.

Майбутній великий математик і філософ вже у дитинстві виявив великі здібності наук. У свого першого вчителя Гермодамас Піфагор отримує знання основ музики і живопису. Для вправи пам'яті Гермодамас змушував його вивчати пісні з "Одіссеї" та "Іліади". Перший вчитель прищеплював юному Піфагору любов до природи та її таємниць.

Пройшло кілька років, і за порадою свого вчителя Піфагор вирішує продовжити освіту в Єгипті. За допомогою вчителя Піфагор вдається покинути острів Самос. Але поки що до Єгипту далеко. Він живе на острові Лесбос у свого родича Зоїла. Там відбувається знайомство Піфагора з філософом Ферекідом – другом Фалеса Мілетського. У Ферекіда Піфагор навчається астрології, передбачення затемнень, таємниць чисел, медицини та інших обов'язкових на той час наук.

Потім у Мілеті він слухає лекції Фалеса та його молодшого колеги та учня Анаксимандра, видатного географа та астронома. Багато важливих знань набув Піфагор за час свого перебування в Мілетській школі.

Перед Єгиптом він на якийсь час зупиняється у Фінікії, де, за переказами, навчається у знаменитих сідонських жерців.

Згідно з стародавніми легендами, у полоні у Вавилоні Піфагор зустрічався з перськими магами, долучився до східної астрології та містики, познайомився з вченням халдейських мудреців. Халдеї познайомили Піфагора зі знаннями, накопиченими східними народами протягом багатьох століть: астрономією та астрологією, медициною та арифметикою.

Дванадцять років пробув у вавилонському полоні Піфагор, доки його не звільнив перський цар Дарій Гістасп, який почув про знаменитого грека. Піфагору вже шістдесят, він вирішує повернутись на батьківщину, щоб долучити до накопичених знань свій народ.

Відколи Піфагор залишив Грецію, там відбулися великі зміни. Найкращі уми, рятуючись від перського ярма, перебралися до Південної Італії, яку тоді називали Великою Грецією, та заснували там міста-колонії Сіракузи, Агрігент, Кротон. Тут і задумує Піфагор створити власну філософську школу.

Досить швидко він здобуває велику популярність серед мешканців. Піфагор вміло використовує знання, отримані в мандрах світом. Згодом вчений припиняє виступи у храмах та на вулицях. Вже у своєму будинку Піфагор вчив медицині, принципам політичної діяльності, астрономії, математики, музики, етики та багато іншого. З його школи вийшли визначні політичні та державні діячі, історики, математики та астрономи. То справді був не лише вчитель, а й дослідник. Дослідниками ставали та її учні. Піфагор розвинув теорію музики та акустики, створивши знамениту "піфагорійську гаму" і провівши основні експерименти з вивчення музичних тонів: знайдені співвідношення він висловив мовою математики. У Школі Піфагора вперше висловлено здогад про кулястість Землі. Думка про те, що рух небесних тіл підпорядковується певним математичним співвідношенням, ідеї "гармонії світу" та "музики сфер", що згодом призвели до революції в астрономії, вперше з'явилися саме у Школі Піфагора.

Багато зробив учений і в геометрії. Прокл так оцінював внесок грецького вченого в геометрію: "Піфагор перетворив геометрію, надавши їй форму вільної науки, розглядаючи її принципи суто абстрактним чином та досліджуючи теореми з нематеріальної, інтелектуальної точки зору. Саме він знайшов теорію ірраціональних кількостей та конструкцію космічних тіл".

У школі Піфагора геометрія вперше оформляється у самостійну наукову дисципліну. Саме Піфагор та його учні першими стали вивчати геометрію систематично – як теоретичне вчення про властивості абстрактних геометричних фігур, а не як збірку прикладних рецептів із землемірності.

Найважливішою науковою заслугою Піфагора вважається систематичне запровадження докази математику, і, насамперед, геометрію. Строго кажучи, тільки з цього моменту математика і починає існувати як наука, а не як зібрання давньоєгипетських та давньовавилонських практичних рецептів. З народженням математики зароджується і наука взагалі, бо "жодне людське дослідження не може називатися істинною наукою, якщо воно не пройшло через математичні докази" (Леонардо да Вінчі).

Так ось, заслуга Піфагора і полягала в тому, що він, мабуть, першим прийшов до наступної думки: у геометрії, по-перше, повинні розглядатися абстрактні ідеальні об'єкти, і, по-друге, властивості цих ідеальних об'єктів повинні встановлюватися не так. за допомогою вимірювань на кінцевому числі об'єктів, а за допомогою міркувань, справедливих для нескінченної кількості об'єктів. Цей ланцюжок міркувань, який за допомогою законів логіки зводить неочевидні твердження до відомих чи очевидних істин, є математичним доказом.

Відкриття теореми Піфагор оточено ореолом красивих легенд. Прокл, коментуючи останню пропозицію 1 книги " Почав " , пише: " Якщо послухати тих, хто любить повторювати стародавні легенди, доведеться сказати, що це теорема перегукується з Піфагору; розповідають, що він на честь цього відкриття приніс жертву бика " . Втім, щедріші казачі одного бика перетворили на одну гекатомбу, а це вже ціла сотня. І хоча ще Цицерон помітив, що будь-яке пролиття крові було чуже статуту піфагорійського ордена, ця легенда міцно зросла з теоремою Піфагора і через дві тисячі років продовжувала викликати гарячі відгуки.

В одному можна бути впевненим на всі сто відсотків, що на питання, чому дорівнює квадрат гіпотенузи, будь-яка доросла людина сміливо відповість: «Сумі квадратів катетів». Ця теорема міцно засіла у свідомості кожної освіченої людини, але достатньо лише попросити когось її довести, і тут можуть виникнути складнощі. Тому давайте згадаємо і розглянемо різні методи підтвердження теореми Піфагора.

Короткий огляд біографії

Теорема Піфагора знайома практично кожному, але чомусь біографія людини, яка справила її на світ, не така популярна. Це можна виправити. Тому як вивчити різні методи підтвердження теореми Піфагора, необхідно коротко познайомитися з його особистістю.

Піфагор - філософ, математик, мислитель родом із Сьогодні дуже складно відрізнити його біографію від легенд, що склалися на згадку про цю велику людину. Але, як випливає з праць його послідовників, Піфагор Самоський народився на острові Самос. Його батько був звичайний каменеріз, а ось мати походила зі знатного роду.

Судячи з легенди, поява світ Піфагора передбачила жінка на ім'я Піфія, на чию честь і назвали хлопчика. За її пророцтвом народжений хлопчик мав принести багато користі та добра людству. Що взагалі він і зробив.

Народження теореми

У юності Піфагор переїхав з Єгипту, щоб зустрітися там з відомими єгипетськими мудрецями. Після зустрічі з ними він був допущений до навчання, де й пізнав усі великі здобутки єгипетської філософії, математики та медицини.

Ймовірно, саме в Єгипті Піфагор надихнувся величністю та красою пірамід та створив свою велику теорію. Це може шокувати читачів, але сучасні історики вважають, що Піфагор не доводив своєї теорії. А лише передав своє знання послідовникам, які пізніше завершили всі необхідні математичні обчислення.

Як би там не було, сьогодні відома не одна методика доказу цієї теореми, а відразу кілька. Сьогодні залишається лише гадати, як саме древні греки робили свої обчислення, тому розглянемо тут різні способи доказу теореми Піфагора.

теорема Піфагора

Перш ніж починати будь-які обчислення, потрібно з'ясувати, яку теорію доведеться довести. Теорема Піфагора звучить так: «У трикутнику, у якого один із кутів дорівнює 90 о, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи».

Усього існує 15 різних способів доказу теореми Піфагора. Це досить велика цифра, тому приділимо увагу найпопулярнішим із них.

Спосіб перший

Спочатку позначимо, що нам дано. Ці дані поширюватимуться і інші способи доказів теореми Піфагора, тому варто відразу запам'ятати всі наявні позначення.

Припустимо, дано прямокутний трикутник, з катетами а, в і гіпотенузою, що дорівнює с. Перший спосіб доказу полягає в тому, що з прямокутного трикутника потрібно домалювати квадрат.

Щоб це зробити, потрібно до катета довжиною а домалювати відрізок рівний катету, і навпаки. Так має вийти дві рівні сторони квадрата. Залишається тільки намалювати дві паралельні прямі, і квадрат готовий.

Усередині фігури, що вийшла, потрібно накреслити ще один квадрат зі стороною рівної гіпотенузі вихідного трикутника. Для цього від вершин ас і св потрібно намалювати два паралельні відрізки рівних с. Таким чином, вийде три сторони квадрата, одна з яких і є гіпотенуза вихідного прямокутного трикутника. Залишається лише докреслити четвертий відрізок.

На підставі малюнка можна зробити висновок, що площа зовнішнього квадрата дорівнює (а + в) 2 . Якщо заглянути всередину фігури, можна побачити, що крім внутрішнього квадрата в ній є чотири прямокутні трикутники. Площа кожного дорівнює 0,5 ав.

Тому площа дорівнює: 4*0,5ав+с2 =2ав+с2

Звідси (а+в) 2 =2ав+з 2

І, отже, з 2 = а 2 + 2

Теорему доведено.

Спосіб два: подібні трикутники

Ця формула доказу теореми Піфагора була виведена на підставі затвердження з розділу геометрії про подібні трикутники. Воно говорить, що катет прямокутного трикутника - середнє пропорційне для його гіпотенузи та відрізка гіпотенузи, що виходить з вершини кута 90 о.

Вихідні дані залишаються ті ж, тому почнемо одразу з доказу. Проведемо перпендикулярний стороні АВ відрізок ЦД. Грунтуючись на вищеописаному твердженні катети трикутників рівні:

АС=√АВ*АД, СВ=√АВ*ДВ.

Щоб відповісти на питання, як довести теорему Піфагора, підтвердження потрібно прокласти зведенням у квадрат обох нерівностей.

АС 2 = АВ * АД і СВ 2 = АВ * ДВ

Тепер потрібно скласти нерівності.

АС 2 + СВ 2 = АВ * (АД * ДВ), де АД + ДВ = АВ

Виходить що:

АС 2 + СВ 2 = АВ * АВ

І, отже:

АС 2 + СВ 2 = АВ 2

Доказ теореми Піфагора та різні способи її вирішення потребують різнобічного підходу до цього завдання. Однак цей варіант є одним із найпростіших.

Ще одна методика розрахунків

Опис різних способів доказу теореми Піфагора можуть ні про що не сказати, до тих пір поки самостійно не приступиш до практики. Багато методик передбачають як математичні розрахунки, а й побудова з вихідного трикутника нових постатей.

У разі необхідно від катета ВС добудувати ще один прямокутний трикутник ВСД. Таким чином, тепер є два трикутники із загальним катетом ПС.

Знаючи, що площі подібних фігур мають співвідношення як квадрати їх подібних лінійних розмірів, то:

S авс * з 2 - S авд *в 2 =S авд *а 2 - S всд *а 2

S авс *(з 2 -в 2)=а 2 *(S авд -S нд)

з 2 -2 = а 2

з 2 = а 2 + 2

Оскільки з різних способів доказів теореми Піфагора для 8 класу цей варіант навряд чи підійде, можна скористатися такою методикою.

Найпростіший спосіб довести теорему Піфагора. Відгуки

Як вважають історики, цей спосіб був вперше використаний для доказу теореми ще у Стародавній Греції. Він є найпростішим, тому що не вимагає абсолютно жодних розрахунків. Якщо правильно накреслити малюнок, то доказ твердження, що а 2 + 2 = с 2 буде видно наочно.

Умови для цього способу трохи відрізнятимуться від попереднього. Щоб довести теорему, припустимо, що прямокутний трикутник АВС є рівнобедреним.

Гіпотенузу АС приймаємо за бік квадрата та докреслюємо три його сторони. Крім цього необхідно провести дві діагональні прямі в квадраті, що вийшов. Таким чином, щоб усередині нього вийшло чотири рівнобедрених трикутники.

До катет АВ і СВ так само потрібно докреслити по квадрату і провести по одній діагональній прямій у кожному з них. Першу пряму креслимо з вершини А, другу - із З.

Тепер потрібно уважно вдивитися в малюнок, що вийшов. Оскільки на гіпотенузі АС лежить чотири трикутники, рівні вихідному, а на катетах по два, це говорить про правдивість цієї теореми.

До речі, завдяки цій методиці доказу теореми Піфагора і з'явилася світ знаменита фраза: «Піфагорові штани на всі боки рівні».

Доказ Дж. Гарфілда

Джеймс Гарфілд – двадцятий президент Сполучених Штатів Америки. Крім того, що він залишив свій слід в історії як правитель США, він був ще й обдарованим самоуком.

На початку своєї кар'єри він був звичайним викладачем у народній школі, але незабаром став директором одного з вищих навчальних закладів. Прагнення саморозвитку і дозволило йому запропонувати нову теорію доказу теореми Піфагора. Теорема та приклад її вирішення виглядає так.

Спочатку потрібно накреслити на аркуші паперу два прямокутні трикутники таким чином, щоб катет одного з них був продовженням другого. Вершини цих трикутників потрібно з'єднати, щоб зрештою вийшла трапеція.

Як відомо, площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту.

S=а+в/2* (а+в)

Якщо розглянути трапецію, як фігуру, що складається з трьох трикутників, то її площу можна знайти так:

S=ав/2 *2 + з 2/2

Тепер необхідно зрівняти два вихідні вирази

2ав/2 + с/2=(а+в) 2/2

з 2 = а 2 + 2

Про теорему Піфагора та способи її доказу можна написати не один том навчального посібника. Але чи є в ньому сенс, коли ці знання не можна застосувати на практиці?

Практичне застосування теореми Піфагора

На жаль, у сучасних шкільних програмах передбачено використання цієї теореми лише у геометричних завданнях. Випускники скоро покинуть шкільні стіни, так і не дізнавшись, а як вони можуть застосувати свої знання та вміння на практиці.

Насправді використати теорему Піфагора у своєму повсякденному житті може кожен. Причому не лише у професійній діяльності, а й у звичайних домашніх справах. Розглянемо кілька випадків, коли теорема Піфагора та засоби її доказу можуть виявитися вкрай необхідними.

Зв'язок теореми та астрономії

Здавалося б, як можуть бути пов'язані зірки та трикутники на папері. Астрономія - це наукова сфера, в якій широко використовується теорема Піфагора.

Наприклад, розглянемо рух світлового променя у космосі. Відомо, що світло рухається обидві сторони з однаковою швидкістю. Траєкторію АВ, якою рухається промінь світла назвемо l. А половину часу, який необхідно світлу, щоб потрапити з точки А до точки Б, назвемо t. І швидкість променя - c. Виходить що: c*t=l

Якщо подивитися на цей промінь з іншої площини, наприклад, з космічного лайнера, який рухається зі швидкістю v, то при такому спостереженні тіл їх швидкість зміниться. При цьому навіть нерухомі елементи рухатимуться зі швидкістю v у зворотному напрямку.

Допустимо, комічний лайнер пливе вправо. Тоді точки А і В, між якими кидається промінь, рухатимуться вліво. Причому, коли промінь рухається від точки А до точки В, точка А встигає переміститися і, відповідно, світло вже прибуде до нової точки С. Щоб знайти половину відстані, на яку змістилася точка А, потрібно швидкість лайнера помножити на половину часу подорожі променя (t ").

А щоб знайти, яку відстань за цей час зміг пройти промінь світла, потрібно позначити половину шляху нової букової s і отримати такий вираз:

Якщо уявити, що точки світла С і В, а також космічний лайнер - це вершини рівнобедреного трикутника, то відрізок від точки А до лайнера розділить його на два прямокутні трикутники. Тому завдяки теоремі Піфагора можна знайти відстань, яка змогла пройти промінь світла.

Цей приклад, звичайно, не найуспішніший, тому що тільки одиницям може пощастити випробувати його на практиці. Тому розглянемо приземлені варіанти застосування цієї теореми.

Радіус передачі мобільного сигналу

Сучасне життя вже неможливо уявити без смартфонів. Але чи багато було б від них користі, якби вони не могли з'єднувати абонентів за допомогою мобільного зв'язку?!

Якість мобільного зв'язку безпосередньо залежить від того, на якій висоті знаходиться антена мобільного оператора. Для того, щоб обчислити, яку відстань від мобільної вежі телефон може приймати сигнал, можна застосувати теорему Піфагора.

Допустимо, потрібно знайти приблизну висоту стаціонарної вежі, щоб вона могла поширювати сигнал у радіусі 200 кілометрів.

АВ (висота вежі) = х;

НД (радіус передачі сигналу) = 200 км;

ОС (радіус земної кулі) = 6380 км;

ОВ=ОА+АВОВ=r+х

Застосувавши теорему Піфагора, з'ясуємо, що мінімальна висота вежі має становити 2,3 кілометри.

Теорема Піфагора у побуті

Як не дивно, теорема Піфагора може бути корисною навіть у побутових справах, таких як визначення висоти шафи-купе, наприклад. На перший погляд немає необхідності використовувати такі складні обчислення, адже можна просто зняти мірки за допомогою рулетки. Але багато хто дивується, чому в процесі складання виникають певні проблеми, якщо всі мірки були зняті більш ніж точно.

Справа в тому, що шафа-купе збирається в горизонтальному положенні і потім піднімається і встановлюється до стіни. Тому боковина шафи в процесі підйому конструкції повинна вільно проходити і по висоті, і діагоналі приміщення.

Припустимо, є шафа-купе завглибшки 800 мм. Відстань від підлоги до стелі – 2600 мм. Досвідчений мебляр скаже, що висота шафи повинна бути на 126 мм менше, ніж висота приміщення. Але чому саме на 126 мм? Розглянемо з прикладу.

При ідеальних габаритах шафи перевіримо дію теореми Піфагора:

АС=√АВ 2 +√ВС 2

АС = √2474 2 +800 2 =2600 мм - все сходиться.

Допустимо, висота шафи дорівнює не 2474 мм, а 2505 мм. Тоді:

АС=√2505 2 +√800 2 =2629 мм.

Отже, ця шафа не підійде для встановлення у цьому приміщенні. Так як при піднятті його у вертикальне положення можна завдати шкоди його корпусу.

Мабуть, розглянувши різні методи підтвердження теореми Піфагора різними вченими, можна дійти невтішного висновку, що вона більш ніж правдива. Тепер можна використовувати отриману інформацію у своєму повсякденному житті і бути цілком упевненим, що всі розрахунки будуть не тільки корисними, а й вірними.

Навколо та близько

Насамперед, хочеться для повноти викладу навести тут доказ теореми Піфагора, який, на мою думку, є найбільш елегантним і очевидним. На малюнку вище зображено два однакові квадрати: лівий та правий. З малюнка видно, що ліворуч і праворуч площі зафарбованих фігур рівні, так як у кожному з великих квадратів зафарбовано по 4 однакові прямокутні трикутники. А це означає, що і незафарбовані (білі) площі ліворуч і праворуч теж рівні. Помічаємо, що у першому випадку площа незафарбованої фігури дорівнює , тоді як у другому - площа незафарбованої області дорівнює . Таким чином, . Теорему доведено!

Як назвати ці числа? Трикутниками не назвеш, адже чотири числа не можуть утворити трикутник. І тут! Як грім серед ясного неба

Якщо є такі четвірки чисел, значить має бути геометричний об'єкт з такими ж властивостями, які відображені в цих числах!

Тепер залишилося тільки підібрати якийсь геометричний об'єкт під цю властивість, і все стане на свої місця! Звичайно, припущення було чисто гіпотетичне, і жодного підтвердження не мало. Але якщо це так!

Почався перебір об'єктів. Зірки, багатокутники, правильні, неправильні, з прямим кутом тощо. Знову нічого не підходить. Що робити? І в цей момент Шерлок отримує свою другу зачіпку.

Потрібно підвищити розмірність! Якщо трійці відповідають трикутник на площині, значить четвірці відповідає щось тривимірне!

О ні! Знову перебір варіантів! А в тривимірі набагато, набагато більше за всі геометричні тіла. Спробуй перебрати їх усі! Але не все таке погано. Є ще прямий кут та інші зачіпки! Що ми маємо? Єгипетські четвірки чисел (хай будуть єгипетські, треба їх якось називати), прямий кут (або кути) і якийсь тривимірний об'єкт. Дедукція спрацювала! І... Вважаю, що догадливі читачі вже зрозуміли, що йдеться про піраміди, у яких за однієї з вершин всі три кути - прямі. Можна навіть назвати їх прямокутними пірамідамиза аналогією з прямокутним трикутником.

Нова теорема

На малюнку зображена піраміда з вершиною на початку прямокутних координат (піраміда ніби лежить на боці). Піраміда утворена трьома взаємно перпендикулярними векторами, відкладеними з початку координат уздовж координатних осей. Тобто кожна бічна грань піраміди – це прямокутний трикутник із прямим кутом на початку координат. Кінці векторів визначають площу, що сить, і утворюють грань-основу піраміди.

Теорема

Нехай є прямокутна піраміда, утворена трьома взаємно-перпендикулярними векторами, у якої площі граней-катетів рівні - , і площа грані-гіпотенузи - . Тоді

Альтернативне формулювання: У чотиригранної піраміди, у якої при одній з вершин усі плоскі кути прямі, сума квадратів площ бічних граней дорівнює квадрату площі основи.

Вочевидь, якщо нормальна теорема Піфагора формулюється для довжин сторін трикутників, наша теорема формулюється для площ сторін піраміди. Довести цю теорему в трьох вимірах дуже просто, якщо ви знаєте векторну алгебру.

Доказ

Виразимо площі через довжини векторів.

де.

Площу представимо як половину площі паралелограма, побудованого на векторах і

Як відомо, векторний добуток двох векторів - це вектор, довжина якого чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого цих векторах.
Тому

Таким чином,

Що і потрібно було довести!

Звичайно, як у людини, яка професійно займається дослідженнями, подібне в моєму житті вже траплялося, і не раз. Але цей момент був найяскравішим і незабутнім. Я відчув повну гаму почуттів, емоцій, переживань першовідкривача. Від зародження думки, кристалізації ідеї, знаходження доказу - до повного нерозуміння і навіть неприйняття, яке зустріли мої ідеї у моїх друзів, знайомих і, як мені тоді здавалося, цілий світ. Це було унікальне! Я ніби відчув себе в шкірі Галлілея, Коперника, Ньютона, Шредінгера, Бора, Ейнштейна та багатьох інших відкривачів.

Післямова

У житті все виявилося набагато простіше і прозаїчніше. Я спізнився... Але скільки! Всього лише 18 років! Під страшними тривалими тортурами і не з першого разу Google зізнався мені, що ця теорема була опублікована в 1996!

Статтю опубліковано видавництвом Техаського технічного університету. Автори, професійні математики, запровадили термінологію (яка, до речі, багато в чому збіглася з моєю) і довели також узагальнену теорему справедливу для простору будь-якої розмірності більшої одиниці. Що ж відбудеться у розмірностях вищих, ніж 3? Все дуже просто: замість граней та площ будуть гіперповерхні та багатовимірні обсяги. А твердження, звичайно, залишиться тим самим: сума квадратів обсягів бічних граней дорівнює квадрату обсягу основи, - просто кількість граней буде більшою, а обсяг кожної з них дорівнюватиме половині добутку векторів-утворюючих. Уявити це майже неможливо! Можна тільки, як кажуть філософи, подумати!

Що дивно, дізнавшись про те, що така теорема вже відома, я анітрохи не засмутився. Десь у глибині душі я підозрював, що цілком можливо, я був не перший, і розумів, що треба завжди бути до цього готовим. Але той емоційний досвід, який я здобув, запалив у мені іскру дослідника, яка, я певен, тепер уже не згасне ніколи!

P.S.

Ерудований читач у коментарях надіслав посилання
Теорема де Гуа

Витяг з Вікіпедії

У 1783 теорема була представлена ​​Паризької академії наук французьким математиком Ж.-П. де Гуа, проте раніше вона була відома Рене Декарту і до нього Йоганну Фульгабер (англ.), який, ймовірно, першим відкрив її в 1622 році. У загальному вигляді теорему сформулював Шарль Тинсо (фр.) у доповіді Паризької академії наук 1774 року

Тож я спізнився не на 18 років, а як мінімум на кілька століть!

Джерела

Читачі вказали у коментарях кілька корисних посилань. Ось ці та деякі інші посилання:

Потенціал до творчості зазвичай приписують гуманітарним дисциплінам, природно науковим залишаючи аналіз, практичний підхід та суху мову формул та цифр. Математику до гуманітарних предметів не віднесеш. Але без творчості в «цариці всіх наук» далеко не поїдеш – про це людям відомо з давніх-давен. З часів Піфагора, наприклад.

Шкільні підручники, на жаль, зазвичай не пояснюють, що в математиці важливо не лише зубрити теореми, аксіоми та формули. Важливо розуміти та відчувати її фундаментальні принципи. І при цьому спробувати звільнити свій розум від штампів та азбучних істин – лише за таких умов народжуються всі великі відкриття.

До таких відкриттів можна віднести і те, що сьогодні ми знаємо як теорему Піфагора. З його допомогою ми спробуємо показати, що математика не тільки може, а й має бути цікавою. І що ця пригода підходить не тільки ботанікам у товстих окулярах, а всім, хто міцний розумом і сильним духом.

З історії питання

Строго кажучи, хоч теорема і називається «теорема Піфагора», сам Піфагор її не відкривав. Прямокутний трикутник та його особливі властивості вивчалися задовго до нього. Є дві полярні погляди на це питання. За однією версією Піфагор першим знайшов повноцінний доказ теореми. За іншим доказом не належить авторству Піфагора.

Сьогодні вже не перевіриш, хто має рацію, а хто помиляється. Відомо лише, що докази Піфагора, якщо вона будь-коли існувало, не збереглося. Втім, висловлюються припущення, що знаменитий доказ із «Початків» Евкліда може належати Піфагору, і Евклід його тільки зафіксував.

Також сьогодні відомо, що завдання про прямокутний трикутник зустрічаються в єгипетських джерелах часів фараона Аменемхета I, на вавилонських глиняних табличках періоду правління царя Хаммурапі, у давньоіндійському трактаті «Сульва сутра» та давньокитайському творі «Чжоубі».

Як бачите, теорема Піфагора займала уми математиків з найдавніших часів. Підтвердженням є і близько 367 різноманітних доказів, що існують сьогодні. В цьому з нею не може тягатися жодна інша теорема. Серед знаменитих авторів доказів можна згадати Леонардо да Вінчі та двадцятого президента США Джеймса Гарфілда. Все це говорить про надзвичайну важливість цієї теореми для математики: з неї виводиться або так чи інакше пов'язана з нею більшість теорем геометрії.

Докази теореми Піфагора

У шкільних підручниках переважно наводять алгебраїчні докази. Але суть теореми в геометрії, тож давайте розглянемо насамперед ті докази знаменитої теореми, які спираються на цю науку.

Доказ 1

Для найпростішого доказу теореми Піфагора для прямокутного трикутника потрібно встановити ідеальні умови: нехай трикутник буде не тільки прямокутним, але і рівнобедреним. Є підстави вважати, що такий трикутник спочатку розглядали математики давнини.

Твердження "квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах"можна проілюструвати наступним кресленням:

Подивіться на рівнобедрений прямокутний трикутник ABC: На гіпотенузі АС можна побудувати квадрат, що складається з чотирьох трикутників, що дорівнює вихідному АВС. А на катетах АВ і ПС побудовано по квадрату, кожен з яких містить по два аналогічні трикутники.

До речі, це креслення лягло в основу численних анекдотів та карикатур, присвячених теоремі Піфагора. Найзнаменитіший, мабуть, це «Піфагорові штани на всі боки рівні»:

Доказ 2

Цей метод поєднує алгебру і геометрію і може розглядатися як варіант давньоіндійського доказу математика Бхаскарі.

Побудуйте прямокутний трикутник зі сторонами a, b і c(Рис.1). Потім збудуйте два квадрати зі сторонами, рівними сумі довжин двох катетів, – (a+b). У кожному із квадратів виконайте побудови, як на рисунках 2 та 3.

У першому квадраті побудуйте чотири таких трикутники, як на малюнку 1. В результаті виходити два квадрати: один зі стороною a, другий зі стороною b.

У другому квадраті чотири побудовані аналогічні трикутники утворюють квадрат зі стороною, що дорівнює гіпотенузі. c.

Сума площ збудованих квадратів на рис.2 дорівнює площі збудованого нами квадрата зі стороною з на рис.3. Це легко перевірити, вирахувавши площі квадратів на рис. 2 за формулою. А площа вписаного квадрата на малюнку 3. шляхом віднімання площ чотирьох рівних між собою вписаних у квадрат прямокутних трикутників із площі великого квадрата зі стороною (a+b).

Записавши все це, маємо: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Розкрийте дужки, проведіть усі необхідні алгебраїчні обчислення та отримайте, що a 2 +b 2 = a 2 +b 2. У цьому площа вписаного на рис.3. квадрата можна вирахувати і за традиційною формулою S=c 2. Тобто. a 2 +b 2 =c 2- Ви довели теорему Піфагора.

Доказ 3

Сам же давньоіндійський доказ описаний у XII столітті в трактаті «Вінець знання» («Сіддханта широмані») і як головний аргумент автор використовує заклик, звернений до математичних талантів та спостережливості учнів та послідовників: «Дивись!».

Але ми розберемо цей доказ більш докладно:

Усередині квадрата побудуйте чотири прямокутні трикутники так, як це позначено на кресленні. Сторону великого квадрата, вона ж гіпотенуза, позначимо з. Катети трикутника назвемо аі b. Відповідно до креслення сторона внутрішнього квадрата це (a-b).

Використовуйте формулу площі квадрата S=c 2, щоб обчислити площу зовнішнього квадрата. І одночасно вирахуйте ту саму величину, склавши площу внутрішнього квадрата і площі всіх чотирьох прямокутних трикутників: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Ви можете використовувати обидва варіанти обчислення площі квадрата, щоб переконатися, що вони дадуть однаковий результат. І це дає вам право записати, що c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. В результаті рішення ви отримаєте формулу теореми Піфагора c 2 =a 2 +b 2. Теорему доведено.

Доказ 4

Цей цікавий давньокитайський доказ отримав назву «Стілець нареченої» - через схожу на стілець фігуру, яка виходить в результаті всіх побудов:

У ньому використовується креслення, яке ми вже бачили на рис.3 у другому доказі. А внутрішній квадрат зі стороною з побудований так само, як у давньоіндійському доказі, наведеному вище.

Якщо подумки відрізати від креслення на рис.1 два зелені прямокутні трикутники, перенести їх до протилежних сторін квадрата зі стороною з і гіпотенузами прикласти до гіпотенуз бузкових трикутників, вийде фігура під назвою «стілець нареченої» (рис.2). Для наочності можна те саме зробити з паперовими квадратами і трикутниками. Ви переконаєтеся, що «стіл нареченої» утворюють два квадрати: маленькі зі стороною bі великий зі стороною a.

Ці побудови дозволили давньокитайським математикам і нам слідом за ними дійти висновку, що c 2 =a 2 +b 2.

Доказ 5

Це ще один спосіб знайти рішення для теореми Піфагора, спираючись на геометрію. Називається він "Метод Гарфілда".

Побудуйте прямокутний трикутник АВС. Нам треба довести, що НД 2 =АС 2 +АВ 2.

Для цього продовжіть катет АСта побудуйте відрізок CD, який дорівнює катету АВ. Опустіть перпендикулярний ADвідрізок ED. Відрізки EDі АСрівні. З'єднайте точки Еі В, а також Еі Зі отримайте креслення, як на малюнку нижче:

Щоб довести терему, ми знову вдається до вже випробуваного нами способу: знайдемо площу фігури, що вийшла, двома способами і прирівняємо вирази один до одного.

Знайти площу багатокутника ABEDможна, склавши площі трьох трикутників, що її утворюють. Причому один із них, ЄСВ, є не лише прямокутним, а й рівнобедреним. Не забуваємо також, що АВ=CD, АС=EDі ВС=СЄ– це дозволить нам спростити запис та не перевантажувати його. Отже, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

При цьому очевидно, що ABED- Це трапеція. Тому обчислюємо її площу за формулою: ABED = (DE + AB) * 1/2AD. Для наших обчислень зручніше та наочніше уявити відрізок ADяк суму відрізків АСі CD.

Запишемо обидва способи обчислити площу фігури, поставивши між ними знак рівності: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Використовуємо вже відому нам і описану вище рівність відрізків, щоб спростити праву частину запису: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(АВ+АС) 2. А тепер розкриємо дужки і перетворюємо рівність: AB*AC+1/2BC 2 =1/2АС 2 +2*1/2(АВ*АС)+1/2АВ 2. Закінчивши всі перетворення, отримаємо саме те, що нам треба: НД 2 =АС 2 +АВ 2. Ми довели теорему.

Звичайно, цей список доказів не повний. Теорему Піфагора також можна довести за допомогою векторів, комплексних чисел, диференціальних рівнянь, стереометрії тощо. І навіть фізики: якщо, наприклад, в аналогічних представлених на кресленнях квадратні та трикутні обсяги залити рідину. Переливаючи рідину, можна довести рівність площ і саму теорему у результаті.

Пару слів про Піфагорові трійки

Це питання мало чи взагалі не вивчається у шкільній програмі. А тим часом він є дуже цікавим і має велике значення у геометрії. Піфагорові трійки застосовуються на вирішення багатьох математичних завдань. Уявлення про них може стати вам у нагоді в подальшому освіті.

То що таке Піфагорові трійки? Так називають натуральні числа, зібрані по три, сума квадратів двох з яких дорівнює третьому числу в квадраті.

Піфагорові трійки можуть бути:

• примітивними (всі три числа – взаємно прості);
• не примітивними (якщо кожне число трійки помножити на те саме число, вийде нова трійка, яка не є примітивною).

Ще до нашої ери стародавніх єгиптян заворожувала манія чисел Піфагорових трійок: у завданнях вони розглядали прямокутний трикутник із сторонами 3,4 та 5 одиниць. До речі, будь-який трикутник, сторони якого рівні числа з піфагорової трійки, є прямокутним.

Приклади Піфагорових трійок: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 48, 50), (30, 40, 50) і т.д.

Практичне застосування теореми

Теорема Піфагора знаходить застосування у математиці, а й у архітектурі та будівництві, астрономії і навіть літературі.

Спочатку для будівництва: теорема Піфагора знаходить у ньому широке застосування у завданнях різного рівня складності. Наприклад, подивіться на вікно у романському стилі:

Позначимо ширину вікна як b, тоді радіус великого півкола можна позначити як Rі виразити через b: R=b/2. Радіус менших півкола також висловимо через b: r=b/4. У цьому завдання нас цікавить радіус внутрішнього кола вікна (назвемо його p).

Теорема Піфагора якраз і знадобиться, щоб обчислити р. Для цього використовуємо прямокутний трикутник, який на малюнку позначений пунктиром. Гіпотенуза трикутника складається із двох радіусів: b/4+p. Один катет є радіусом. b/4, інший b/2-p. Використовуючи теорему Піфагора, запишемо: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Далі розкриємо дужки та отримаємо b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Перетворимо цей вираз на bp/2=b 2 /4-bp. А потім розділимо всі члени на b, наведемо подібні, щоб отримати 3/2*p=b/4. І в результаті знайдемо, що p=b/6- Що нам і потрібно.

За допомогою теореми можна обчислити довжину крокви для двосхилого даху. Визначити, якою висоти вежа мобільного зв'язку потрібна, щоб сигнал досягав певного населеного пункту. І навіть стійко встановити новорічну ялинку на міській площі. Як бачите, ця теорема живе не лише на сторінках підручників, а й часто буває корисною у реальному житті.

Щодо літератури, то теорема Піфагора надихала письменників з часів античності і продовжує це робити в наш час. Наприклад, німецького письменника ХІХ століття Адельберта фон Шаміссо вона надихнула на написання сонета:

Світло істини розсіється не скоро,
Але, засяявши, розсіється навряд
І, як тисячоліття тому,
Не викликає сумніву і суперечки.

Наймудріші, коли торкнеться погляду
Світло істини, богів дякують;
І сто биків, заколоти, лежать
Дар у відповідь Пифагора.

З тих пір бики відчайдушно ревуть:
Навіки сполошило бичаче плем'я
Подія, згадана тут.

Їм здається: ось-ось настане час,
І знову їх у жертву принесуть
Якийсь великий теоремі.

(Переклад Віктора Топорова)

А в ХХ столітті радянський письменник Євген Велтистов у книзі «Пригоди Електроніка» доказам теореми Піфагора відвів цілий розділ. І ще півголови розповіді про двомірному світі, який міг би існувати, якби теорема Піфагора стала основним законом і навіть релігією окремо взятого світу. Жити в ньому було б набагато простіше, але й набагато нудніше: наприклад, там ніхто не розуміє значення слів «круглий» та «пухнастий».

А ще у книзі «Пригоди Електроніка» автор вустами вчителя математики Таратара каже: «Головне у математиці – рух думки, нові ідеї». Саме цей творчий політ думки породжує теорема Піфагора - недаремно у неї стільки різноманітних доказів. Вона допомагає вийти за межі звичного і на знайомі речі подивитися по-новому.

Висновок

Ця стаття створена, щоб ви могли заглянути за межі шкільної програми з математики та дізнатися не тільки про те, що доведено теореми Піфагора, які наведені в підручниках «Геометрія 7-9» (Л.С. Атанасян, В.М. Руденко) та «Геометрія 7 -11 »(А.В. Погорєлов), але й інші цікаві способи довести знамениту теорему. А також побачити приклади, як теорема Піфагора може застосовуватись у звичайному житті.

По-перше, ця інформація дозволить вам претендувати на вищі бали на уроках математики – відомості з предмета з додаткових джерел завжди високо оцінюються.

По-друге, нам хотілося допомогти вам відчути, як математика цікава наука. Переконатися на конкретних прикладах, що завжди є місце творчості. Ми сподіваємося, що теорема Піфагора та ця стаття надихнуть вас на самостійні пошуки та хвилюючі відкриття в математиці та інших науках.

Розкажіть нам у коментарях, чи здалися вам наведені у статті докази цікавими. Чи знадобилися вам ці відомості у навчанні. Напишіть нам, що думаєте про теорему Піфагора та цю статтю – нам буде приємно обговорити все це з вами.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.