Встановіть послідовність знаходження математичного очікування випадкової величини. Математичне очікування та дисперсія випадкової величини. Це поняття має кілька синонімів

Як відомо, закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак часто закон розподілу невідомий і доводиться обмежуватись меншими відомостями. Іноді навіть вигідніше користуватися числами, що описують випадкову величину сумарно; такі числа називають числовими характеристиками випадкової величини.До важливих числових характеристик належить математичне очікування.

Математичне очікування, як буде показано далі, приблизно дорівнює середньому значенню випадкової величини. Для вирішення багатьох завдань достатньо знати математичне очікування. Наприклад, якщо відомо, що математичне очікування числа очок, що вибиваються, у першого стрілка більше, ніж у другого, то перший стрілець у середньому вибиває більше очок, ніж другий, і, отже, стріляє краще другого. Хоча математичне очікування дає про випадкову величину значно менше відомостей, ніж закон її розподілу, але для вирішення завдань, подібних до наведеної та багатьох інших, знання математичного очікування виявляється достатнім.

§ 2. Математичне очікування дискретної випадкової величини

Математичним очікуваннямдискретної випадкової величини називають суму творів її можливих значень з їхньої ймовірності.

Нехай випадкова величина X може приймати лише значення х 1 х 2 , ..., х п , ймовірності яких відповідно рівні р 1 , р 2 , . . ., р п . Тоді математичне очікування М(X) випадкової величини X визначається рівністю

М(X) = х 1 р 1 + х 2 р 2 + … + x n p n .

Якщо дискретна випадкова величина X приймає лічильну безліч можливих значень, то

М(Х)=

причому математичне очікування існує, якщо ряд правої частини рівності сходиться абсолютно.

Зауваження. З визначення слідує, що математичне очікування дискретної випадкової величини є невипадковою (постійною) величиною. Рекомендуємо запам'ятати це твердження, тому що далі воно використовується багаторазово. Надалі буде показано, що математичне очікування безперервної випадкової величини є постійна величина.

приклад 1.Знайти математичне очікування випадкової величини X, знаючи закон її розподілу:

Рішення. Шукане математичне очікування дорівнює сумі творів всіх можливих значень випадкової величини з їхньої ймовірності:

M(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

приклад 2.Знайти математичне очікування кількості події Ав одному випробуванні, якщо ймовірність події Адорівнює нар.

Рішення. Випадкова величина X - Число появи події Ав одному випробуванні - може приймати лише два значення: х 1 = 1 (Подія Анастало) з ймовірністю рі х 2 = 0 (Подія Ане настало) з ймовірністю q= 1 -нар.Шукане математичне очікування

M(X)= 1* p+ 0* q= p

Отже, математичне очікування числа появи події в одному випробуванні дорівнює ймовірності цієї події.Цей результат буде використано нижче.

§ 3. Імовірнісний сенс математичного очікування

Нехай зроблено пвипробувань, у яких випадкова величина X прийняла т 1 раз значення х 1 , т 2 раз значення х 2 ,...,m k раз значення x k , причому т 1 + т 2 + …+т до = п.Тоді сума всіх значень, прийнятих X, дорівнює

х 1 т 1 + х 2 т 2 + ... + х до т до .

Знайдемо середнє арифметичне всіх значень, прийнятих, випадковою величиною, навіщо розділимо знайдену суму загальне число випробувань:

= (х 1 т 1 + х 2 т 2 + ... + х до т до)/п,

= х 1 (m 1 / n) + х 2 (m 2 / n) + ... + х до (т до /п). (*)

Помітивши, що ставлення m 1 / n- відносна частота W 1 значення х 1 , m 2 / n - відносна частота W 2 значення х 2 і т. д., запишемо співвідношення (*) так:

=х 1 W 1 + x 2 W 2 + .. . + х до W k . (**)

Припустимо, що кількість випробувань досить велика. Тоді відносна частота приблизно дорівнює ймовірності появи події (це буде доведено в гл. IX, § 6):

W 1 p 1 , W 2 p 2 , …, W k p k .

Замінивши у співвідношенні (**) відносні частоти відповідними ймовірностями, отримаємо

x 1 p 1 + х 2 р 2 + … + х до р до .

Права частина цієї наближеної рівності є М(X). Отже,

М(X).

Імовірнісний сенс отриманого результату такий: математичне очікування приблизно дорівнює(Тим точніше, чим більше число випробувань) середнього арифметичного значень випадкової величини, що спостерігаються.

Примітка 1. Легко зрозуміти, що математичне очікування більше за найменше і менше від найбільшого можливих значень. Іншими словами, на числовій осі можливі значення розташовані ліворуч і праворуч від математичного очікування. У цьому сенсі математичне очікування характеризує розташування розподілу і тому часто називають центром розподілу.

Цей термін запозичений із механіки: якщо маси р 1 , р 2 , ..., р прозташовані в точках з абсцисами x 1 , х 2 , ..., х n, причому
то абсцис центру тяжіння

x c =
.

Враховуючи що
= M (X) і
отримаємо М(Х)= х з .

Отже, математичне очікування є абсцисом центру ваги системи матеріальних точок, абсцис яких дорівнює можливим значенням випадкової величини, а маси - їх ймовірностям.

Зауваження 2. Походження терміна «математичне очікування» пов'язане з початковим періодом виникнення теорії ймовірностей (XVI – XVII ст.), коли сфера її застосування обмежувалася азартними іграми. Гравця цікавило середнє значення очікуваного виграшу, чи, інакше кажучи, математичне очікування виграшу.

Теоретично ймовірності та в багатьох її додатках велике значеннямають різні числові характеристики випадкових величин. Основними з них є математичне очікування та дисперсія.

1. Математичне очікування випадкової величини та її властивості.

Розглянемо спочатку наступний приклад. Нехай на завод надійшла партія, що складається з Nпідшипників. При цьому:

m 1 х 1,
m 2- число підшипників із зовнішнім діаметром х 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- число підшипників із зовнішнім діаметром х n,

Тут m 1 +m 2 +...+m n =N. Знайдемо середнє арифметичне значення x срзовнішнього діаметра підшипника Очевидно,
Зовнішній діаметр витягнутого навмання підшипника можна розглядати як випадкову величину , що приймає значення х 1, х 2, ..., х n, З відповідними ймовірностями p 1 = m 1 / N, p 2 = m 2 / N, ..., p n =m n /N, так як ймовірність p iпояви підшипника із зовнішнім діаметром x iдорівнює m i /N. Таким чином, середнє арифметичне значення x срзовнішнього діаметра підшипника можна визначити за допомогою співвідношення
Нехай - дискретна випадкова величина із заданим законом розподілу ймовірностей

Математичним очікуванням дискретної випадкової величининазивається сума парних творів всіх можливих значень випадкової величини відповідні їм ймовірності, тобто. *
При цьому передбачається, що невласний інтеграл, що стоїть правої частини рівності (40) існує.

Розглянемо властивості математичного очікування. При цьому обмежимося доказом лише перших двох властивостей, які проведемо для дискретних випадкових величин.

1°. Математичне очікування постійної З такою ж постійною.
Доказ.Постійну Cможна розглядати як випадкову величину, яка може приймати тільки одне значення C c ймовірністю рівної одиниці. Тому

2°. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування, тобто.
Доказ.Використовуючи співвідношення (39), маємо

3 °. Математичне очікування суми кількох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань цих величин:

До числових характеристик с.в. відносяться: математичне очікування, дисперсія, моменти різних порядків тощо.

1. Математичне очікування.

Нехай - дискретна с.в., що приймає значення
з ймовірностями
відповідно.

Математичним очікуванням(м.о.) або середнім значеннямс.в.
називається число

(1.1)

у припущенні, що це ряд сходиться абсолютно.

Якщо ж ряд
розходиться, то кажуть, що С.В.
не має кінцевого в.о.

Якщо

, То її м.о. визначається інтегралом

(1.2)

за умови, що вона сходиться абсолютно.

Нехай
- Дискретна с.в. із законом розподілу (2.1) (Тема: Скалярні випадкові величини), а
- Функція цієї с.в. Тоді закон розподілу с.в.
має вигляд табл. 7.1 (Тема: Скалярні випадкові величини). Відповідно до рівності (1.1), в.о. випадкової величини
визначається формулою

.

Якщо ж
- Безперервна с.в. із щільністю ймовірності
, то узагальнюючи попередні міркування, отримуємо формулу для м.о. випадкової величини
у вигляді

. (1.3)

приклад 1.1. У грошовій лотереї випущено 200 квитків. Розігрується один виграш у розмірі 50 руб., Два - по 25 руб., Десять - по 1 руб. Знайти середню величину виграшу, якщо куплено один квиток.

D Відповідно до прикладу 2.1 (Тема: Скалярні випадкові величини), закон розподілу с.в.
- Виграшу - має вигляд (2.2) (Тема: Скалярні випадкові величини).

За формулою (1.1) середня величина виграшу

Отже, середній виграш у лотереї дорівнює 55 коп. ▲

приклад 1.2. Щільність розподілу ймовірностей с.
має вигляд

Знайти
.

D За формулою (1.3)
. ▲

З'ясуємо основні властивості математичного очікування.

1 0 . М.о. числа події в одному випробуванні дорівнює ймовірності цієї події.

2 0 . М.о. постійної невипадкової величини одно .

3 0 . Постійний невипадковий множник можна виносити за знак математичного очікування.

4 0 . Для будь-яких випадкових величин (залежних чи незалежних) м.о. суми с.в.
і і сумі м.о. цих величин:

5 0 . Для незалежних випадкових величин в.о. твори с.в.
і і твору м.о. цих с.в., тобто.

приклад 1.3. Знайти в.о. суми числа очок, які можуть випасти під час кидання двох гральних кісток.

D Нехай
і – число очок, що випали, на першій і другій кістці відповідно. Дискретні с.в.
і приймають значення 1, 2, 3, 4, 5 та 6 з однаковою ймовірністю
. Тоді за формулами (1.4) та (1.1) шукане м.о.

1. Дисперсія.

М.о. характеризує середнє значення с.в. Відхиленнямс.в.
від свого математичного очікування (середнього значення) називається с.
. Часто величина
називається центрованої с.в.

Дисперсієюабо розсіюванням
випадкової величини
називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини
від її математичного очікування:

Корінь квадратний з дисперсії називається середнім квадратичним (квадратичним) відхиленням с.в.
і позначається
, так що
.

Для дискретної с.
, що приймає значення з ймовірністю ,
дисперсія визначається рівністю

, (2.2)

де
.

Для безперервної с.в.
дисперсія визначається рівністю

, (2.3)

якщо цей інтеграл існує. Тут
- Щільність ймовірності с.в.
.

З властивостей м.о. та визначення дисперсії маємо

Отже, для дискретної с.

. (2.4)

Для безперервної с.в.
рівність (2.4) має вигляд

. (2.5)

Формули (2.4) і (2.5) зручніші для обчислення дисперсії.

Зауваження. З визначення дисперсії (2.1) с.
випливає, що
. Якщо дисперсія мала, кожен член суми (2.2) теж малий. Отже, значення , за якого
велике, повинно мати малу можливість. Іншими словами, за малої дисперсії великі відхилення с.в.
від її м.о. малоймовірні. Рівність
означає, що
для тих значень , ймовірність яких дорівнює нулю. Інакше кажучи,
означає, що
з ймовірністю, що дорівнює одиниці.

Приклад 2.1. Знайти дисперсію с.в.
, заданою законом розподілу ймовірностей

D Знаходимо в.о.: . Оскільки закон розподілу с.в.
має вигляд

то , і за формулою (2.4)

. ▲

Приклад 2.2. Знайти дисперсію с.в.
, функція розподілу якої

D Знаходимо щільність імовірності

За формулою (2.5) шукана дисперсія

. ▲

Встановимо властивості дисперсії.

1 0 . Дисперсія постійної невипадкової величини дорівнює нулю.

Справді, .

2 0 . Постійний невипадковий множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його в квадрат:
.

Справді,

3 0 . Дисперсія суми чи різниці незалежних с.в.
і дорівнює сумі дисперсій цих величин: .

D Оскільки
і незалежні с.в., то й, отже,

.

Отже, . Звідси і з якості дисперсії 2 0 отримаємо

Математичне очікування твору двох випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань плюс кореляційний момент:

Доказ. Виходитимемо з визначення кореляційного моменту:

Перетворимо цей вираз, користуючись властивостями математичного очікування:

що, очевидно, рівносильне формулі (10.2.17).

Якщо випадкові величини некорельовані, то формула (10.2.17) набуває вигляду:

т. е. математичне очікування твори двох некорельованих випадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань.

Це становище відоме під назвою теореми множення математичних очікувань.

Формула (10.2.17) є не що інше, як вираз другого змішаного центрального моменту системи через другий змішаний початковий момент та математичні очікування:

. (10.2.19)

Це вираз часто застосовується на практиці при обчисленні кореляційного моменту аналогічно тому, як для однієї випадкової величини дисперсія часто обчислюється через другий початковий момент і математичне очікування.

Теорема множення математичних очікувань узагальнюється і на довільне число співмножників, тільки в цьому випадку для її застосування недостатньо того, щоб величини були некорельовані, а потрібно, щоб зверталися в нуль і деякі вищі змішані моменти, кількість яких залежить від числа членів у творі. Ці умови свідомо виконані за незалежності випадкових величин, які входять у твір. В цьому випадку

т. е. математичне очікування твору незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань.

Це положення легко доводиться шляхом повної індукції.

Дисперсія твору незалежних випадкових величин

Доведемо, що для незалежних величин

Доказ. Позначимо. За визначенням дисперсії

Оскільки величини незалежні, то

При незалежні величини теж незалежні; отже,

,

Але є не що інше, як другий початковий момент величини, і, отже, виражається через дисперсію:

;

аналогічно

.

Підставляючи ці вирази у формулу (10.2.22) та наводячи подібні члени, приходимо до формули (10.2.21).

У разі коли перемножуються центровані випадкові величини (величини з математичними очікуваннями, рівними нулю), формула (10.2.21) набуває вигляду:

, (10.2.23)

т. е. дисперсія добутку незалежних центрованих випадкових величин дорівнює добутку їх дисперсій.

Вищі моменти суми випадкових величин

У деяких випадках доводиться обчислювати найвищі моменти суми незалежних випадкових величин. Доведемо деякі співвідношення, що відносяться сюди.

1) Якщо величини незалежні, то

Кожна випадкова величина повністю визначається своєю функцією розподілу.

У той самий час під час вирішення практичних завдань досить знати кілька числових параметрів, які дозволяють уявити основні особливості випадкової величини стиснутої формі. До таких величин належать насамперед математичне очікування та дисперсія.

Математичне очікування – число, навколо якого зосереджені значення випадкової величини. Математичне очікування випадкової величини x позначається M x.

Математичне очікування дискретної випадкової величини x , що має розподіл

називається величина, якщо число значень випадкової величини звісно.

Якщо число значень випадкової величини лічильне, то . При цьому якщо ряд у правій частині рівності розходиться, то кажуть, що випадкова величина x не має математичного очікування.

Математичне очікування безперервної випадкової величини із щільністю ймовірностей p x(x) обчислюється за формулою . При цьому якщо інтеграл у правій частині рівності розходиться, то кажуть, що випадкова величина x не має математичного очікування.

Якщо випадкова величина h є функцією випадкової величини x , h = f(x), то

.

Аналогічні формули справедливі для функцій дискретної випадкової величини:

, .

Основні властивості математичного очікування:

• математичне очікування константи дорівнює цій константі, M c=c ;

• математичне очікування - лінійний функціонал просторі випадкових величин, тобто. для будь-яких двох випадкових величин x , h і довільних постійних aі bсправедливо: M (ax+ bh) = a M (x) + b M (h);

• математичне очікування твору двох незалежнихвипадкових величин дорівнює добутку їх математичних очікувань, тобто. M (x h) = M (x) M (h).

Дисперсія випадкової величини характеризує міру розкиду випадкової величини під час її математичного очікування.

Якщо випадкова величина x має математичне очікування M x, то дисперсієювипадкової величини x називається величина D x = M (x - M x) 2 .

Легко показати, що D x = M (x - M x) 2 =M x 2 - M (x) 2 .

Ця універсальна формула однаково добре застосовується як дискретних випадкових величин, так безперервних. Величина M x 2 >для дискретних та безперервних випадкових величин відповідно обчислюється за формулами

, .

Для визначення міри розкидання значень випадкової величини часто використовується середньоквадратичне відхилення, пов'язане з дисперсією співвідношенням.

Основні властивості дисперсії:

• дисперсія константи дорівнює нулю, D c=0;

• для довільної константи D (cx) = c 2 D (x);

• дисперсія суми двох незалежнихвипадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій: D (x± h) = D (x) + D (h).

У теорії ймовірностей та математичної статистики, крім математичного очікування та дисперсії, використовуються й інші числові характеристики випадкових величин. Насамперед це початковіі центральнімоменти.

Початковим моментом k-го порядку випадкової величини x називається математичне очікування k-й ступеня випадкової величини x, тобто. a k = M x k.

Центральним моментом k-го порядку випадкової величини x називається величина m k, Яка визначається формулою m k = M (x - M x) k .

Зауважимо, що математичне очікування випадкової величини - початковий момент першого порядку, a 1 = M x, а дисперсія - центральний момент другого порядку,

a 2 = M x 2 = M (x - M x) 2 = D x.

Існують формули, що дозволяють висловити центральні моменти випадкової величини через початкові моменти, наприклад:

m 2 =a 2 -a 1 2 , m 3 = a 3 - 3a 2a 1 + 2a 1 3 .

Якщо щільність розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини симетрична щодо прямої x = M x, то всі її центральні моменти непарного порядку дорівнюють нулю.

Теоретично ймовірностей і математичної статистики як міри асиметрії розподілу є коефіцієнт асиметрії, який визначається формулою ,

де m 3 - центральний момент третього порядку, - середньоквадратичне відхилення.

Нормальний розподіл найчастіше використовується теоретично ймовірностей й у математичної статистиці, тому графік щільності ймовірностей нормального розподілу став свого роду еталоном, із яким порівнюють інші розподіли. Одним з параметрів, що визначають відмінність розподілу випадкової величини x від нормального розподілу, є ексцес.

Ексцес g випадкової величини x визначається рівністю.

У нормального розподілу, природно, g = 0. Якщо g (x ) > 0, це означає, що графік щільності ймовірностей p x(x) сильніше "загострений", ніж у нормального розподілу, якщо ж g (x)< 0, то “заостренность” графикаp x(x) менше, ніж у нормального розподілу.

Середня гармонійна і середня геометрична випадкова величина - числові характеристики, що використовуються в економічних обчисленнях.

Середнім гармонічним випадковою величиною, що приймає позитивні значення, називається величина .

Наприклад, для безперервної випадкової величини, рівномірно розподіленої на [ a, b],

0 < a< b, середнє гармонійне обчислюється так:

і .

Середнім геометричним випадковою величиною, що приймає позитивні значення, називається величина .

Назва "середнє геометричне" походить від виразу середнього геометричного дискретної випадкової величини, що має рівномірний розподіл

0.577 – постійна Ейлера.