Розрахунок математичного очікування. Математичне очікування та дисперсія випадкової величини. Властивості математичного очікування

Закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак часто закон розподілу невідомий і доводиться обмежуватись меншими відомостями. Іноді навіть вигідніше користуватися числами, що описують випадкову величину сумарно, такі числа називають числовими характеристикамидовільної величини. До важливих числових характеристик належить математичне очікування.

Математичне очікування, як буде показано далі, приблизно дорівнює середньому значенню випадкової величини. Для вирішення багатьох завдань достатньо знати математичне очікування. Наприклад, якщо відомо, що математичне очікування числа очок, що вибиваються, у першого стрілка більше, ніж у другого, то перший стрілець у середньому вибиває більше очок, ніж другий, і, отже, стріляє краще другого.

Визначення4.1: Математичним очікуваннямдискретної випадкової величини називають суму творів її можливих значень з їхньої ймовірності.

Нехай випадкова величина Xможе приймати лише значення x 1, x 2, … x n, ймовірності яких відповідно рівні p 1, p 2, … p n .Тоді математичне очікування M (X) випадкової величини Xвизначається рівністю

M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + … + x n p n.

Якщо дискретна випадкова величина Xприймає лічильну безліч можливих значень, то

,

причому математичне очікування існує, якщо ряд правої частини рівності сходиться абсолютно.

приклад.Знайти математичне очікування кількості події Aв одному випробуванні, якщо ймовірність події Aдорівнює p.

Рішення:Випадкова величина X- Число появи події Aмає розподіл Бернуллі, тому

Таким чином, математичне очікування числа появи події в одному випробуванні дорівнює ймовірності цієї події.

Імовірнісний сенс математичного очікування

Нехай зроблено nвипробувань, у яких випадкова величина Xприйняла m 1раз значення x 1, m 2раз значення x 2 ,…, m kраз значення x k, причому m 1 + m 2 + … + m k = n. Тоді сума всіх значень, прийнятих X, дорівнює x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .

Середнє арифметичне всіх значень, прийнятих випадковою величиною, буде

Ставлення m i / n- відносна частота W iзначення x iприблизно дорівнює імовірності появи події p i, де тому

Імовірнісний сенс отриманого результату такий: математичне очікування приблизно дорівнює(Тим точніше, чим більше число випробувань) середнього арифметичного значень випадкової величини, що спостерігаються.

Властивості математичного очікування

Властивість1:Математичне очікування постійної величини дорівнює найпостійнішій

Властивість2:Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування

Визначення4.2: Дві випадкові величининазиваються незалежнимиякщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення прийняла інша величина. В іншому випадку випадкові величини залежні.

Визначення4.3: Декілька випадкових величинназивають взаємно незалежними, Якщо закони розподілу будь-якого з них не залежать від того, які можливі значення прийняли інші величини.

Властивість3:Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань.

Наслідок:Математичне очікування твору кількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань.

Властивість4:Математичне очікування суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань.

Наслідок:Математичне очікування суми кількох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань.

приклад.Обчислимо математичне очікування біномної випадкової величини X –числа настання події Aв nдослідах.

Рішення:Загальне число Xпояви події Aу цих випробуваннях складається з чисел появи події в окремих випробуваннях. Введемо випадкові величини X i- Число появи події в i-ом випробуванні, які є Бернуллієвськими випадковими величинами з математичним очікуванням , де . За якістю математичного очікування маємо

Таким чином, математичне очікування біномного розподілу з параметрами n і p дорівнює добутку np.

приклад.Імовірність влучення в ціль при стрільбі з гармати p = 0,6.Знайти математичне очікування загальної кількості влучень, якщо буде зроблено 10 пострілів.

Рішення:Попадання при кожному пострілі не залежить від результатів інших пострілів, тому події, що розглядаються, незалежні і, отже, шукане математичне очікування

Як відомо, закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак часто закон розподілу невідомий і доводиться обмежуватись меншими відомостями. Іноді навіть вигідніше користуватися числами, що описують випадкову величину сумарно; такі числа називають числовими характеристиками випадкової величини.

До важливих числових характеристик належить математичне очікування.

Математичне очікування приблизно дорівнює середньому значенню випадкової величини.

Математичним очікуванням дискретної випадкової величининазивають суму творів всіх її можливих значень з їхньої ймовірності.

Якщо випадкова величина характеризується кінцевим рядом розподілу:

то математичне очікування М(Х)визначається за формулою:

Математичне очікування безперервної випадкової величини визначається рівністю:

де – густина ймовірності випадкової величини Х.

Приклад 4.7.Знайти математичне очікування числа очок, що випадають під час кидання гральної кістки.

Рішення:

Випадкова величина Хприймає значення 1, 2, 3, 4, 5, 6. Складемо закон її розподілу:

Тоді математичне очікування одно:

Властивості математичного очікування:

1. Математичне очікування постійної величини дорівнює найпостійнішій:

М(С) = С.

2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:

М(СХ) = СМ(X).

3. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань:

M(XY) = M(X)M(Y).

Приклад 4.8. Незалежні випадкові величини Xі Yзадані такими законами розподілу:

Знайти математичне очікування випадкового розміру XY.

Рішення.

Знайдемо математичні очікування кожної з цих величин:

Випадкові величини Xі Yнезалежні, тому шукане математичне очікування:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Наслідок.Математичне очікування твору кількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань.

4. Математичне очікування суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків:

М(X+Y) = М(X)+М(Y).

Наслідок.Математичне очікування суми кількох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків.

Приклад 4.9.Виробляється 3 постріли з ймовірностями влучення в ціль, рівними р 1 = 0,4; p 2= 0,3 та р 3= 0,6. Знайти математичне очікування загальної кількості влучень.

Рішення.

Число попадань при першому пострілі є випадковою величиною Х 1, яка може приймати лише два значення: 1 (попадання) з ймовірністю р 1= 0,4 та 0 (промах) з ймовірністю q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Математичне очікування числа влучень при першому пострілі дорівнює ймовірності влучення:

Аналогічно знайдемо математичні очікування кількості влучень при другому та третьому пострілах:

М(Х 2)= 0,3 та М(Х 3)= 0,6.

Загальна кількість влучень є також випадковою величиною, що складається з суми влучень у кожному з трьох пострілів:

Х = Х1 + Х2 + Х3.

Шукане математичне очікування Хзнаходимо за теоремою про математичне, очікування суми:

М(X) = M(X l + X 2 + X 3) = M(X 1) + M(X 2) + M (X 3)= 0,4 + 0,3 + 0,6 = 1,3 (влучень).

1. Математичне очікування постійної величини дорівнює самій постійній М(С)=С .
2. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування: M(CX)=CM(X)
3. Математичне очікування твору двох незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань: M(XY) = M(X) M(Y).
4. Математичне очікування суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Теорема. Математичне очікування М(х) числа появи подій А n незалежних випробуваннях дорівнює добутку цих випробувань на ймовірність появи подій у кожному випробуванні: M(x) = np.

Нехай Х - випадкова величина та М(Х) – її математичне очікування. Розглянемо як нову випадкову величину різницю Х – М(Х).

Відхиленням називають різницю між випадковою величиною та її математичним очікуванням.

Відхилення має такий закон розподілу:

Рішення: Знайдемо математичне очікування:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Напишемо закон розподілу квадрата відхилення:

Рішення: Знайдемо математичне очікування М(х): M(x)=2 0.1+3 0.6+5 0.3=3.5

Напишемо закон розподілу випадкової величини X 2

Знайдемо математичне очікування M(x 2):M(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Шукана дисперсія D(x)=M(x 2)- 2 =13.3-(3.5) 2 =1.05

Властивості дисперсії:

1. Дисперсія постійної величини З дорівнює нулю: D(C)=0
2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Дисперсія біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи та непояви події в одному випробуванні D(X)=npq

Для оцінки розсіювання можливих значень випадкової величини навколо її середнього значення, крім дисперсії, служать і деякі інші характеристики. До них належить середнє квадратичне відхилення.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Хназивають квадратний корінь із дисперсії:

σ(X) = √D(X) (4)

приклад. Випадкова величина Х задана законом розподілу

Знайти середнє квадратичне відхилення σ(x)

Вирішення: Знайдемо математичне очікування Х: M(x)=2 0.1+3 0.4+10 0.5=6.4
Знайдемо математичне очікування X 2: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
Знайдемо дисперсію: D (x) = M (x 2) = M (x 2) - 2 = 54-6.4 2 = 13.04
Шукане середнє квадратичне відхилення σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61

Теорема. Середнє квадратичне відхилення суми кінцевого числа взаємно незалежних випадкових величин дорівнює квадратному кореню із суми квадратів середніх квадратичних відхилень цих величин:

приклад. На полиці з 6 книг 3 книги з математики та 3 з фізики. Вибирають навмання три книги. Знайти закон розподілу числа книг з математики серед вибраних книг. Знайти математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини.

Дисперсіябезперервної випадкової величини X , можливі значення якої належать до всієї осі Ох, визначається рівністю:

Призначення сервісу. Онлайн калькуляторпризначений для вирішення завдань, у яких задані або щільність розподілу f(x) або функція розподілу F(x) (див. приклад). Зазвичай у таких завданнях потрібно знайти математичне очікування, середнє квадратичне відхилення, побудувати графіки функцій f(x) та F(x).

Інструкція. Виберіть тип вихідних даних: щільність розподілу f(x) або функцію розподілу F(x) .

Задано щільність розподілу f(x):

Задано функцію розподілу F(x):

Безперервна випадкова величина задана щільністю ймовірностей
(Закон розподілу Релея – застосовується у радіотехніці). Знайти M(x), D(x).

Випадкову величину X називають безперервний якщо її функція розподілу F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Функція розподілу безперервної випадкової величини застосовується для обчислення ймовірностей влучення випадкової величини в заданий проміжок:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
причому для безперервної випадкової величини не має значення, включаються до цього проміжку його межі чи ні:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Щільністю розподілу безперервної випадкової величини називається функція
f(x)=F'(x) , похідна від функції розподілу.

Властивості щільності розподілу

0 < a< b, середнє гармонійне обчислюється так:

і .

Середнім геометричним випадковою величиною, що приймає позитивні значення, називається величина .

Назва "середнє геометричне" походить від виразу середнього геометричного дискретної випадкової величини, що має рівномірний розподіл

0.577 – постійна Ейлера.