Апріорний аналіз динамічних систем. Якісні методи дослідження динамічних моделей Апріорний аналіз динамічних систем

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму, розташовану нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Завдання

керування автоматичний найквіст частотний

Провести аналіз динамічних властивостей системи автоматичного управління, заданої структурної схемою, представленої малюнку 1, що включає такі етапи:

Вибір та обґрунтування методів дослідження, побудова математичної моделі САУ;

Розрахункова частина, що включає математичне моделювання САУ на ЕОМ;

Аналіз стійкості математичної моделі об'єкта управління та САУ;

Дослідження стійкості математичної моделі об'єкта управління та САУ.

Структурна схема досліджуваної САУ, де, передавальні функції об'єкта управління (ОУ), виконавчого механізму (ІМ), датчика (Д) та коригувального пристрою (КУ)

Значення коефіцієнтів К1, К2, К3, К4, Т1, Т2, Т3 та Т4 наведені в таблиці1.

Варіант завдання на курсову роботу

Вступ

Проектування автоматики - один з найбільш складних та важливих напрямів в інженерній діяльності, тому знання основ автоматики, уявлення про рівень автоматизації у різних технологічних процесах, використовуваних засобах автоматизації та основи проектування є необхідними умовами успішної роботи інженерів та технологів. Нормальне ведення будь-якого технологічного процесу характеризується певними значеннями параметрів, а економічна та безпечна робота обладнання забезпечується підтримкою експлуатаційних параметрів у необхідних межах. Для цілей нормальної експлуатації обладнання, а також здійснення необхідного технологічного процесу в будь-яких теплових установках необхідно в проектних розробках передбачати засоби автоматизації. Нині у всіх галузях народного господарства, включаючи сільське господарство, дедалі більше застосування знаходять системи автоматичного управління. Це й не дивно, оскільки автоматизація технологічних процесів характеризується частковою чи повною заміною людини оператора спеціальними технічними засобами контролю та управління. Механізація, електрифікація та автоматизація технологічних процесів забезпечують скорочення частки важкої та малокваліфікованої фізичної праці в сільському господарстві, що веде до підвищення її продуктивності.

Таким чином, необхідність автоматизації технологічних процесів очевидна і є необхідність навчитися розраховувати параметри систем автоматичного управління (САУ) для подальшого застосування своїх знань на практиці.

У роботі проведений аналіз динамічних властивостей заданої структурної схеми САУ зі складанням та аналізом математичних моделей об'єктів управління.

1 . Аналіз стійкості САУ за критерієм Найквіста

Для судження про стійкість САУ немає необхідності у визначенні точних значень коренів її характеристичного рівняння. Тому повне рішення характеристичного рівняння системи явно зайве і можна обмежитися застосуванням того чи іншого непрямого критерію стійкості. Зокрема неважко показати, що з стійкості системи необхідно (але недостатньо), щоб це коефіцієнти її характеристичного рівняння мали однаковий знак чи достатньо, щоб дійсні частини всіх коренів характеристичного рівняння були негативними. У разі, якщо дійсні частини всіх коренів характеристичного рівняння не негативні, то для визначення стійкості цього САУ необхідно дослідження і за іншими критеріями, тому що якщо передавальна функція за вищезгаданим критерієм належить до нестійкого блоку, у яких знаменник має коріння з позитивною дійсною частиною, то при виконанні певних умов замкнута система і в цьому випадку може бути стійкою.

Найбільш зручним для дослідження стійкості багатьох систем управління технологічними процесами є критерії стійкості Найквіста, який формується наступним чином.

Система, стійка в розімкнутому стані, збереже стійкість і після замикання негативним зворотним зв'язком, якщо годограф КЧХ в розімкнутому стані W(jщ) не охоплює в комплексній площині точку з координатами (-1; j0).

У наведеному формулюванні критерію Найквіста вважається, що годограф КЧХ W(jщ) «не охоплює» точку (-1; j0), якщо нулю дорівнює загальний кут повороту вектора проведений із зазначеної точки до годографа W(jщ) при зміні частоти від щ=0 до щ >?

Якщо годограф КЧХ W(jщ) при деякій частоті званої критичної частотою щк, проходить через точку (-1; j0), то перехідний процес у замкнутій системі є незатухаючі коливання з частотою щк, тобто. система виявляється на межі стійкості виражені таким чином:

Тут W(p) - передавальна функція розімкнутої САУ. Припустимо, що розімкнена система стійка. Тоді для стійкості замкнутої САУ необхідно і достатньо, щоб годограф амплітудно-фазової характеристики W(jw) розімкнутої системи (зазначена характеристика виходить з W(p) заміною p=jw) не охоплював крапку з координатами (-1, j0). Частота, де |W(jw)| = 1, називається частотою зрізу (w ср).

Для оцінки як далеко від межі стійкості знаходиться система, вводяться поняття запасів стійкості. Запас стійкості по амплітуді (модулю) вказує, скільки разів необхідно змінити довжину радіуса-вектора годографа АФХ, щоб, не змінюючи фазового зсуву, вивести систему на межу стійкості. Для абсолютно стійких систем запас стійкості за модулем DК обчислюється за такою формулою:

де частота w 0 визначається співвідношення arg W(jw 0) = - 180 0 .

Запас стійкості за амплітудою DК обчислюється і за такою формулою:

DК = 1 - До 180;

де До 180 - значення коефіцієнта передачі при фазовому зсуві -180°.

У свою чергу, запас стійкості по фазі вказує на скільки необхідно збільшити по абсолютній величині аргумент АФХ, щоб, не змінюючи величину модуля, вивести систему на межу стійкості.

Запас стійкості по фазі Dj обчислюється за такою формулою:

Dj = 180 ° - j К = 1;

де j К = 1 - значення фазового зсуву при коефіцієнті передачі = 1;

Розмір Dj = 180 0 + arg W (j; w ср) визначає запас стійкості по фазі. З критерію Найквіста випливає, що стійка в розімкнутому стані САУ буде стійкою і в замкненому стані, якщо зсув фази на частоті зрізу не досягає - 180 °. Виконання цієї умови можна перевірити, побудувавши логарифмічні частотні характеристики розімкнутої САУ.

2. Дослідження стійкості САУ за критерієм Найквіста

Дослідження стійкості за критерієм Найквіста шляхом аналізу АФЧХ при розімкнутій САУ. Для цього розриваємо систему як показано на структурній схемі САУ, що досліджується:

Структурна схема досліджуваної САУ

Нижче представлені передавальні функції об'єкта управління (ОУ), виконавчого механізму (ІМ), датчика (Д) та коригувального пристрою (КУ):

Значення коефіцієнтів за завданням такі:

К1 = 1,0; К2 = 0,2; К3 = 2; К4 = 1,0; Т1 = 04; Т2 = 0,2; Т3 = 0,07; Т4 = 0,4.

Зробимо розрахунок передавальної функції після розриву системи:

W(р) = W ку (р) Ч W ним (р) ЧW оу (р) ЧW д (р);

W(р) = Ч Ч Ч

Підставивши задані коефіцієнти у функцію отримаємо:

Аналізуючи цю функцію у програмі математичного моделювання («МАТLАВ»), отримаємо годограф амплітудно-фазочастотної характеристики (АФЧХ) розімкнутої САУ на комплексній площині, наведену на малюнку.

Годограф АФЧХ розімкнутої САУ на комплексній площині.

Дослідження стійкості САУ з АФЧХ

Обчислюємо коефіцієнт передачі при фазовому зрушенні -180 °, До 180 = 0,0395.

Запас стійкості за амплітудою DК за формулою:

DК = 1 - До 180 = 1 - 0,0395 = 0,9605; де До 180 = 0,0395.

Визначимо запас по фазі Dj:

запас стійкості по фазі Dj визначається за формулою: Dj = 180 ° - j К = 1; де j К=1 - значення фазового зсуву при коефіцієнті передачі К = 1. Але оскільки, j К=1 у разі не спостерігається, (амплітуда завжди менше одиниці), то досліджувана система стійка за будь-якому значенні фазового зсуву (САУ стійка на всьому діапазоні частот).

Дослідження стійкості САУ за логарифмічними характеристиками

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика розімкнутої САУ

Логарифмічна фазочастотна характеристика розімкнутої САУ

Використовуючи програму математичного моделювання (МАТLАВ), отримаємо логарифмічні характеристики досліджуваної САУ, які представлені на малюнку 4 (логарифмічна амплітудно-частотна характеристика) і малюнку 5 (логарифмічна фазочастотна характеристика), де;

L(w) = 20lg|W(j; w) |).

Логарифмічний критерій стійкості САУ є виразом критерію Найквіста в логарифмічній формі.

Для знаходження значення фазового зсуву 180° (рисунок 5) проводимо горизонтальну лінію до перетину з ЛФЧХ, з цієї точки перетину проводимо вертикальну лінію до перетину з ЛФЧХ (рисунок 4). Отримуємо значення коефіцієнта передачі при фазовому зсуві 180 °:

20lgДо 180° = - 28,05862;

при цьому До 180° = 0,0395 (DК" = 28,05862).

Запас стійкості за амплітудою перебуває продовженням вертикальної лінії до значення 20lgК 180° = 0.

Для знаходження запасу стійкості по фазі пропускається горизонтальна лінія по лінії 20lgК 180° = 0 до перетину з ЛАЧХ і пропускається з цієї точки вертикальна лінія до перетину з ЛФЧХ. При цьому різниця між знайденим значенням фазового зсуву і фазовим зсувом рівним 180 ° і буде запасом стійкості фази.

Dj = 180 ° - j До;

Dj = 180 ° - 0 = 180 °.

де: j До - Знайдене значення фазового зсуву;

Так як ЛФЧХ досліджуваної САУ лежить нижче лінії 20lgК 180 ° = 0, тому САУ матиме запас стійкості по фазі за будь-якого значення фазового зсуву від нуля до 180 °.

Висновок: проаналізувавши ЛАЧХ і ЛФЧХ, випливає, що досліджувана САУ стійка на всьому діапазоні частот.

Висновок

У цій роботі була синтезована і досліджена з використанням сучасних методів та інструментів теорії управління приладова слідкувальна система. У даній розрахунково-графічній роботі нами було знайдено за заданою структурною схемою та відомими виразами для передавальних функцій динамічних ланок передавальна функція замкнутої САУ.

Бібліографія

1. І.Ф. Бородін, Ю.А. Судник. Автоматизація технологічних процесів. Підручник для вишів. Москва. "Колос", 2004.

2. В.С. Гутніков. Інтегральна електроніка у вимірювальних пристроях. «Енергоатоміздат». Ленінградське відділення, 1988.

3. Н.М. Іващенко. Автоматичне регулювання. Теорія та елементи систем. Москва. "Машинобудування", 1978.

Розміщено на Allbest.ru

Подібні документи

Визначення передавальних функцій та перехідних характеристик ланок системи автоматичного управління. Побудова амплітудно-фазової характеристики. Оцінка сталості системи. Вибір коригувального пристрою. Показники якості регулювання.

курсова робота , доданий 21.02.2016


Дослідження системи управління частотою обертання двигуна з коригуючим ланцюгом і без нього. Оцінка стійкості системи за критеріями Гурвіца, Михайлова та Найквіста. Побудова логарифмічних амплітудно-частотної та фазово-частотної характеристик.

курсова робота , доданий 22.03.2015


Розробка схеми електричної принципової математичної моделі системи автоматичного управління, скоригованої коригуючими пристроями. Оцінка стійкості вихідної системи за методом Рауса-Гурвіца. Синтез бажаної частотної характеристики.

курсова робота , доданий 24.03.2013


Характеристика об'єкта управління (барабана котла), устрою та роботи системи автоматичного регулювання, її функціональної схеми. Аналіз стійкості системи за критеріями Гурвіца та Найквіста. Оцінка якості управління перехідними функціями.

курсова робота , доданий 13.09.2010


Призначення системи автоматичного керування поперечною подачею при врізному шліфуванні. Побудова функціональної схеми. Розрахунок передавальних функцій перетворювача, електродвигуна, редуктора. Визначення стійкості за критерієм Найквіста.

курсова робота , доданий 12.08.2014


Методика визначення стійкості системи за алгебраїчними (критерії Рауса та Гурвіца) та частотними критеріями стійкості (критерії Михайлова та Найквіста), оцінка точності їх результатів. Особливості складання передавальної функції замкнутої системи.

лабораторна робота, доданий 15.12.2010


Побудова елементарної схеми та дослідження принципу роботи системи автоматичного управління, її значення у реалізації способу підналаштування системи СНІД. Основні елементи системи та їх взаємозв'язок. Аналіз стійкості контуру та його оптимальних частот.

контрольна робота , доданий 12.09.2009


Визначення передавальної функції розімкнутої системи, стандартної форми її запису та ступеня астатизму. Дослідження амплітудно-фазової, речовинної та уявної частотних характеристик. Побудова годографа АФЧГ. Алгебраїчні критерії Рауса та Гурвіца.

курсова робота , доданий 09.05.2011


Впровадження нових функцій, що впливають на роботу насосної циркуляційної станції сталеплавильного виробництва. Монтування контрольно-вимірювальної апаратури. Критерії стійкості Михайлова та амплітудно-фазові критерії Найквіста. Модернізація системи.

дипломна робота , доданий 19.01.2017


Функціональна схема системи автоматичного регулювання температури припливного повітря в картоплесховищі. Визначення закону регулювання системи. Аналіз стійкості за критеріями Гурвіца та Найквіста. Якість управління з перехідних функцій.

Транскрипт

1 Якісний аналіз динамічних систем Побудова фазових портретів ДС

2 Динамічна система 2 Динамічна система математичний об'єкт, відповідний реальним фізичним, хімічним, біологічним та інших. системам, еволюція у часі, що у будь-якому інтервалі часу однозначно визначається початковим станом. Таким математичним об'єктом може бути система автономних диференціальних рівнянь. Еволюцію динамічної системи можна спостерігати у просторі станів системи. Диференціальні рівняння вирішуються аналітично явно рідко. Використання ЕОМ дає наближене рішення диференціальних рівнянь на кінцевому часовому відрізку, що дозволяє зрозуміти поведінка фазових траєкторій загалом. Тому значної ролі набувають методи якісного дослідження диференціальних рівнянь.

3 3 Відповідь питанням, які режими поведінки можуть встановлюватися у цій системі, можна отримати з так званого фазового портрета системи сукупності всіх її траєкторій, зображених у просторі фазових змінних (фазовому просторі). Серед цих траєкторій є кілька основних, які визначають якісні властивості системи. До них відносяться насамперед точки рівноваги, що відповідають стаціонарним режимам системи, та замкнуті траєкторії (граничні цикли), що відповідають режимам періодичних коливань. Чи буде режим стійкий чи ні, можна судити з поведінки сусідніх траєкторій: стійка рівновага або цикл притягує всі близькі траєкторії, нестійке відштовхує хоча б деякі з них. Таким чином, «фазова площина, розбита на траєкторії, дає легко доступний для огляду «портрет» динамічної системи, вона дає можливість відразу, одним поглядом охопити всю сукупність рухів, що можуть виникнути за всіляких початкових умов». (А.А. Андронов, А.А. Вітт, С.Е. Хайкін. Теорія коливань)

4 Частина 1 Якісний аналіз лінійних динамічних систем

5 5 Лінійна автономна динамічна система Розглянемо лінійну однорідну систему із постійними коефіцієнтами: (1) dx ax by, dt dy cx dy. dt Координатну площину xoy називають її фазовою площиною. Через будь-яку точку площини проходить одна і лише одна фазова крива (траєкторія). У системі (1) можливі три типи фазових траєкторій: точка, замкнута крива, незамкнена крива. Крапка на фазовій площині відповідає стаціонарному рішенню (положенню рівноваги, точці спокою) системи (1), замкнена крива періодичному рішенню, а незамкнена неперіодичному.

6 Положення рівноваги ДС 6 Положення рівноваги системи (1) знайдемо, вирішуючи систему: (2) ax by 0, cx dy 0. Система (1) має єдине нульове положення рівноваги, якщо визначник матриці системи: det ab A ad cb 0. cd Якщо ж det A = 0, то, крім нульового положення рівноваги, є й інші, тому що в цьому випадку система (2) має безліч рішень. Якісна поведінка фазових траєкторій (тип положення рівноваги) визначається власними числами матриці системи.

7 Класифікація точок спокою 7 Власні числа матриці системи знайдемо, вирішуючи рівняння: (3) 2 λ (ad)λ ad bc 0. Зауважимо, що a + d = tr A (слід матриці) та ad bc = det A. Класифікація точок спокою у випадку, коли det A 0 наведена в таблиці: Корені рівняння (3) 1, 2 - речові, одного знака (1 2 > 0) 1, 2 - речові, різного знака (1 2< 0) 1, 2 - комплексные, Re 1 = Re 2 0 1, 2 - комплексные, Re 1 = Re 2 = 0 Тип точки покоя Узел Седло Фокус Центр

8 Стійкість точок спокою 8 Власні значення матриці системи (1) однозначно визначають характер стійкості положень рівноваги: ​​Умова на речову частину коренів рівняння (3) 1. Якщо речові частини всіх коренів рівняння (3) негативні, то точка спокою системи (1) асимптотично стійка . 2. Якщо речовинна частина хоча б одного кореня рівняння (3) є позитивною, то точка спокою системи (1) нестійка. Тип точки та характер стійкості Стійкий вузол, стійкий фокус Сідло, Нестійкий вузол, Нестійкий фокус 3. Якщо рівняння (3) має чисто уявне коріння, то точка спокою системи (1) стійка, але не асимптотично. Центр

9 Фазові портрети 9 Стійкий вузол 1 2, 1< 0, 2 < 0 Неустойчивый узел 1 2, 1 > 0, 2 >

10 Фазові портрети 10 Стійкий фокус 1,2 = i,< 0, 0 Неустойчивый фокус 1,2 = i, >0, 0 Напрямок на фазовій кривій вказує напрямок руху фазової точки по кривій при зростанні t.

11 Фазові портрети 11 Сідло 1 2, 1< 0, 2 >0 Центр 1,2 = i, 0 Напрямок на фазовій кривій вказує напрямок руху фазової точки по кривій при зростанні t.

12 Фазові портрети 12 Дикритичний вузол має місце для систем виду: dx ax, dt dy ay, dt коли a 0. При цьому 1 = 2 = a. Нестійкий дикритичний вузол Якщо a< 0, то узел асимптотически устойчив, если a >0, то нестійкий. Напрямок на фазовій кривій вказує напрямок руху фазової точки по кривій при зростанні t.

13 Фазові портрети 13 Вироджений вузол, якщо 1 = 2 0 і в системі (1) b 2 + c 2 0. Якщо 1< 0, то устойчивый Если 1 >0, то нестійкий Напрямок на фазовій кривій вказує напрямок руху фазової точки по кривій при зростанні t.

14 Нескінченна безліч точок спокою 14 Якщо det A = 0, то система (1) має безліч положень рівноваги. При цьому можливі три випадки: Коріння рівняння (3) 1 1 = 0, = 2 = = 2 = 0 Визначення точок спокою Система (2) дорівнює одному рівнянню виду x + y = 0 (2) рівносильна рівнянню x + y = 0 Геометричне місце точок спокою Пряма на фазовій площині: x + y = 0 Вся фазова площина Пряма x + y = 0 У другому випадку будь-яка точка спокою стійка за Ляпуновим. У першому випадку тільки, якщо 2< 0.

15 Фазові портрети 15 Пряма стійка точка спокою 1 = 0, 2< 0 Прямая неустойчивых точек покоя 1 = 0, 2 >0 Напрямок на фазовій кривій вказує напрямок руху фазової точки по кривій при зростанні t.

16 Фазові портрети 16 Пряма нестійких точок спокою 1 = 2 = 0 Фазові прямі будуть паралельні до прямої точок спокою (x + y = 0), якщо перший інтеграл рівняння dy cx dy dx ax by має вигляд x + y = C, де C довільна постійна . Напрямок на фазовій кривій вказує напрямок руху фазової точки по кривій при зростанні t.

17 Правила визначення типу точки спокою 17 Можна визначити тип точки спокою та характер її стійкості, не знаходячи власних значень матриці системи (1), а знаючи тільки її слід tr A та визначник det A. Визначник матриці det A< 0 tra 0 det A 2 tra det A 2 tra det A След матрицы tr A < 0 tr A >0 tr A< 0 tr A >0 tr A< 0 tr A = 0 tr A >0 Тип точки спокою Cедло Стійкий вузол (УУ) Нестійкий вузол (НУ) Дикритичний або вироджений УУ Дикритичний або вироджений НУ Стійкий фокус (УФ) Центр Нестійкий фокус (НФ)

18 Центр Біфуркаційна діаграма 18 det A det tra A 2 2 УУ УФ НФ НУ tr A Сед л о

19 19 Алгоритм побудови фазового портрета ЛДС (1) 1. Визначити положення рівноваги, розв'язавши систему рівнянь: ax by 0, cx dy Знайти власні значення матриці системи, вирішивши характеристичне рівняння: 2 λ (ad)λ ad bc Визначити тип точки спокою та зробити висновок про стійкість. 4. Знайти рівняння головних ізоклін горизонтальної та вертикальної, та побудувати їх на фазовій площині. 5. Якщо положення рівноваги є сідлом або вузлом, знайти фазові траєкторії, які лежать на прямих, що проходять через початок координат. 6. Намалювати фазові траєкторії. 7. Визначити напрямок руху по фазових траєкторіях, вказавши його стрілками на фазовому портреті.

20 Головні ізокліни 20 Вертикальна ізокліна (ВІ) сукупність точок фазової площини, в яких дотична, проведена до фазової траєкторії, паралельна вертикальній осі. Оскільки в цих точках фазових траєкторій x (t) = 0, то для ЛДС (1) рівняння ВІ має вигляд: ax + by = 0. . Так як у цих точках фазових траєкторій y(t) = 0, то для ЛДС (1) рівняння ГІ має вигляд: cx + dy = 0. Зауважимо, що точка спокою на фазовій площині це перетин головних ізоклін. Вертикальну ізокліну на фазовій площині помічатимемо вертикальними штрихами, а горизонтальну горизонтальними.

21 Фазові траєкторії 21 Якщо положення рівноваги є сідлом або вузлом, то існують фазові траєкторії, що лежать на прямих, що проходять через початок координат. Рівняння таких прямих можна шукати у вигляді * y = k x. Підставляючи y = k x до рівняння: dy cx dy, dx ax by для визначення k отримаємо: (4) c kd () 0. Даємо опис фазових траєкторій в залежності від кількості та кратності коренів рівняння (4). * Рівняння прямих, що містять фазові траєкторії, можна шукати і як x = k y. ak b ck d Тоді знаходження коефіцієнтів слід розв'язати рівняння k.

22 Фазові траєкторії 22 Корені рівняння (4) k 1 k 2 Тип точки спокою Сідло Вузол Опис фазових траєкторій Прямі y = k 1 x та y = k 2 x називають сепаратрисами. Інші фазові траєкторії – це гіперболи, для яких знайдені прямі є асимптотами. Прямі y = k 1 x та y = k 2 x. Інші фазові траєкторії утворюють параболи, які стосуються початку координат однієї із знайдених прямих. Фазові траєкторії стосуються тієї прямої, яка спрямована вздовж власного вектора, що відповідає меншому за абсолютною величиною (корінь рівняння (3))

23 Фазові траєкторії 23 Коріння рівняння (4) k 1 k 2! k 1 Тип точки спокою Вироджений вузол Седло Вузол Опис фазових траєкторій Пряма y = k 1 x. Інші фазові траєкторії – це гілки парабол, які стосуються на початку координат цієї прямої Прямі* y = k 1 x і x = 0 – це сепаратриси. Інші фазові траєкторії гіперболи, для яких знайдені прямі є асимптотами Прямі* y = k 1 x і x = 0. Інші фазові траєкторії утворюють параболи, які стосуються початку координат однієї зі знайдених прямих. * Якщо рівняння прямих шукаються як x = k y, тоді це будуть прямі x = k 1 y і y = 0.

24 Фазові траєкторії 24 Корені рівняння (4) kr Тип точки спокою Дикритичний вузол Опис фазових траєкторій Усі фазові траєкторії лежать на прямих y = k x, kr. Якщо положення рівноваги є центром, фазові траєкторії є еліпсами. Якщо положення рівноваги є фокусом, фазові траєкторії є спіралями. У разі, коли ЛДС має пряму точку спокою, то можна знайти рівняння всіх фазових траєкторій, вирішивши рівняння: dy cx dy dx ax by Його перший інтеграл x + y = C і визначає сімейство фазових прямих.

25 Напрямок руху 25 Якщо положення рівноваги є вузлом або фокусом, то напрямок руху по фазових траєкторіях визначається однозначно його стійкістю (на початок координат) або нестійкістю (від початку координат). Щоправда, у разі фокусу потрібно встановити ще й напрямок закручування (розкручування) спіралі за годинниковою або проти годинникової стрілки. Це можна зробити, наприклад, так. Визначити знак похідної y(t) у точках осі x. dy Коли cx 0, якщо x 0, то ордината точки, що рухається по фазовій траєкторії при перетині «позитивного променя осі x» зростає. Отже, «закручування (розкручування)» траєкторій відбувається проти годинникової стрілки. Коли dt dy dt y0 y0 cx 0 якщо x 0, то «закручування (розкручування)» траєкторій відбувається за годинниковою стрілкою.

26 Напрямок руху 26 Якщо положення рівноваги є центром, то напрямок руху по фазових траєкторіях (за годинниковою стрілкою або проти) можна визначити так само, як встановлюється напрямок «закручування (розкручування)» траєкторії у разі фокусування. У разі «сідла» рух по одній із його сепаратрис відбувається у напрямку початку координат, по інший від початку координат. По всіх інших фазових траєкторіях рух відбувається відповідно до руху сепаратрисами. Отже, якщо положення рівноваги сідло, достатньо встановити напрямок руху по якій-небудь траєкторії. І далі можна однозначно встановити напрямок руху по всіх інших траєкторіях.

27 Напрямок руху (сідло) 27 Щоб встановити напрямок руху по фазових траєкторіях у разі сідла, можна скористатися одним із наступних способів: 1 спосіб Визначити, яка з двох сепаратрис відповідає негативному власному значенню. Рух нею відбувається до точки спокою. 2 спосіб Визначити, як змінюється абсцисса точки, що рухається по будь-якій з сепаратрис. Наприклад, для y = k 1 x маємо: dx(abk1) t ax bk1x(a bk1) x, x(t) x(0) e. dt yk x 1 Якщо x(t) при t+, рух по сепаратрисі y = k 1 x відбувається до точки спокою. Якщо x(t) при t+, рух відбувається від точки спокою.

28 Напрямок руху (сідло) 28 3 спосіб Якщо вісь x не є сепаратрисою, визначити як змінюється ордината точки, що рухається по фазовій траєкторії при перетині осі x. Коли dy dt y0 cx 0, якщо x 0, то ордината точки зростає і, отже, рух фазовими траєкторіями, що перетинають позитивну частину осі x, відбувається знизу вгору. Якщо ж ордината зменшується, то рух відбуватиметься зверху донизу. Якщо визначати напрямок руху по фазовій траєкторії, що перетинає вісь y, то краще аналізувати зміну абсциси точки, що рухається.

29 Напрямок руху 29 4 спосіб* Побудувати у довільній точці (x 0,y 0) фазової площини (відмінної від положення рівноваги) вектор швидкості: dx dy v, (ax0 by0, cx0 dy0). dt dt (x, y) 0 0 Його напрямок та вкаже напрямок руху по фазовій траєкторії, що проходить через точку (x 0,y 0) : (x 0, y 0) v * Цей спосіб може бути використаний при визначенні напрямку руху по фазовому траєкторій для будь-якого типу точки спокою.

30 Напрямок руху 30 5 спосіб* Визначити області знакопостійності похідних: dx dt dy ax by, cx dy. dt Кордонами цих областей будуть головні ізокліни. Знак похідної вкаже на те, як змінюється ордината і абсцисса точки, що рухається по фазовій траєкторії в різних областях. y y x (t)<0, y (t)>0 x (t)<0, y (t)<0 x x x (t)>0, y(t)>0 x (t)>0, y(t)<0 * Этот способ может быть использован при определении направления движения по фазовым траекториям для любого типа точки покоя.

31 Приклад dx dt dy dt 2x 2 y, x 2y 1. Система має єдине нульове положення рівноваги, так як det A = Побудувавши відповідне характеристичне рівняння 26 = 0, знайдемо його коріння 1,2 6. Отже, положення рівноваги сідло. 3. Сепаратриси сідла шукаємо як y = kx. 4. Вертикальна ізокліна: x + y = 0. Горизонтальна ізокліна: x 2y = 0. Коріння речові та різного знака. 1 2k 2 6 k k k k k 2 2k ,2, 1 2, 22, 2 0, 22.

32 Приклад 1 (сідло) 32 Намалюємо на фазовій площині сепаратриси y = k 1 x та y = k 2 x і головні ізокліни. y x Решту площини заповнюють траєкторії – гіперболи, для яких сепаратриси є асимптотами.

33 Приклад 1 (сідло) 33 y x Знайдемо напрямок руху траєкторіями. Для цього можна визначити знак похідної y(t) у точках осі x. При y = 0 маємо: dy dt y0 x 0, якщо x 0. Таким чином, ордината точки, що рухається по фазовій траєкторії при перетині «позитивного променя осі x» зменшується. Отже, рух фазовими траєкторіями, що перетинають позитивну частину осі x, відбувається зверху вниз.

34 Приклад 1 (сідло) 34 Тепер легко встановити напрямок руху по інших траєкторіях. y x

35 Приклад dx 4x2 y, dt dy x3y dt 1. Система має єдине нульове положення рівноваги, оскільки det A = Побудувавши відповідне характеристичне рівняння = 0, знайдемо його коріння 1 = 2, 2 = 5. Отже, положення рівноваги є нестійким вузолом. 3. Прямі: y = kx. 1 3k 1 k k k k 4 2k , Вертикальна ізокліну: 2x + y = 0. Горизонтальна ізокліну: x + 3y = 0.

36 Приклад 2 (нестійкий вузол) 36 yx Оскільки 1 = 2 є меншим за абсолютною величиною, то, знайшовши відповідний йому власний вектор = (a 1,a 2) т: 4 2 a1 a1 2 a1 a2 0, 1 3 aa 2 2 = (1,1) т, встановимо, що інші фазові траєкторії, що утворюють параболи, стосуються початку координат прямої y = x. Нестійкість положення рівноваги однозначно визначає напрямок руху від точки спокою.

37 Приклад 2 (нестійкий вузол) 37 Оскільки 1 = 2 є меншим за абсолютною величиною, то, знайшовши відповідний йому власний вектор = (a 1,a 2) т: 4 2 a1 a1 2 a1 a2 0, 1 3 aa 2 2 = (1,1) т, встановимо, що інші фазові траєкторії, що утворюють параболи, стосуються початку координат прямої y = x. Нестійкість положення рівноваги однозначно визначає напрямок руху від точки спокою. y x

38 Приклад dx x 4 y, dt dy 4x2y dt 1. Система має єдине нульове положення рівноваги, тому що det A = Побудувавши відповідне характеристичне рівняння = 0, знайдемо його дискримінант D. Оскільки D< 0, то корни уравнения комплексные, причем Re 1,2 = 3/2. Следовательно, положение равновесия устойчивый фокус. 3. Вертикальная изоклина: x 4y = 0. Горизонтальная изоклина: 2x y 0. Фазовые траектории являются спиралями, движение по которым происходит к началу координат. Направления «закручивания траекторий» можно определить следующим образом.

39 Приклад 3 (стійкий фокус) 39 Визначимо знак похідної y(t) у точках осі x. При y = 0 маємо: dy 4x 0, якщо x 0. dt y0 y Таким чином, ордината точки, що рухається по фазовій траєкторії при перетині «позитивного променя осі x» зростає. Значить, закручування траєкторій відбувається проти годинникової стрілки. x

40 Приклад dx x4 y, dt dy x y dt 1. Система має єдине нульове положення рівноваги, тому що det A = Побудувавши відповідне характеристичне рівняння 23 = 0, знайдемо його коріння 1,2 = i3. Отже, положення рівноваги - центр. 3. Вертикальна ізокліна: x 4y = 0. Горизонтальна ізокліна: x y 0. Фазові траєкторії системи еліпси. Напрямок руху по них можна встановити, наприклад, так.

41 Приклад 4 (центр) 41 Визначимо знак похідної y(t) у точках осі x. При y = 0 маємо: dy dt y0 x 0, якщо x 0. y Таким чином, ордината точки, що рухається, по фазовій траєкторії при перетині «позитивного променя осі x» зростає. Отже, рух еліпсами відбувається проти годинникової стрілки. x

42 Приклад 5 (вироджений вузол) 42 dx xy, dt dy x3y dt 1. Система має єдине нульове положення рівноваги, тому що det A = Побудувавши відповідне характеристичне рівняння = 0, знайдемо його коріння 1 = 2 = 2. Отже, положення рівноваги стійке вироджений вузол. 3. Пряма: y = kx. 13k k 2 k k k k1,2 4. Вертикальна ізокліна: x + y = 0. Горизонтальна ізокліна: x 3y = 0.

43 Приклад 5 (вироджений вузол) 43 y x Намалюємо на фазовій площині ізокліни і пряму фазову траєкторію. Решта площини заповнюється траєкторіями, що лежать на гілках парабол, що стосуються прямої y = x.

44 Приклад 5 (вироджений вузол) 44 Стійкість положення рівноваги однозначно визначає напрямок руху до початку координат. y x

45 Приклад dx 4x 2 y, dt dy 2x y dt Оскільки визначник матриці системи det A = 0, система має нескінченно багато положень рівноваги. Усі вони лежать на прямій y 2 x. Побудувавши відповідне характеристичне рівняння 2 5 = 0, знайдемо його коріння 1 = 0, 2 = 5. Отже всі положення рівноваги стійкі за Ляпуновим. Побудуємо рівняння інших фазових траєкторій: dy 2x y dy 1 1 =, y x C. dx 4x 2y dx Таким чином, фазові траєкторії лежать на прямих y x C, C const. 2

46 Приклад Напрямок руху однозначно визначається стійкістю точок прямої y 2 x. y x

47 Приклад dx 2 x y, dt dy 4x2y dt Оскільки визначник матриці системи det A = 0, система має нескінченно багато положень рівноваги. Усі вони лежать на прямій y 2 x. Оскільки слід матриці системи tr A, то коріння характеристичного рівняння 1 = 2 = 0. Отже, всі положення рівноваги нестійкі. Побудуємо рівняння решти фазових траєкторій: dy 4x 2 y dy, 2, y 2 x C. dx 2x y dx Таким чином, фазові траєкторії лежать на прямих y 2 x C, C const, і паралельні до прямої точок спокою. Встановимо напрямок руху по траєкторіях наступним чином.

48 Приклад Визначимо знак похідної y(t) у точках осі x. При y = 0 маємо: dy 0, якщо x 0, 4 x dt y0 0, якщо x 0. Таким чином, ордината точки, що рухається, по фазовій траєкторії при перетині «позитивного променя осі x» зростає, а «негативного» зменшується. Значить рух по фазових траєкторіях правіше прямої точок спокою буде знизу вгору, а лівіше зверху вниз. y x

49 Вправи 49 Вправа 1. Для заданих систем визначте тип та характер стійкості положення рівноваги. Побудуйте фазові портрети. 1. dx 3, 3. dx 2 5, 5. dx x y x y 2 x y dt dt dt dy dy 6 x 5 y; 2x 2 y; 4x 2 y; dt dt dt 2. dx, 4. dx 3, 6. dx x x y 2x 2 y; dt dt dt dy dy 2 x y; x y; x y. dt dt dt Вправа 2. За яких значень параметра a R система dx dy 2 ax y, ay 2ax dt dt має положення рівноваги і воно є сідлом? вузлом? фокусом? Який у своїй система має фазовий портрет?

50 Неоднорідні ЛДС 50 Розглянемо лінійну неоднорідну систему (НЛДС) з постійними коефіцієнтами: dx ax by, (5) dt dy cx dy, dt коли 2 2. Розв'язавши систему рівнянь: ax by, cx dy, відповімо на питання, чи має система ( 5) положення рівноваги. Якщо det A 0, система має єдине положення рівноваги P(x 0,y 0). Якщо det A 0, то система або має нескінченно багато положень рівноваги точки прямої, що визначається рівнянням ax + by + = 0 (або cx + dy + = 0), або взагалі не має положень рівноваги.

51 Перетворення НЛДС 51 Якщо система (5) має положення рівноваги, то виконавши заміну змінних: xx0, y y0, де, у випадку, коли система (5) має безліч положень рівноваги, x 0, y 0 координати будь-якої точки, що належить прямої точок спокою, отримаємо однорідну систему: dab, (6) dt dc d. dt Ввівши на фазовій площині x0y нову систему координат із центром у точці спокою P, побудуємо у ній фазовий портрет системи (6). У результаті площині x0y отримаємо фазовий портрет системи (5).

52 Приклад dx 2x 2y12, dt dy x 2y 3 dt Оскільки 2x 2y 12 0, x 3, x 2y 3 0 y 3, то ДС має єдине положення рівноваги P(3;3). Виконавши заміну змінних x = + 3, y = + 3, отримаємо систему: d 2 2 dt d 2 dt нульове положення якої нестійке і є сідлом (див. приклад 1).

53 Приклад Побудувавши фазовий портрет на площині P, сумісний з фазовою площиною x0y, знаючи, які координати має у ній точка P. y P x

54 Фазові портрети НЛДС 54 При побудові фазових портретів у разі, коли система (5) не має положень рівноваги, можна використовувати такі рекомендації: 1. Знайти перший інтеграл рівняння dx dy, ax by cx dy і таким чином визначити сімейство всіх фазових траєкторій. 2. Знайти основні ізокліни: ax by 0 (ВІ), cx dy 0 (ГІ). 3. Знайти прямі, що містять фазові траєкторії, як у = kx +. При цьому для знаходження коефіцієнтів k і з огляду на те, що c: a d: b, побудувати рівняння: dy (ax by) k. dx y kx ax by (a kb) x b y kx

55 Фазові портрети НЛДС 55 Оскільки вираз (a kb) x b залежить від x, якщо a + kb = 0, то отримаємо такі умови перебування k і: a kb 0, k. b Рівняння прямої можна шукати у вигляді x = ky +. Умови визначення k і будуються аналогічно. Якщо є лише одна пряма, вона є асимптотою інших траєкторій. 2. Для визначення напрямку руху фазовими траєкторіями визначити області «знакопостійності» правих частин системи (5). 3. Для визначення характеру опуклості (увігнутості) фазових траєкторій побудувати похідну y(x) та встановити області її «знакопостійності». Різні прийоми побудови фазових портретів розглянемо з прикладів.

56 Приклад dx dt dy dt 0, 1. y Розв'язавши рівняння: dx dy 0 0, 1 отримаємо, що всі фазові траєкторії лежать на прямих x C, C R. Оскільки y (t) = 1 > 0, то ордината точки, що рухається за будь-якою фазовою траєкторією зростає. Отже, рух фазовими траєкторіями відбувається знизу вгору. x

57 Приклад dx dt dy dt 2, 2. y Розв'язавши рівняння: dy dx 2 1, 2 отримаємо, що всі фазові траєкторії лежать на прямих y x + C, C R. Оскільки y (t)< 0, то ордината движущейся точки по любой фазовой траектории убывает. Следовательно, движение по фазовым траекториям происходит сверху вниз. x

58 Приклад dx 1, dt dy x 1. dt Розв'яжіть рівняння: dy x 1, dx 2 (x 1) y C, CR, 2 отримаємо, що фазовими траєкторіями системи є параболи: осі яких лежать на горизонтальній ізоклині x 1 0, а гілки спрямовані нагору. Так як x (t) 1 > 0, то абсцисса точки, що рухається по будь-якій фазової траєкторії зростає. Отже, рух лівої гілки параболи відбувається зверху вниз до перетину з прямою горизонтальною ізоклиною, а далі знизу вгору.

59 Приклад y Визначити напрямок руху фазовими траєкторіями можна було б і встановивши області «знакопостійності» правих частин системи. y 1 x x"(t) > 0, y"(t)< 0 x"(t) >0, y"(t) > 0 x 1

60 Приклад dx y, dt dy y 1. dt Вертикальна ізокліну y = 0; горизонтальна ізокліна y 1 = 0. З'ясуємо, чи існують прямі, які містять фазові траєкторії. Рівняння таких прямих шукатимемо у вигляді y = kx + b. Оскільки k dy y , dx y y kx b ykxb ykxb ykxb, то останнє вираження не залежить від x, якщо k = 0. Тоді для знаходження b отримаємо b 1. Таким чином, на прямій y = 1 лежать фазові траєкторії. Ця пряма є асимптотою на фазовій площині.

61 Приклад Встановимо, який характер опуклості (увігнутості) мають фазові траєкторії щодо осі x. Для цього знайдемо похідну y (x): y (x) > 0 y 1 1 "() 1 1, dx dx y dx y y 2 d y d y d y x y і визначимо області «знакопостійності» отриманого виразу. У тих областях, де y (x) >< 0, выпуклость «вверх». y (x) < 0 y (x) >0 x

62 Приклад З'ясуємо напрямки руху фазовими траєкторіями, визначивши області «знакопостійності» правих частин системи dx y, dt dy y 1. dt Кордонами цих областей будуть вертикальна і горизонтальна ізокліни. Отриманої інформації достатньо побудувати фазового портрета. y x (t) > 0, y (t) > 0 y (x) > 0 x (t) > 0, y (t)< 0, y (x) < 0 x (t) >0, y (t)< 0 y (x) >0 x

63 Приклад x (t) > 0, y (t) > 0 y (x) > 0 y y x (t) > 0, y (t)< 0, y (x) < 0 x x x (t) >0, y (t)< 0 y (x) > 0

64 Приклад dx 2, dt dy 2 x y. dt Горизонтальна ізокліна: 2x y = 0. З'ясуємо, чи існують прямі, які містять фазові траєкторії. Рівняння таких прямих шукатимемо у вигляді y = kx + b. Оскільки dy 2 xy (2 k) xbk, 2 2 dx y kx by kx b то останній вираз не залежить від x, якщо k = 2. Тоді для знаходження b отримаємо b 2 b 4. 2 Таким чином, на прямий y = 2x4 лежать фазові траєкторії. Ця пряма є асимптотою на фазовій площині.

65 Приклад Встановимо, який характер опуклості (увігнутості) мають фазові траєкторії щодо осі x. Для цього знайдемо похідну y(x): 2 d y d x y y x x y y x dx "() dx Визначимо області «знакопостійності» отриманого виразу. У тих областях, де y(x) > 0, фазові траєкторії мають опуклість «вниз», а де y (x)< 0, выпуклость «вверх». y (x) >0 y x y (x)< 0

66 Приклад З'ясуємо напрямок руху фазовими траєкторіями, визначивши області «знакопостійності» правих частин системи: dx 2, dt dy 2 x y. dt Кордоном цих областей буде горизонтальна ізокліну. x(t)>0, y(t)<0 y x (t)>0, y(t)>0 x Отриманої інформації достатньо для побудови фазового портрета.

67 Приклад y (x) > 0 y x y y (x)< 0 x x (t)>0, y (t)<0 y x x (t)>0, y(t)>0

68 Приклад dx x y, dt dy 2(x y) 2. dt Вертикальна ізокліну: x y = 0; горизонтальна ізоклина: x y + 1= 0. З'ясуємо, чи існують прямі, які містять фазові траєкторії. Рівняння таких прямих шукатимемо у вигляді y = kx + b. Оскільки dy 2(xy) k 2 2, dx xyxy (1 k) xb ykxb ykxb ykxb то останній вираз не залежить від x, якщо k = 1. Тоді для знаходження b отримаємо b 2. Таким чином, на прямій y = x +2 лежать фазові траєкторії. Ця пряма є асимптотою на фазовій площині.

69 Приклад Визначимо, як змінюються абсциса і ордината точки, що рухається по фазовій траєкторії. Для цього збудуємо області «знакопостійності» правих частин системи. y x (t)<0, y (t)<0 x (t)<0, y (t)>0 x x (t)>0, y (t)>0 Ця інформація буде потрібна для визначення напрямку руху по траєкторіях.

70 Приклад Встановимо, який характер опуклості (увігнутості) мають фазові траєкторії щодо осі x. Для цього знайдемо похідну y(x): 2(xy) () 2 2("() 1) xy 2(2) dx dx xy (xy) (xy) (xy) 2 dydxyyxxy Визначимо області «знакопостійності» отриманого виразу. У тих областях, де y(x) > 0, фазові траєкторії мають опуклість «вниз», а де y(x)< 0, выпуклость «вверх». y (x)>0 y y (x)< 0 x Полученной информации достаточно для построения фазового портрета. y (x)> 0

71 Приклад 14 (ФП) 71 y y x y x x

72 Вправи 72 Побудуйте фазові портрети для наступних систем: dx 3x 3, dt dy 2x y1; dt dx x; dt dy 2x 4; dt dx x y 2; dt dy 2x 2y1; dt dx 1; dt dy 2 x y; dt dx dt dy dt dx dt dy dt 2, 4; y 2, 2.

73 Література 73 Понтрягін Л.С. Прості диференціальні рівняння. М., Філіппов А.Ф. Збірник задач з диференціальних рівнянь. М., Пантелєєв А.В., Якімова А.С., Босов А.В. Звичайні диференціальні рівняння у прикладах та задачах. М: Вища. шк., 2001.

4.03.07 Заняття 4. Існування та стійкість положень рівноваги лінійних динамічних (ЛДС) систем на площині. Побудувати параметричний портрет та відповідні фазові портрети ЛДС (x, yr, ar):

Семінар 4 Система двох звичайних диференціальних рівнянь (ОДП). Фазова площина. Фазовий портрет. Кінетичні криві. Особливі точки. Стійкість стаціонарного стану. Лінеаризація системи в

Математичні методи в екології: Збірник завдань та вправ / Упоряд. Є.Є. Семенова, Є.В. Кудрявцева. Петрозаводськ: Изд-во ПетрГУ, 005..04.09 Заняття 7 Модель «хижак-жертва» Лотки-Вольтерри 86 (побудова

РОСІЙСЬКИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ МИРЕА ДОДАТКОВІ ГЛАВИ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ РОЗДІЛ 5. ТОЧКИ СПОКУ Робота присвячена моделюванню динамічних систем з використанням елементів вищої математики

Система лінійних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами. Кольцов С.М. www.linis.ru Метод варіації довільних постійних. Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння:

Стор. Лекція 3 СТІЙКІСТЬ РІШЕННЯ СИСТЕМ ДК Якщо деяке явище описується системою ДК dx dt i = f (t, x, x...x), i =..n з початковими in умовами xi (t 0) = x i0, i =. n, які зазвичай є

4.04.7 Заняття 7. Стійкість положень рівноваги автономних систем (метод лінеаризації Ляпунова, теорема Ляпунова) x "(f(x, y), f, g C(). y"(g(x, y), D) Пошук положень рівноваги P (x*, : f

СЕМІНАР 5 І 6 Система двох автономних звичайних лінійних диференціальних рівнянь. Фазова площина. Ізокліни. Побудова фазових портретів. Кінетичні криві. Знайомство із програмою TRAX. Фазовий

Лекція 6. Класифікація точок спокою лінійної системи двох рівнянь із постійними дійсними коефіцієнтами. Розглянемо систему двох лінійних диференціальних рівнянь із постійними дійсними

СЕМІНАР 4 Система двох автономних звичайних лінійних диференціальних рівнянь (ОДП). Вирішення системи двох лінійних автономних ОДУ. Типи спеціальних точок. РІШЕННЯ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої освіти «Уфімський державний нафтовий технічний університет» Кафедра

Лекція 1 Елементи якісного аналізу динамічних систем з безперервним часом на прямій Розглянемо автономне диференціальне рівняння du = f(u), (1) dt яке може бути використане

СЕМІНАР 7 Дослідження стійкості стаціонарних станів нелінійних систем другого порядку. Класична система Ст. Вольтерра. Аналітичне дослідження (визначення стаціонарних станів та їх стійкості)

Особливі точки в системах другого та третього порядків. Критерії стійкості стаціонарних станів лінійних та нелінійних систем. План відповіді Визначення особливої ​​точки типу центр. Визначення особливої ​​точки

ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ ЗА ДИФЕРЕНЦІЙНИМИ РІВНЯННЯМИ Методична розробка Упорядник: проф АН Саламатін На основі: АФ Філіппов Збірник завдань з диференціальних рівнянь Москва-Іжевськ НДЦ "Регулярна

1 ЛЕКЦІЯ 2 Системи нелінійних диференціальних рівнянь. Простір станів чи фазовий простір. Особливі точки та його класифікація. Умови сталості. Вузол, фокус, сідло, центр, граничний цикл.

7 ПОЛОЖЕННЯ РІВНОВАГИ ЛІНІЙНИХ АВТОНОМНИХ СИСТЕМ ДРУГОГО ПОРЯДКУ Автономною системою для функцій (t) (t) називається система диференціальних рівнянь d d P() Q() (7) dt dt де праві частини не залежать

Міністерство освіти та науки Російської Федерації Ярославський державний університет ім. П. Г. Демидова Кафедра алгебри та математичної логіки С. І. Яблокова Криві другого порядку Частина Практикум

Розділ IV. Перші інтеграли систем ОДУ 1. Перші інтеграли автономних систем звичайних диференціальних рівнянь У цьому параграфі розглядатимемо автономні системи виду f x = f 1 x, f n x C 1

Лекція 9 Лінеаризація диффе6ренціальних рівнянь Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків Однорідні рівняння властивості їх розв'язків Властивості розв'язків неоднорідних рівнянь Визначення 9 Лінійним

Побудова інтегральних кривих та фазового портрета автономного рівняння Маючи графік гладкої функції f(u), можна схематично побудувати інтегральні криві рівняння du dt = f(u). (1) Побудова спирається

7.0.07 Заняття. Динамічні системи з безперервним часом на прямий. Завдання 4. Побудувати біфуркаційну діаграму та типові фазові портрети для динамічної системи: d dt Розв'язування рівняння f (, 5 5,

Теорія стійкості Ляпунова. У багатьох завданнях механіки та техніки буває важливо знати не конкретні значення рішення при даному конкретному значенні аргументу, а характер поведінки рішення при зміні

Стор. 1 із 17 26.10.2012 11:39 Атестаційне тестування у сфері професійної освіти Спеціальність: 010300.62 Математика. Комп'ютерні науки Дисципліна: Диференціальні рівняння Час виконання

Семінар 5 Моделі, що описуються системами двох автономних диференціальних рівнянь. Вивчення нелінійних систем другого порядку. Модель Лотки. Модель Вольтерри. У загальному вигляді моделі, що описуються системами

Семінар Диференціальне рівняння першого ладу. Фазовий простір. Фазові змінні. Стаціонарний стан. Стійкість стаціонарного стану за Ляпуновим. Лінеаризація системи на околиці

Математичний аналіз Розділ: диференціальні рівняння Тема: Поняття стійкості рішення ДК та рішення системи ДК Лектор Пахомова Є.Г. 2012 5. Поняття стійкості рішення 1. Попередні зауваження

Завдання з параметром (графічний прийом рішення) Введение Застосування графіків щодо завдань із параметрами надзвичайно ефективно. Залежно від способу їх застосування виділяють два основні підходи.

РОСІЙСЬКИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ МИРЕА ДОДАТКОВІ ГЛАВИ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ РОЗДІЛ 3. СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЕНЬ Робота присвячена моделюванню динамічних систем з використанням елементів

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ Зміст КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ... 4. та дослідження квадратних рівнянь... 4.. Квадратне рівняння з числовими коефіцієнтами... 4.. Розв'язати та дослідити квадратні рівняння щодо

7..5,..5 Заняття,. Дискретні динамічні системи на прямій Завдання Провести дослідження динаміки густини популяції (t), що описується рівнянням: t t, const. t Чи існують серед рішень рівняння

Дослідження функції та побудова її графіка Пункти Дослідження: 1) Область визначення, безперервність, парність/непарність, періодичність функції. 2) Асимптоти графіка функції. 3) Нулі функції, інтервали

ЛЕКЦІЯ 16 ЗАДАЧА ПРО СТІЙКІСТЬ ПОЛОЖЕННЯ РАВНОВАГИ В КОНСЕРВАТИВНІЙ СИСТЕМІ 1. Теорема Лагранжа про стійкість положення рівноваги консервативної системи Нехай є n ступенів свободи. q 1, q 2,

Криві другого порядку Окружність Елліпс Гіпербола Парабола Нехай на площині задана прямокутна декартова система координат. Кривий другий порядок називається безліч точок, координати яких задовольняють

Лекція 1 Диференціальні рівняння першого порядку 1 Поняття диференціального рівняння та його рішення Звичайним диференціальним рівнянням 1-го порядку називається вираз виду F(x, y, y) 0, де

Тема 41 «Завдання з параметром» Основні формулювання завдань з параметром: 1) Знайти всі значення параметра, за кожного з яких виконується певна умова.) Розв'язати рівняння чи нерівність з

Лекція 3. Фазові потоки на площині 1. Стаціонарні точки, лінеаризація та стійкість. 2. Граничні цикли. 3. Біфуркація фазових потоків на площині. 1. Стаціонарні точки, лінеаризація та стійкість.

Лекція 3 Стійкість рівноваги і руху системи При розгляді рухів рівняння обуреного руху, що встановилися, запишемо у вигляді d dt A Y де вектор-стовпець квадратна матриця постійних коефіцієнтів

5. Стійкість атракторів 1 5. Стійкість атракторів У минулому розділі ми навчилися знаходити нерухомі точки динамічних систем. Також ми з'ясували, що є кілька різних типів нерухомих

4 лютого 9 г Практичне заняття Найпростіші завдання управління динамікою популяцій Завдання Нехай вільний розвиток популяції описується моделлю Мальтуса N N де N чисельність чи обсяг біомаси популяції

1) Привести рівняння кривої другого порядку x 4x y 0 до канонічного вигляду та знайти точки перетину її з прямою x y 0. Виконайте графічну ілюстрацію отриманого рішення. x 4x y 0 x x 1 y 0 x 1 y 4

ГЛАВА 4 Системи звичайних диференціальних рівнянь ЗАГАЛЬНІ ПОНЯТТЯ ТА ВИЗНАЧЕННЯ Основні визначення Для опису деяких процесів і явищ нерідко потрібні кілька функцій.

Семінар 9 Лінійний аналіз стійкості гомогенного стаціонарного стану системи двох рівнянь реакція дифузія Нестійкість Т'юрінга Активатор та інгібітор Умови виникнення диссипативних структур

ЛЕКЦІЯ 17 КРИТЕРІЙ РАУСА-ГУРВИЦЯ. МАЛІ КОЛИВАННЯ 1. Стійкість лінійної системи Розглянемо систему двох рівнянь. Рівняння обуреного руху мають вигляд: dx 1 dt = x + ax 3 1 dx dt = x 1 + ax 3,

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РФ НОВОСИБІРСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Фізичний факультет Кафедра вищої математики фізичного факультету Методи вирішення звичайних диференціальних рівнянь.

1. Що таке прості диференціальні рівняння та системи. Концепція рішення. Автономні та неавтономні рівняння. Рівняння та системи порядку вищі за перший та їх зведення до систем першого порядку.

Лекція 1 Дослідження руху на консервативної системі з одним ступенем свободи 1. Основні поняття. Консервативною системою з одним ступенем свободи ми називатимемо систему, що описується диференціальним

РОЗДІЛ. СТІЙКІСТЬ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ 8 ступінь зі знаком +, отриманого випливає, що () π зростає від до π. Отже, доданки ϕ i() і k () +, тобто вектор (i) ϕ монотонно ϕ монотонно зростають при

ФАЗОВА ПЛОЩІСТЬ ДЛЯ НЕЛІНІЙНОГО АВТОНОМНОГО РІВНЯННЯ - ГО ПОРЯДКУ. Постановка задачі. Розглянемо автономне рівняння виду = f. () Як відомо, це рівняння еквівалентно наступній нормальній системі

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ 1. Основні поняття Диференціальним рівнянням щодо деякої функції називається рівняння, що пов'язує цю функцію з її незалежними перемпними та з її похідними.

Математичні методи в екології: Збірник завдань та вправ / Упоряд. Є.Є. Семенова, Є.В. Кудрявцева. Петрозаводськ: Изд-во ПетрГУ, 2005. 2 семестр Заняття. Модель "Хижак-жертва" Лотки-Вольтерри Тема 5.2.

Геометричний сенс похідної, дотична 1. На малюнку зображено графік функції y=f(x) і дотична до нього у точці з абсцисою x 0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x 0. Значення

Графік функції y=f(x) називається опуклим на інтервалі (a; b), якщо він розташований нижче за будь-яку свою дотичну на цьому інтервалі Графік

Розділ 6 Основи теорії стійкості Лекція Постановка задачі Основні поняття Раніше було показано, що розв'язання задачі Коші для нормальної системи ОДУ = f, () безперервно залежить від початкових умов при

19.11.15 Заняття 16. Базова модель «Брюсселятор» До початку 70-х років. більшість хіміків вважало, що хімічні реакції не можуть йти в коливальному режимі. Експериментальні дослідження радянських учених

Розділ 8 Функції та графіки Змінні та залежності між ними. Дві величини і називаються прямо пропорційними, якщо їхнє відношення постійно, тобто якщо =, де постійне число, що не змінюється зі зміною

Система підготовки учнів до ЄДІ з математики профільного рівня. (Завдання з параметром) Теоретичний матеріал Визначення. Параметром називається незалежна змінна, значення якої в задачі вважається

Лекція Дослідження функції та побудова її графіка Анотація: Функція досліджується на монотонність, екстремум, опуклість-увігнутість, на існування асимптот Наводиться приклад дослідження функції, що будується

29. Асимптотична стійкість рішень систем звичайних диференціальних рівнянь, сфера тяжіння та методи її оцінки. Теорема В.І. Зубова про межі сфери тяжіння. В.Д.Ногін 1 о. Визначення

Лекція 13. Тема: Криві другого порядку Криві другого порядку на площині: еліпс, гіпербола, парабола. Висновок рівнянь кривих другого порядку на основі їх геометричних якостей. Дослідження форми еліпса,

ЗАТВЕРДЖЕНО Проректор з навчальної роботи та довузівської підготовки О. О. Воронов 09 січня 2018 р. ПРОГРАМА з дисципліни: Динамічні системи за напрямом підготовки: 03.03.01 «Прикладна математика

Вступ 4

Апріорний аналіз динамічних систем 5

Проходження випадкового сигналу через лінійну систему 5

Еволюція фазового вектора системи 7

Еволюція коваріаційної матриці фазового вектора системи 8

Статистична лінеаризація 8

Перший спосіб 9

Другий спосіб 10

Обчислення коефіцієнтів лінеаризації 10

Неоднозначність у нелінійних ланках 14

Нелінійна ланка, охоплена зворотним зв'язком 15

Моделювання випадкових процесів 16

Формуючий фільтр 16

Моделювання білого шуму 17

Оцінювання статистичних характеристик динамічних систем методом Монте-Карло 18

Точність оцінок 18

Нестаціонарні динамічні системи 20

Стаціонарні динамічні системи 21

Апостеріорний аналіз динамічних систем 22

Фільтр Калмана 22

Модель руху 22

Модель вимірів 23

Корекція 23

Прогноз 23

Оцінювання 23

Використання калманівської фільтрації у нелінійних задачах 25

Метод найменших квадратів 27

Побудова оцінок 27

Прогноз 29

Використання методу найменших квадратів у нелінійних задачах 29

Побудова матриці Коші 30

Моделювання вимірювань 30

Чисельні методи 31

Спеціальні функції 31

Моделювання випадкових величин 31

Поступово розподілені випадкові величини 31

Гауссівські випадкові величини 32

Випадкові вектори 33

Інтеграл ймовірностей 34

Поліноми Чебишева 36

Інтегрування звичайних диференціальних рівнянь 36

Методи Рунге-Кутти 36

Точність результатів чисельного інтегрування 37

Вкладений метод Дормана-Прінса 5(4) порядку 37

Багатокрокові методи 39

Методи Адамса 39

Інтегрування рівнянь із запізнілим аргументом 40

Порівняння обчислювальних якостей методів 40

Завдання Аренсторфа 40

Еліптичні функції Якобі 41

Завдання двох тіл 41

Рівняння Ван-дер-Поля 42

«Брюсселятор» 42

Лагранжа для висячої струни 42

«Плеяди» 42

Оформлення пояснювальної записки 43

Титульний лист 43

Розділ «Вступ» 44

Розділ «Теорія» 44

Розділ «Алгоритм» 44

Розділ «Програма» 45

Розділ «Результати» 45

Розділ «Висновки» 45

Розділ «Список використаних джерел» 45

Програми 45

Література 47

Вступ

У цьому навчальному посібнику містяться методичні вказівки до виконання завдань курсових проектів та проведення практичних занять з курсу «Основи статистичної динаміки».

Метою курсового проектування та практичних занять є оволодіння студентами технологією апріорного та апостеріорного аналізу нелінійних динамічних систем, що під впливом випадкових обурень.

Апріорний аналіз динамічних систем

Статистична лінеаризація

Статистична лінеаризація дозволяє перетворити вихідну нелінійну динамічну систему в.о., щоб її аналізу вдалося скористатися методами, алгоритмами, співвідношеннями, справедливими для лінійних систем.

Цей розділ присвячений викладу методу статистичної лінеаризації, що ґрунтується на найбільш простому наближеному підході, запропонованому проф. І.Є. Козаковим, що дозволяє, тим щонайменше, побудувати оцінки точності системи, містить навіть суттєві нелінійності з розривними характеристиками.

Статистична лінеаризація полягає у заміні вихідної безінерційної нелінійної залежності між вхідним та вихідним процесами такою наближеною залежністю, лінійною щодо центрованого вхідного випадкового процесу, яка є еквівалентною у статистичному сенсі по відношенню до вихідної:

Ланка, що має таку наближену залежність між вхідним і вихідним сигналами, називається еквівалентним розглянутій нелінійній ланці .

Величина вибирається виходячи з умови рівності математичних очікувань нелінійного та лінеаризованого сигналів і носить назву статистичної середньої характеристики еквівалентної ланки:

,

де - Щільність розподілу вхідного сигналу .

Для нелінійних ланок із непарними характеристиками, тобто. при , статистичну характеристику зручно подати у вигляді:

- Математичне очікування вхідного сигналу;
- Статистичний коефіцієнт посилення еквівалентної ланки за середньою складовою.

Т.ч. еквівалентна залежність у цьому випадку набуває вигляду:

Характеристику називають статистичним коефіцієнтом посилення еквівалентної ланки за випадковою складовою (флуктуаціями) та визначають двома способами.

Перший спосіб

Відповідно до першого способу статистичної лінеаризації коефіцієнт вибирається виходячи з умови рівності дисперсій вихідного та еквівалентного сигналів. Т.ч. для обчислення отримаємо таке співвідношення:

,

де - Дисперсія вхідного випадкового впливу.

Знак у виразі визначається характером залежності в околиці значення аргументу . Якщо зростає, то , а якщо зменшується, то .

Другий спосіб

Значення другого способу вибирається з умови мінімізації середньої квадратичної помилки лінеаризації:

Остаточне співвідношення для обчислення коефіцієнта другого способу має вигляд:

.

На закінчення зазначимо, що жоден з двох, розглянутих вище, способів лінеаризації не забезпечує рівності кореляційних функцій вихідних сигналів нелінійної та еквівалентної ланок. Розрахунки показують, що з кореляційної функції нелінійного сигналу перший метод вибору дає оцінку зверху, а другий метод – оцінку знизу, тобто. помилки щодо кореляційної функції нелінійного вихідного сигналу мають різні знаки. Проф. І.Є. Козаков, автор, викладеного тут методу, рекомендує вибирати як результуючий коефіцієнт лінеаризації напівсуму коефіцієнтів, отриманих за першим і другим способом.

Формуючий фільтр

Як правило, параметри визначається шляхом прирівнювання коефіцієнтів поліномів чисельника та знаменника у рівнянні

при однакових ступенях.

Після визначення передавальної функції формуючого фільтра результуюча схема моделювання випадкового процесу виглядає як показано на малюнку.

Наприклад, спектральна щільність процесу, що підлягає моделюванню має вигляд:

,

математичне очікування, а для моделювання використовується білий шум з інтенсивністю, отже, має одиничну спектральну щільність.

Очевидно, що чисельник і знаменник шуканої передавальної функцій повинні мати порядки 1 і 2 (справді, будучи зведеною в квадрат по модулю передавальна функція утворює приватне поліноми 2-го та 4-го ступенів)

Т.ч. передавальна функція формуючого фільтра в найбільш загальному вигляді виглядає так:

,

а квадрат її модуля:

Прирівняємо отримані співвідношення:

Винесемо за дужку і в правій частині рівності, прирівнюючи цим коефіцієнти при нульових ступенях:

,

звідки з очевидністю випливають такі рівності:

; ; ; .

Т.ч. структурна схема формування випадкового процесу із заданими статистичними характеристиками з білого шуму з одиничною спектральною щільністю виглядає, як показано на малюнку, з урахуванням розрахованих значень параметрів фільтра, що формує.

Моделювання білого шуму

Для моделювання випадкового процесу із заданими статистичними характеристиками як вхідний випадковий процес у формуючий фільтр використовується білий шум. Проте, точне моделювання білого шуму нереалізовано через нескінченну дисперсію цього випадкового процесу.

З цієї причини, як заміна білого шуму, що впливає на динамічну систему, використовується випадковий ступінчастий процес. Інтервал, у якому реалізація випадкового процесу зберігає значення незмінною (ширина сходинки, інтервал кореляції), – величина постійна. Самі значення реалізації (висоти сходинок) – випадкові величини, розподілені за нормальним законом із нульовим математичним очікуванням та обмеженою дисперсією. Значення параметрів процесу – інтервал кореляції та дисперсія – визначаються характеристиками динамічної системи, на яку впливає білий шум.

Ідея методу ґрунтується на обмеженості смуги пропускання будь-якої реальної динамічної системи. Тобто. коефіцієнт посилення реальної динамічної системи зменшується в міру збільшення частоти вхідного сигналу, а, отже, існує така частота (менше нескінченної), на яку коефіцієнт посилення системи настільки малий, що можна покласти його нульовим. А це, у свою чергу, означає, що вхідний сигнал із постійною, але обмеженою цією частотою, спектральною щільністю, для такої системи буде еквівалентний білому шуму (з постійною та нескінченною спектральною щільністю).

Параметри еквівалентного випадкового процесу – інтервал кореляції та дисперсія обчислюються таким чином:

де - Емпірично визначається межа смуги пропускання динамічної системи.

Точність оцінок

Оцінки математичного очікування

та дисперсії

випадкової величини , побудовані на основі обробки обмеженої вибірки її реалізацій , самі є випадковими величинами.

Очевидно, що чим більший розмір вибірки реалізацій, тим точніше незміщена оцінка, тим ближче вона до справжнього значення параметра, що оцінюється. Нижче наведені наближені формули, що ґрунтуються на припущенні щодо їх нормального розподілу. Симетричний відносно довірчий інтервал для оцінки , що відповідає довірчій ймовірності , визначається величиною , для якої справедливе співвідношення:

,

де
- Справжнє значення математичного очікування випадкової величини,
- Середньоквадратичне відхилення випадкової величини,
- Інтеграл ймовірностей.

На основі наведеного вище співвідношення величина може бути визначена таким чином:

,

де - Функція, зворотна по відношенню до інтегралу ймовірностей.

Оскільки характеристика розсіювання оцінки нам точно не відома, скористаємося її орієнтовним значенням, обчисленим з використанням оцінки :

Т.ч. остаточне співвідношення, що пов'язують точність оцінки математичного очікування та розміру вибірки, за якою проводиться оцінювання, виглядає так:

.

Це означає, що величина довірчого інтервалу (при незмінному значенні довірчої ймовірності), розташованого симетрично щодо, виражена в частках оцінки середньоквадратичного відхилення, обернено пропорційна квадратному кореню з розміру вибірки.

Довірчий інтервал для оцінки дисперсії визначається аналогічним чином:

з точністю до величини , яка через відсутність більш точної інформації може бути приблизно визначена з співвідношення:

Т.ч. величина довірчого інтервалу (при постійному значенні довірчої ймовірності), розташованого симетрично щодо, виражена в її частках, обернено пропорційна квадратному кореню з величини, де – розмір вибірки.

Точніші формули для побудови довірчих інтервалів оцінок можуть бути отримані з використанням точних відомостей про закон розподілу випадкової величини.

Наприклад, для гаусівського закону розподілу випадкова величина

підпорядковується закону розподілу Ст'юдента зі ступенем свободи, а випадкова величина

розподілено за законом також із ступенем свободи.

Фільтр Калмана

Модель руху

Як відомо, Фільтр Калмана призначений для оцінювання вектора стану лінійної динамічної системи, модель еволюції якого може бути записана у вигляді:

де
- матриця Коші, що визначає зміну вектора стану системи у її власному русі (без керуючих та шумових впливів) від часу до моменту часу;
- Вектор примушують невипадкових впливів на систему (наприклад, керуючих впливів) в момент часу;
- матриця впливу змушуючих впливів у момент часу на вектор стану системи у момент часу;
- Вектор випадкових незалежних центрованих впливів на систему в момент часу ;
– матриця впливу випадкових впливів у час на вектор стану системи у час .

Модель вимірів

Оцінювання виконується на основі статистичної обробки результатів вимірювань, лінійно пов'язаних з вектором стану, та спотворених адитивною незміщеною помилкою:

де - матриця, що зв'язує вектори стану і вимірювань в той самий момент часу .

Корекція

Основу Фільтру Калмана складають співвідношення корекції, що є результатом мінімізації сліду коваріаційної матриці апостеріорної щільності розподілу лінійної (по вектору вимірювань) оцінки вектора стану системи:

Прогноз

Доповнюючи співвідношення корекції співвідношеннями прогнозу, що ґрунтуються на лінійних властивостях моделі еволюції системи:

де - коваріаційна матриця вектора, отримаємо формули рекурентного байєсовського алгоритму оцінювання вектора стану системи та його коваріаційної матриці на основі статистичної обробки результатів вимірювань.

Оцінювання

Очевидно, для реалізації наведених співвідношень необхідно вміти будувати матриці, з моделі еволюції, матрицю з моделі вимірювань, а також підступні матриці і для кожного моменту часу.

Крім того, для ініціалізації обчислювального процесу необхідно будь-яким чином визначити апостериорні, або апріорні оцінки вектора стану та його коваріаційної матриці. Термін «апріорні» або «апостеріорні» в даному випадку означає лише ту якість, в якій вектор стану та його коваріаційна матриця буде використано у обчислювальному алгоритмі, і не говорить нічого про те, яким чином вони були отримані.

Таким чином, вибір співвідношення, з якого слід починати обчислення, визначається тим, до яких моментів часу віднесені початкові умови фільтрації та перший необроблений вектор вимірювань . Якщо моменти часу збігаються, то першим слід застосувати співвідношення корекції, що дозволяють уточнити початкові умови, якщо ні, спочатку слід спрогнозувати початкові умови до моменту прив'язки першого необробленого вектора вимірювань.

Пояснимо алгоритм калманівської фільтрації за допомогою малюнка.

На малюнку в осях координат (в каналі руху) зображені кілька можливих траєкторій фазового вектора:

- Справжня траєкторія еволюції фазового вектора;
- еволюція фазового вектора, прогнозована на основі використання моделі руху та апріорної оцінки фазового вектора, віднесеної до моменту часу;
– еволюція фазового вектора, прогнозована на основі використання моделі руху та апостеріорної (точнішої) оцінки фазового вектора, віднесеної до моменту часу

В осях координат , (у каналі вимірювань) в моменти часу і зображені результати вимірювань і :

,

де
- Справжнє значення вектора вимірювань в момент часу;
- Вектор помилок вимірювань, що реалізувалися в момент часу .

Для побудови поправки до апріорного фазового вектора системи використовується різниця між результатом вимірювання і тим значенням, яке було б виміряно згідно з моделлю вимірювань задачі, якби фазовий вектор, дійсно, прийняв значення . В результаті застосування до апріорних оцінок співвідношень корекції оцінка фазового вектора системи дещо уточниться і прийме значення , що дозволить більш точно (принаймні, в околиці моменту часу) прогнозувати поведінку фазового вектора динамічної досліджуваної системи за допомогою моделі руху завдання.

В момент часу як апріорна оцінка використовується результат прогнозу на траєкторії проходить через фазовий вектор , знову будується різниця вимірів за якою обчислюється апостеріорне, ще точніше значення тощо. до тих пір, поки є вектори вимірювання для обробки або є необхідність прогнозувати поведінку фазового вектора.

Метод найменших квадратів

У цьому розділі представлений метод найменших квадратів, адаптований апостериорного аналізу динамічних систем.

Побудова оцінок

Для випадку лінійної моделі рівноточних вимірів:

маємо наступний алгоритм оцінювання фазового вектора:

.

Для випадку нерівноточних вимірів вводиться в розгляд матриця, що містить на діагоналі вагові коефіцієнти. З урахуванням вагових коефіцієнтів попереднє співвідношення набуде вигляду:

.

Якщо в якості вагової використовувати матрицю, зворотну до матриці помилок вимірювань , то з урахуванням тієї обставини, що отримаємо:

.

Як випливає з наведених вище співвідношень, основу методу становить матриця, що зв'язує фазовий вектор, що оцінюється, віднесений до деякого моменту часу, і вектор вимірювань. Вектор має, як правило, блокову структуру, в якій кожен із блоків віднесений до деякого моменту часу , що не збігається в загальному випадку з .

На малюнку показано деяке можливе взаємне розташування моментів часу, до яких віднесені вимірювання та моменту часу, до якого віднесений вектор параметрів, що оцінюються.

Для кожного вектора справедливе таке співвідношення:

, за .

Таким чином, у результуючому співвідношенні методу найменших квадратів вектор і матриця мають таку структуру:

; .

де
– визначає невипадкову дію на систему;
- Визначає випадковий вплив на систему.

можуть бути використані співвідношення прогнозу, що зустрічалися вище при описі алгоритму калманівської фільтрації:

де - Коваріаційна матриця вектора.

Побудова матриці Коші

У задачах побудови оцінок методами статистичної обробки вимірювань часто трапляється задача побудови матриці Коші. Ця матриця пов'язує фазові вектори системи, віднесені до різних моментів часу, у своєму русі.

Обмежимося у цьому розділі розглядом питань, пов'язаних із побудовою матриці Коші для моделі еволюції, записаної у вигляді системи звичайних диференціальних рівнянь (лінійних чи нелінійних).

де використані наступні позначення для матриць пропорційності, побудованих в околиці опорної траєкторії :

; .

Моделювання вимірювань

Проблема виникає у випадку, коли, наприклад, оцінюючи потенційно досяжну точність методу в певному завданні, Ви не маєте будь-яких результатів вимірювань. У цьому випадку результати вимірювання потрібно змоделювати. Особливість моделювання результатів вимірювань полягає в тому, що моделі руху та вимірювань, що використовуються для цієї мети, можуть не співпадати з тими моделями, які Ви будете використовувати в ході побудови оцінок з використанням того чи іншого методу фільтрації.

Як початкові умови для моделювання еволюції фазового вектора динамічної системи повинні використовуватися справжні значення координат цього вектора. Крім цього, місця справжні значення координат фазового вектора системи не повинні використовуватися більш ніде.

Чисельні методи

Спеціальні функції

Випадкові вектори

Проблема, розв'язання якої описано в цьому підрозділі, полягає у моделюванні вектора корелюваних між собою випадкових гаусівських величин.

Нехай випадковий вектор , що підлягає моделюванню, формується на основі перетворення вектора стандартних некорельованих випадкових величин відповідної розмірності наступним чином: з точністю до 4 знаків ґрунтується на розкладанні рядів за ступенями аргументу для трьох його інтервалів.

При сумі асимптотичного ряду стає практично рівною 1.

Вступ

Оскільки концепція нелінійної динамічної системи досить багата, щоб охопити надзвичайно широке коло процесів, у яких майбутня поведінка системи визначається минулим, методи аналізу, розроблені в цій галузі, корисні у величезній різноманітності контекстів

Нелінійна динаміка входить у літературу принаймні трьома способами. По-перше, бувають випадки, коли експериментальні дані про зміну в часі однієї або декількох величин збираються і аналізуються з використанням методик, заснованих на нелінійній динамічній теорії, з мінімальними припущеннями щодо рівнянь, що лежать в основі, що управляють процесом, який і створює ці дані. Тобто це випадок, при якому прагнуть знайти кореляції в даних, які можуть направити розробку математичної моделі, замість того, щоб спочатку вгадати модель, а потім порівняти її з даними.

По-друге, є випадки, коли нелінійна динамічна теорія може використовуватися для твердження, що деяка спрощена модель повинна демонструвати важливі особливості даної системи, з чого випливає, що модель, що описує, можна побудувати і вивчити в широкому діапазоні параметрів. Часто це призводить до моделей, які поводяться якісно по-різному за різних параметрів і демонструють, що одна область показує поведінку, дуже схожу на поведінку, що спостерігається в реальній системі. У багатьох випадках поведінка моделі досить чутлива до змін параметрів, тому якщо параметри моделі можуть бути виміряні в реальній системі, модель демонструє реалістичну поведінку при цих значеннях, і можна бути впевненим, що модель охопила істотні особливості система.

По-третє, трапляються випадки, коли модельні рівняння будуються на основі докладних описів відомої фізики. Потім чисельні експерименти можуть дати інформацію про змінні, недоступні фізичним експериментам.

Спираючись на другий шлях, ця робота є розширенням моєї попередньої роботи «Нелінійна динамічна модель взаємозалежних галузей виробництва», а також іншої роботи (Dmitriev, 2015)

Усі необхідні визначення та інші теоретичні відомості, необхідні у роботі, будуть з'являтися у першому розділі, у міру їхньої необхідності. Тут же буде наведено два визначення, що необхідні для розкриття самої теми дослідження.

Для початку дамо визначення системної динаміки. Відповідно до одного з визначень, системна динаміка - підхід імітаційного моделювання, який завдяки своїм методам та інструментам допомагає оцінити структуру складних систем та їх динаміку (Штерман). Варто додати, що системна динаміка також і метод моделювання, який використовують з метою відтворення вірних (з точки зору точності) комп'ютерних моделей для складних систем заради їх майбутнього використання для того, щоб створити ефективнішу компанію/організацію, а також покращити методи взаємодії з даною системою. Переважно необхідність у системній динаміці виникає при зіткненні із довгостроковими, стратегічними моделями, а також варто зазначити, що вона є досить абстрактною.

Говорячи про нелінійну диференціальну динаміку, ми розглядатимемо нелінійну систему, яка за визначенням, є системою, в якій зміна результату не пропорційна зміні вхідних параметрів, і в якій функція описує залежність зміни в часі та положенні точки у просторі (Boeing, 2016).

Виходячи з вищеназваних визначень, стає зрозуміло, що ця робота розглядатиме різні нелінійні диференціальні системи, що описують взаємодію компаній, а також побудовані на їх основі імітаційні моделі. Грунтуючись на цьому і буде визначено мету роботи.

Таким чином, метою даної роботи є проведення якісного аналізу динамічних систем, що описують взаємодію компаній, у першому наближенні та побудову імітаційної моделі на їх основі.

Для досягнення поставленої мети було виділено такі завдання:

Визначення сталості системи.

Побудова фазових портретів.

Знаходження інтегральних траєкторій систем.

Побудова імітаційних моделей.

Кожним із цих завдань буде присвячений один із розділів кожного з розділів роботи.

Виходячи з практики, побудова основних математичних конструкцій, які ефективно моделюють динаміку в різних фізичних як системах, так і процесах, свідчить про те, що відповідна їм математична модель певною мірою відображає близькість до оригіналу, що досліджується, коли її характерні ознаки можуть бути виведені з властивостей та структури з формуючого динаміку системи виду руху. Сьогодні економічна наука перебуває в такій стадії свого розвитку, у якому у ній особливо ефективно застосовуються нові, причому у часто, нестандартні методи й методи фізико-математичного моделювання економічних процесів. Саме звідси і випливає висновок необхідність створення, вивчення і побудова моделей, здатних якимось чином можуть описати економічну ситуацію.

Що стосується причини вибору якісного, а не кількісного аналізу, то варто зазначити, що в переважній кількості випадків результати та висновки з якісного аналізу динамічних систем виявляються значнішими за результати їх кількісного аналізу. У такій ситуації доречно зазначити висловлювання В.П. Милованова, у якому він стверджує, що зазвичай вважають, що результати, очікувані при застосуванні математичних методів для аналізу реальних об'єктів, мають зводитися до чисельного результату. У цьому сенсі якісні методи покладається дещо інше завдання. У ньому акцентується увагу до досягненні результату, описує якості системи, пошуку характерних рис всіх явищ загалом, на прогнозування. Зрозуміло, важливо розуміти, як зміниться попит при зміні цін на певний вид товарів, але не варто забувати, що набагато важливіше розуміння, чи в таких умовах настане дефіцит або надлишок цих товарів (Дмитрієв, 2016).

Об'єктом даного дослідження є нелінійна диференціальна та системна динаміка.

У такому разі предмет дослідження - опис процесу взаємодії між компаніями через нелінійну диференціальну і системну динаміку.

Говорячи про практичне застосування дослідження, варто відразу розбити його на дві частини. А саме на теоретичну, тобто якісний аналіз систем, та практичну, в якій буде розглянуто побудову імітаційних моделей.

Теоретична частина даного дослідження дає базові поняття та явища. У ній розглянуті прості диференціальні системи, як і в роботах багатьох інших авторів (Teschl, 2012; Nolte, 2015), але дозволяють описати взаємодію між компаніями. Грунтуючись на цьому надалі можна буде проводити більш поглиблені дослідження, або ж починати своє знайомство з тим, що являє собою якісний аналіз систем.

Практичну частину роботи можна використовуватиме створення системи підтримки прийняття рішень. Система підтримки прийняття рішень - автоматизована інформаційна система, націлена на підтримку бізнесу або прийняття рішень в організації, що дозволяє вибрати між різноманітними альтернативами (Keen, 1980). Нехай в даний момент моделі і не володіють високою точністю, але змінивши їх під конкретну компанію, можна досягти більш вірних результатів. Таким чином, при зміні в них різних параметрів і умов, здатних виникнути на ринку, можна отримати прогноз на майбутнє і прийняти заздалегідь вигідніше рішення.

1. Взаємодія підприємств за умов мутуалізму

У роботі будуть представлені двовимірні системи, які досить прості порівняно з системами вищого порядку, але при цьому дозволяють продемонструвати необхідні нам взаємини між організаціями.

Почати роботу варто з вибору виду взаємодії, яка надалі і буде описуватися, оскільки для кожного з видів системи, що їх описують, нехай небагато, але різні. На малюнку 1.1, зазначена модифікована під економічну взаємодію класифікація Юджима Одума для взаємодії популяцій (Одум, 1968), виходячи з якої надалі ми розглядатимемо взаємодію підприємств.

Малюнок 1.1. Типи взаємодії між підприємствами

На основі малюнку 1.1, виділимо 4 типи взаємодії і наведемо для кожного з них, що описує їх систему рівнянь, заснованої на моделі Мальтуса (Malthus, 1798). Відповідно до неї, швидкість зростання має пропорційну залежність від поточної чисельності виду, інакше кажучи, її можна описати наступним диференціальним рівнянням:

де a - певний параметр, залежить від природного приросту популяції. Також варто додати, що в системах, що розглядаються далі, всі параметри, а також змінні приймають невід'ємні значення.

Виробництво сировини - виробництво продукції, що аналогічно моделі хижака-жертва. Модель хижак-жертва, також відома як модель Лотки-Вольтерри, - пара нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку, що описують динаміку біологічної системи з двома видами, один із яких хижаки, а інший жертви (Llibre, 2007). Зміна чисельності цих видів описується наступною системою рівнянь:

(1.2)

де - характеризує зростання продукції першого підприємства без впливу другого (у разі моделі хижак-жертва, зростання популяції жертв без хижаків),

Характеризує зростання продукції другого підприємства без впливу першого (зростання популяції хижаків без жертв),

Характеризує зростання продукції першого підприємства з урахуванням впливом нього другого (зростання чисельності жертв при взаємодії з хижаками),

Характеризує зростання продукції другого підприємства, враховуючи вплив на нього першого (зростання чисельності хижаків за її взаємодії з жертвами).

На одного, на хижака, як видно із системи, а також класифікації Одума, їхня взаємодія накладає сприятливий вплив. На іншого несприятливе. Якщо розглядати в економічних реаліях, то як видно на малюнку найпростішим аналогом є фірма-виробник та її постачальник ресурсів, які відповідають хижакові та жертві відповідно. Таким чином, без сировини випуск продукції експоненційно знижується.

Конкуренція - це суперництво між двома і більше (у разі ми розглядаємо двовимірні системи, тому беремо саме двовидову конкуренцію) видами, економічними групами за території, обмежені ресурси чи інші цінності (Elton, 1968). Зміни в кількості видів, або кількості продукції в нашому випадку, описується системою нижче:

(1.3)

У цьому випадку види або компанії, що випускають один товар, несприятливо впливають один на одного. Тобто, за відсутності конкурента, зростання продукції експоненційно зросте.

Тепер перейдемо до симбіотичного взаємодії, у якому обидва підприємства мають одне одного позитивний вплив. Спочатку розглянемо мутуалізм. Мутуалізм - тип відносин між різними видами, у якому кожен із новачків отримує вигоду від дії іншого, причому слід зазначити, що присутність партнера обов'язково умова існування (Thompson, 2005). Такий тип відносин описується системою:

(1.4)

Оскільки взаємодія між компаніями необхідне їх існування, то відсутність товару однієї компанії, випуск товарів інший експоненційно знижується. Таке можливо, коли компанії просто не мають інших альтернатив для закупівель.

Розглянемо ще один вид симбіотичної взаємодії, протокооперацію. Протокооперація схожа на мутуалізм з єдиним винятком, немає потреби в обов'язковому існуванні партнера, оскільки, наприклад, існують інші альтернативи. Оскільки вони схожі, то їх системи виглядають практично аналогічно один одному:

(1.5)

Таким чином, відсутність товару однієї компанії не заважає зростанню товару інший.

Звісно, ​​крім перелічених у пунктах 3 і 4, можна назвати й інші види симбіотичних відносин: комменсалізм і аменсалізм (Hanski, 1999). Але вони не згадуватимуться надалі, оскільки в коменсалізмі одному з партнерів байдужа його взаємодія з іншим, а ми таки розглядаємо випадки, коли вплив є. А аменсалізм не розглядається, оскільки з економічної точки зору таких відносин, коли одному їхня взаємодія шкодить, а іншому байдуже, просто не може бути.

Виходячи з впливу компаній один на одного, а саме тому, що симбіотичні відносини ведуть сталого співіснування компаній, у цій роботі будуть розглянуті лише випадки мутуалізму та протокооперація, оскільки в обох випадках взаємодія вигідна всім.

Ця глава присвячена взаємодії підприємств у умовах мутуалізму. У ній будуть розглянуті дві системи, що є подальшим розвитком систем, заснованих на моделі Мальтуса, а саме системами з обмеженнями на збільшення продукції, що накладаються.

Динаміку пари, пов'язаної мутуалістичними відносинами, як було зазначено вище, у першому наближенні можна описати системою:

(1.6)

Можна зауважити, що при великій початковій кількості продукції система необмежено зростає, а при малому виробництво продукції падає. У цьому полягає некоректність білінійного описи ефекту, що виникає при мутуалізмі. Щоб спробувати виправити картину, введемо фактор, що нагадує насичення хижака, тобто, який дозволить зменшити швидкість зростання продукції, за його надлишку. У цьому випадку приходимо до наступної системи:

(1.7)

де - Зростання виробництва продукту першої компанії при її взаємодії з другою з урахуванням насичення,

Зростання виробництва продукту другої компанії при її взаємодії з першою з урахуванням насичення,

Коефіцієнти насичення.

Таким чином ми отримали дві системи: мальтузіанська модель зростання з насиченням і без нього.

1.1 Стійкість систем у першому наближенні

Стійкість систем у першому наближенні розглядається в багатьох, як іноземних (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 та інші), так і російськомовних роботах (Ахромєєва, 1992; Беллман, 1954; 16, Демид; 1959 та інші), та її визначення є базовим кроком для аналізу процесів, що відбуваються в системі. Для цього виконаємо такі необхідні кроки:

Знайдемо рівноважні точки.

Знайдемо матрицю Якобі системи.

Знайдемо власні значення матриці Якобі.

Класифікуємо рівноважні точки за теоремою Ляпунова.

Розглянувши кроки, варто докладніше зупинитися на їхнє пояснення, тому дам визначення та опишу методи, якими ми будемо користуватися в кожному з цих кроків.

Перший крок – пошук рівноважних точок. Для їхнього перебування прирівняємо кожну функцію до нуля. Тобто вирішимо систему:

де a і b маються на увазі всі параметри рівняння.

Наступний крок – пошук матриці Якобі. У нашому випадку це буде матриця 2 на 2 з першими похідними в деякій точці , як представлено нижче:

Після виконання перших двох кроків переходимо до знаходження коріння наступного характеристичного рівняння:

Де точка відповідає рівноважним точкам, знайденим у першому кроці.

Знайшовши і перейдемо до четвертого кроку і скористаємося наступними теоремами Ляпунова (Parks, 1992):

Теорема 1: Якщо всі корені характеристичного рівняння мають негативну дійсну частину, то рівноважна точка, що відповідає початковій та лінеаризованій системам – асимптотично стійка.

Теорема 2: Якщо хоча б один з коренів характеристичного рівняння має позитивну дійсну частину, то рівноважна точка, що відповідає початковій та лінеаризованій системам – асимптотично нестійка.

Також, дивлячись на і можна і точніше визначити тип стійкості, ґрунтуючись на наведеному на рисунках 1.2 поділу (Lamar University).

Малюнок 1.2. Типи стійкості рівноважних точок

Розглянувши потрібні теоретичні відомості, перейдемо до аналізу систем.

Розглянемо систему без насичення:

Вона дуже проста і не підходить для практичного застосування, оскільки не має жодних обмежень. Але як перший приклад аналізу системи підходить для розгляду.

Спочатку знайдемо рівноважні точки, прирівнявши праві частини рівнянь до нуля. Таким чином, виявляємо дві рівноважні точки, назвемо їх A і B: .

Об'єднаємо крок із пошуком матриці Якобі, коренів характеристичного рівняння та визначенням типу стійкості. Оскільки вони елементарні, то одразу отримаємо відповідь:

1. У точці , , стійкий вузол.

У точці: , , сідло.

Як я вже писав, дана система дуже тривіальна, тому не потрібно ніяких пояснень.

Тепер проведемо аналіз системи з насичення:

(1.9)

Поява обмеження на взаємонасичення продукцією підприємствами наближає нас до реальної картини того, що відбувається, а також трохи ускладнює систему.

Як і раніше, прирівнюємо праві частини системи до нуля та вирішуємо отриману систему. Крапка залишилася без змін, а ось інша точка в даному випадку містить більше параметрів, ніж раніше: .

У цьому випадку матриця Якобі набуває такого вигляду:

Віднімемо від неї одиничну матрицю, помножену на і прирівняємо визначник отриманої матриці в точці А і B до нуля.

У точці аналогічну ранню картину:

Стійкий вузол.

А ось у точці все трохи складніше, і нехай математика все-одно задоволена проста, але складність викликає незручність роботи з довгими літерними виразами. Оскільки значення виходить досить довгими і незручно записуваними, то вони не наводяться, достатньо лише сказати, що в даному випадку, як і з попередньою системою тип стійкості, що отримується - сідло.

2 Фазові портрети систем

Переважна більшість нелінійних динамічних моделей являють собою складні диференціальні рівняння, які або не вирішити, або це є деякою складністю. Прикладом може бути система з попереднього розділу. Незважаючи на простоту, знаходження типу стійкості у другій рівноважної точки було не легкою справою (нехай і не з математичної точки зору), а зі збільшенням параметрів, обмежень і рівнянь для збільшення кількості взаємодіючих підприємств, складність буде лише зростати. Звичайно, якщо параметри будуть являти собою числові вирази, то все стане неймовірно просто, але тоді аналіз певною мірою втратить всякий сенс, адже в результаті, ми зможемо знайти рівноважні точки і дізнатися їх типи стійкості лише для конкретного випадку, а не загального.

У таких випадках, варто згадати про фазову площину та фазові портрети. У прикладній математиці, зокрема в контексті нелінійного системного аналізу, фазова площина є візуальним відображенням певних характеристик деяких видів диференціальних рівнянь (Nolte, 2015). Координатна площина з осями значень будь-якої пари змінних, що характеризують стан системи – двовимірний випадок загального n-мірного фазового простору.

Завдяки фазовій площині можна графічно визначити існування граничних циклів у рішеннях диференціального рівняння.

Вирішення диференціального рівняння є сімейством функцій. Графічно це можна побудувати у фазовій площині як двовимірне векторне поле. На площині малюються вектори, що представляють похідні у характерних точках за яким-небудь параметром, у разі по часу, тобто (). При достатній кількості цих стрілок в одній області можна візуалізувати поведінку системи та легко ідентифікувати граничні цикли (Boeing, 2016).

Векторне поле є фазовим портретом, конкретний шлях вздовж лінії потоку (тобто шлях завжди дотичний до векторів) є фазовим шляхом. Потоки у векторному полі вказують на зміну системи у часі, що описується диференціальним рівнянням (Jordan, 2007).

Варто відзначити, що фазовий портрет можна побудувати, навіть без розв'язання диференціального рівняння, і в той же час хороша візуалізація може надати багато корисної інформації. До того ж нині існує безліч програм, здатних допомогти з побудовою фазових діаграм.

Отже, фазові площини корисні візуалізації поведінки фізичних систем. Зокрема, коливальних систем, таких як згадана вище модель хижак-жертва. У цих моделях фазові траєкторії можуть «закручуватися» у напрямі нуля, «виходити зі спіралі» в нескінченність або досягати нейтральної сталої ситуації, яка називається центрами. Це корисно при визначенні того, чи стабільна динаміка чи ні (Jordan, 2007).

Представлені в цьому розділі фазові портрети будуть побудовані за допомогою інструментів WolframAlpha, або наведені з інших джерел. Мальтузіанська модель зростання без насичення.

Побудуємо фазовий портрет першої системи з трьома набором параметрів, щоб порівняти їхню поведінку. Набір А ((1,1), (1,1)), який надалі називатиметься одиничним набором, набір B ((10,0.1), (2,2)), при виборі якого в системі спостерігається різкий спад виробництва продукції , і набір C ((1,10), (1,10)), при якому навпаки виникає різке і необмежене зростання. Варто відзначити, що значення по осях завжди будуть перебувати в одних і тих же інтервалах від -10 до 10, для зручності порівняння фазових діаграм між собою. Звичайно, це не стосується якісного портрета системи, у якого осі безрозмірні.

Малюнок 1.3 Фазовий портрет із параметрами А

мутуалізм диференціальний граничний рівняння

На рисунку 1.3, наведених вище, продемонстровані фазові портрети системи при трьох зазначених наборах параметрів, а також фазовий портрет, що описує якісну поведінку системи. Не варто забувати, що найважливішою з практичної точки зору є перша чверть, оскільки кількість продукції, яка може бути лише невід'ємною, є наші осі.

На кожному з малюнків очевидно видно стійкість у рівноважній точці (0,0). І першому малюнку також помітно «сідло» у точці (1,1), інакше кажучи, якщо підставити значення набору параметрів у систему, то рівноважної точці У. При зміні меж побудови моделі, сідлова точка виявляється і інших фазових портретах.

Мальтузіанська модель зростання з насичення.

Побудуємо фазові діаграми для другої системи, в якій є насичення, з трьома новими наборами значень параметрів. Набір А, ((0.1,15,100), (0.1,15,100)), набір ((1,1,0.5), (1, 1,0.5)) і набір С ((20,1,100), (20,1,100) )).

Малюнок 1.4. Фазовий портрет із параметрами А

Як можна помітити, за будь-яких наборів параметрів, точка (0,0) - рівноважна, і до того ж стійка. Також на деяких малюнках можна побачити і сідлову точку.

В даному випадку розглядалися різні масштаби, щоб наочніше продемонструвати, що навіть при додаванні в систему фактора насичення, якісна картина не змінюється, тобто лише насичення недостатньо. Необхідно врахувати, що на практиці для компаній необхідна стабільність, тобто якщо розглядати нелінійні диференціальні рівняння, то нас найбільше цікавлять стійкі рівноважні точки, а в цих системах такими точками є лише нульові, що означає, що подібні математичні моделі явно не підійдуть підприємствам. . Адже це означає, що лише при нульовому виробництві компанії знаходяться у стійкості, що явно відрізняється від реальної картини світу.

В математиці інтегральна крива є параметричною кривою, яка є конкретним рішенням звичайного диференціального рівняння або системи рівнянь (Lang, 1972). Якщо диференціальне рівняння представлене як векторне поле, відповідні інтегральні криві стосуються поля в кожній точці.

Інтегральні криві відомі під іншими назвами, залежно від природи та інтерпретації диференціального рівняння або векторного поля. У фізиці інтегральні криві для електричного або магнітного поля відомі як лінії поля, а інтегральні криві для поля швидкостей рідини відомі як лінії струму. У динамічних системах інтегральні криві для диференціального рівняння називають траєкторіями.

Малюнок 1.5. Інтегральні криві

Рішення будь-якої системи можна розглядати і як рівняння інтегральних кривих. Вочевидь, кожна фазова траєкторія - проекція деякої інтегральної кривою у просторі x,y,t на фазову площину.

Для побудови інтегральних кривих є кілька способів.

Один з них – метод ізоклін. Ізокліна - це крива, що проходить через точки, в яких нахил цієї функції буде завжди одним і тим же, незалежно від початкових умов (Hanski, 1999).

Він часто використовується як графічний метод вирішення звичайних диференціальних рівнянь. Наприклад, у рівнянні виду y"= f(x, y) ізокліни є лініями на площині (x, y), отриманими прирівнюванням f (x, y) до константи. Це дає ряд ліній (для різних констант), вздовж яких криві рішення мають один і той же градієнт.Обчислюючи цей градієнт для кожної ізокліни, поле нахилу можна візуалізувати, що дозволяє порівняно легко намалювати наближені криві рішення.На рисунку нижче показаний приклад використання методу ізоклін.

Малюнок 1.6. Метод ізоклін

Цей метод не вимагає обчислень на комп'ютері, і був дуже популярним раніше. Зараз існують програмні рішення, які на комп'ютерах побудують інтегральні криві гранично точно та швидко. Однак, навіть так метод ізоклін непогано зарекомендував себе як інструмент для вивчення поведінки рішень, оскільки дозволяє показати області типової поведінки інтегральних кривих.

Мальтузіанська модель зростання без насичення.

Почнемо з того, що, незважаючи на існування різних способів побудови, показати інтегральні криві системи рівнянь не так просто. Метод ізоклін, що згадується раніше, не підходить, оскільки він працює для диференціальних рівнянь першого порядку. А програмні засоби, що мають можливість побудови таких кривих, не знаходяться у відкритому доступі. Наприклад, Wolfram Mathematica, здатна цього, платна. Тому намагатимемося максимально використовувати можливості Wolfram Alpha, робота з якою описана в різних статтях та роботах (Orca, 2009). Навіть незважаючи на те, що картина буде явно не зовсім достовірною, але принаймні дозволить показати залежність у площинах (x, t), (y, t). Для початку розв'яжемо кожне з рівнянь щодо t. Тобто виведемо залежність кожної із змінних щодо часу. Для цієї системи отримуємо:

(1.10)

(1.11)

Рівняння симетричні, тому розглянемо лише одне їх, саме x(t). Нехай константа дорівнює 1. У разі скористаємося функцією побудови графіків.

Малюнок 1.7. Тривимірна модель для рівняння (1.10)

Мальтузіанська модель зростання з насичення.

Виконаємо аналогічні дії і для іншої моделі. Зрештою отримуємо два рівняння, що демонструють залежність змінних від часу.

(1.12)

(1.13)

Знову побудуємо тривимірну модель та лінії рівня.

Малюнок 1.8. Тривимірна модель для рівняння (1.12)

Оскільки значення змінних неотрицательны, то дроби при експоненті отримуємо негативне число. Таким чином, з часом інтегральна крива зменшується.

Раніше було дано визначення системної динаміки для розуміння суті роботи, тепер зупинимося на цьому детальніше.

Системна динаміка - методологія та метод математичного моделювання для формування, розуміння та обговорення складних проблем, спочатку розроблена в 1950-х роках Джеєм Форрестером, та описана у його роботі (Forrester, 1961).

Системна динаміка одна із аспектів теорії систем як методу розуміння динамічного поведінки складних систем. Основою методу є визнання того, що структура будь-якої системи складається з численних відносин між її компонентами, які найчастіше настільки ж важливі визначення її поведінки, як і самі окремі компоненти. Прикладами є теорія хаосу та соціальна динаміка, описані в роботах різних авторів (Grebogi, 1987; Sontag, 1998; Кузнєцов, 2001; Табор, 2001). Також стверджується, що, оскільки у властивостях елементів часто не можуть бути знайдені властивості-цілого, у деяких випадках поведінка цілого не може бути пояснена з погляду поведінки частин.

Моделювання може по-справжньому показати всю практичну значущість динамічної системи. Хоча воно і можливе в електронних таблицях, існує безліч програмних пакетів, які були оптимізовані спеціально для цього.

Саме собою моделювання - це процес створення та аналізу прототипу фізичної моделі для прогнозування її продуктивності у світі. Імітаційне моделювання використовується, щоб допомогти проектувальникам та інженерам зрозуміти, за яких умов і в яких випадках процес може зазнати невдачі та які навантаження він може витримати (Хемді, 2007). Моделювання також допоможе передбачити поведінку потоків рідини та інші фізичні явища. У моделі аналізується приблизні умови роботи за рахунок застосовуваних імітаційних програмних засобів (Строгалев, 2008).

Обмеження щодо можливості імітаційного моделювання мають загальну причину. Побудова та чисельний розрахунок точної моделі гарантує успіх лише в тих областях, де існує точна кількісна теорія, тобто коли відомі рівняння, що описують ті чи інші явища, і завдання полягає лише в тому, щоб вирішити ці рівняння з необхідною точністю. У тих самих галузях, де кількісної теорії немає, побудова точної моделі має обмежену цінність (Базыкин, 2003).

Проте можливості моделювання не безмежні. Насамперед, це пов'язано з тим, що важко оцінити сферу застосування імітаційної моделі, зокрема, період часу, для якого прогноз може бути побудований з необхідною точністю (Law, 2006). Крім того, за своєю природою імітаційна модель прив'язана до конкретного об'єкта, а при спробі застосувати до іншого, навіть аналогічного йому об'єкта, вимагає радикального коригування або принаймні суттєвої модифікації.

Існує загальна причина існування обмежень на імітаційне моделювання. Побудова і чисельний розрахунок «точної» моделі успішний лише за існуванні кількісної теорії, тобто у тому разі, якщо всі рівняння відомі, а завдання зводиться лише вирішення даних рівнянь з певною точністю (Базыкин, 2003).

Але навіть незважаючи на це, імітаційне моделювання – чудовий засіб візуалізації динамічних процесів, що дозволяє, за більш-менш правильної моделі, приймати рішення, засновані на її результатах.

У цій роботі моделі систем будуть побудовані за допомогою засобів системної динаміки, які пропонуються програмою AnyLogic.

Мальтузіанська модель зростання без насичення/

Перед побудовою моделі необхідно розглянути елементи системної динаміки, якими ми користуватимемося, та зв'язати їх із нашою системою. Наступні визначення були взяті із довідкової інформації програми AnyLogic.

Накопичувач – основний елемент діаграм системної динаміки. Вони застосовуються уявлення об'єктів реального світу, у яких накопичуються деякі ресурси: гроші, речовини, чисельності груп людей, деякі матеріальні об'єкти тощо. Накопичувачі відбивають статичне стан моделируемой системи, які значення змінюються згодом у відповідність із які у системі потоками. Звідси випливає, що динаміку системи задають потоки. Вхідні та вихідні з накопичувача потоки збільшують або зменшують значення накопичувача.

Потік, як і вищезгаданий накопичувач, - основний елемент системно-динамічних діаграм.

Поки накопичувачі визначають статичну частину системи, потоки визначають швидкість зміни значень накопичувачів, тобто у часі відбуваються зміни запасів і, таким чином, визначають динаміку системи.

Агент може містити змінні. Змінні зазвичай використовуються для моделювання змінних характеристик агента або зберігання результатів роботи моделі. Зазвичай динамічні змінні складаються з функції накопичувачів.

Агент може мати такі параметри. Параметри часто використовуються для представлення деяких параметрів змодельованого об'єкта. Вони корисні, коли екземпляри об'єктів мають однакову поведінку, описану у класі, але відрізняються деякими значеннями параметрів. Між змінними параметрами існує явна різниця. Змінна є станом моделі і може змінюватися під час моделювання. Параметр зазвичай використовується для статичного опису об'єктів. Під час одного прогону моделі параметр зазвичай є константою і змінюється тільки тоді, коли потрібно переналаштувати поведінку моделі.

Зв'язок - елемент системної динаміки, що використовується для визначення залежності між елементами діаграми потоків і накопичувачів. Як приклад, якщо який-небудь елемент A згадується в рівнянні або початковому значенні елемента B, спочатку необхідно з'єднати ці елементи зв'язком, що йде від A до B, і тільки потім ввести вираз у властивостях B.

Існують і деякі інші елементи системної динаміки, але вони не будуть задіяні в ході роботи, тому їх опустимо.

Для початку розглянемо з чого складатиметься модель системи (1.4).

По-перше, відразу відзначаємо два накопичувачі, які будуть містити в собі значення кількості продукції кожного з підприємств.

По-друге, оскільки у нас по два доданки в кожному рівняння, то отримуємо по два потоки до кожного з накопичувачів, один вхідний, другий вихідний.

По-третє, переходимо до змінних та параметрів. Змінних лише дві. X та Y, відповідальні за зростання продукції. А також у нас є чотири параметри.

По-четверте, щодо зв'язків, кожен із потоків повинен бути пов'язаний зі змінними та параметрами, що входять до рівняння потоку, а також обидві змінні повинні мати зв'язок із накопичувачами для зміни значення з часом.

Детальний опис побудови моделі, як приклад роботи в середовищі моделювання AnyLogic, залишимо для наступної системи, оскільки вона дещо складніша і в ній використовується більше параметрів, і одразу перейдемо до розгляду готового варіанта системи.

Нижче на малюнку 1.9 представлена ​​побудована модель:

Малюнок 1.9. Модель системної динаміки для системи (1.4)

Усі елементи системної динаміки відповідають описаному вище, тобто. два накопичувача, чотири потоки (два вхідні, два вихідні), чотири параметри, дві динамічні змінні, та необхідні зв'язки.

На малюнку видно, що чим більше продукції, тим сильніше її зростання, що призводить до різкого зростання кількості товарів, що відповідає нашій системі. Але як було раніше сказано, відсутність обмеження цей зростання неможливо застосовувати цю модель практично.

Мальтузіанська модель зростання з насичення/

Розглядаючи цю систему, докладніше зупинимося на побудові моделі.

Першим кроком додаємо два накопичувачі, назвемо їх X_stock та Y_stock. Кожному з них поставимо початкове значення рівне 1. Зазначимо, що відсутність потоків в класично заданому рівняння накопичувача нічого немає.

Малюнок 1.10. Побудова моделі системи (1.9)

Наступний крок – додавання потоків. Побудуємо для кожного накопичувача вхідний та вихідний потік за допомогою графічного редактора. Не можна забувати, що один із країв потоку повинен перебувати в накопичувачі, інакше вони не будуть пов'язані.

Можна помітити, що рівняння для накопичувача задалося автоматично, звичайно, користувач може і сам написати його, обравши режим рівняння «довільний», але найпростіше залишити цю дію на програму.

Третім кроком у нас є додавання шести параметрів та двох динамічних змінних. Дамо кожному елементу ім'я у відповідність до його літерним виразом у системі, а також задаємо початкові значення параметрів наступним чином: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0,2.

Усі елементи рівнянь присутні, залишилося лише написати рівняння потоків, але цього спочатку необхідно додати зв'язку між елементами. Наприклад, вихідний потік, відповідальний за доданок , може бути пов'язані з e1 і x. А кожна динамічна змінна повинна бути пов'язана з відповідним їй накопичувачем (X_stock x, Y_stock y). Створення зв'язків відбувається аналогічно додавання потоків.

Після створення необхідних зв'язків можна переходити до написання рівнянь потоків, що демонструється правому малюнку. Звичайно, можна піти і в зворотному порядку, але при існуванні зв'язків, під час написання рівнянь з'являються підказки для встановлення потрібних параметрів/змінних, що полегшує завдання в складних моделях.

Після виконання всіх кроків можна запускати імітаційну модель і подивитися на її результат.

Розглянувши системи нелінійних диференціальних рівнянь взаємодії підприємств за умов мутуалізму, можна зробити кілька висновків.

Існує два стани системи: різке необмежене зростання, або прагнення кількості продукції до нуля. Який із двох станів прийме система залежить від параметрів.

Жодна з запропонованих моделей, у тому числі модель з урахуванням насичення, не підходить для практичного застосування через відсутність ненульового сталого положення, а також причин, описаних у пункті 1.

У разі спроби подальшого дослідження даного типу симбіотичної взаємодії для створення моделі, що застосовується компаніями на практиці, необхідне подальше ускладнення системи та введення нових параметрів. Наприклад, Базикін у своїй книзі наводить приклад динаміки двох мутуалістичних популяцій із запровадженням додаткового чинника внутрішньовидової конкуренції. За рахунок чого система набуває вигляду:

(1.15)

І в такому разі з'являється ненульове стійке положення системи, відокремлене від нульового «сідлом», що наближає її до реальної картини того, що відбувається.

2. Взаємодія підприємств в умовах протокооперації

Всі основні теоретичні відомості були представлені в попередньому розділі, тому при аналізі моделей, що розглядаються в цьому розділі, теорія здебільшого буде опущена, за винятком кількох моментів, з якими ми не стикалися у попередньому розділі, а також можливе скорочення у обчисленнях. Розглянута у цьому розділі модель взаємодії організацій за умов протокооперації, що з систем двох рівнянь, заснованих на мальтузіанської моделі, виглядає як система (1.5). Проаналізовані в попередньому розділі системи показали, що для їх максимального наближення до діючих моделей необхідне ускладнення систем. Виходячи з даних висновків, відразу ж додамо на модель обмеження зростання. На відміну від попереднього типу взаємодії, коли зростання, що не залежить від іншої компанії, негативний, у разі всі знаки позитивні, отже, маємо постійне зростання. Уникаючи недоліків, описаних раніше, постараємося обмежити його логістичним рівнянням, також відомим як рівняння Ферхюльста (Gershenfeld, 1999), що має такий вигляд:

, (2.1)

де P – чисельність популяції, r – параметр, що показує швидкість зростання, K – параметр, який відповідає за максимально можливу чисельність популяції. Тобто згодом чисельність популяції (у разі продукції), прагнутиме якогось параметру До.

Дане рівняння допоможе стримати нестримне зростання продукції, яке ми спостерігали раніше. Таким чином система набуває такого вигляду:

(2.2)

Не варто забувати, що обсяг товару, що зберігається на складі для кожної компанії різний, тому параметри, що обмежують зростання різні. Назвемо цю систему «», і надалі використовуватимемо цю назву, коли її розглядатимемо.

Другою системою, яку ми будемо розглядати, є подальший розвиток моделі з обмеженням Ферхюльста. Як і в попередньому розділі введемо обмеження на насичення, тоді система набуде вигляду:

(2.3)

Тепер кожен із доданків має власне обмеження, тому вже без подальшого аналізу можна помітити, що необмеженого зростання, як у моделях попереднього розділу, не буде. А оскільки кожен із доданків демонструє позитивне зростання, то й кількість продукції не впаде в нуль. Назвемо цю модель "модель протокооперації з двома обмеженнями".

Дані дві моделі розглядаються у різних джерелах про біологічні популяції. Тепер спробуємо дещо розширити системи. Для цього розглянемо наступний рисунок.

На малюнку продемонстровано приклад процесів двох компаній: сталеливарної та вугільної промисловості. В обох підприємствах є зростання продукції, що не залежить від іншої, а також є зростання продукції, яке виходить завдяки їхній взаємодії. Це ми вже враховували у ранніх моделях. Тепер варто звернути увагу, що фірми як виробляють продукцію, вони її ще й продають, наприклад, ринку чи взаємодіє з нею підприємства. Тобто. виходячи з логічних висновків, існує необхідність негативного зростання підприємств за рахунок продажу продукції (на малюнку за це відповідають характеристики β1 і β2), а також за рахунок передачі частини продукції іншому підприємству. Раніше ми враховували це лише з позитивним знаком іншої компанії, але не розглядали те, що у першого підприємства при передачі продукції її кількість зменшується. У такому разі отримуємо систему:

(2.4)

І якщо про доданок можна сказати, що якби в попередніх моделях було зазначено, що , характеризують природний приріст, а параметр може бути негативним, то різниці практично немає, то про доданок такого сказати не можна. До того ж надалі, розглядаючи подібну систему із запровадженим нею обмеженням, правильніше використовувати саме доданки позитивного і негативного зростання, оскільки у разі ними можуть накладатися різні обмеження, що неможливо для природного приросту. Назвемо її "розширена модель протокооперації".

І нарешті, четвертою моделлю, що розглядається, є розширена модель протокооперації з раніше згаданим логістичним обмеженням на зростання. І система для цієї моделі така:

, (2.5)

де - приріст продукції першого підприємства, що не залежить від другого, з урахуванням логістичного обмеження, - приріст продукції першої компанії, що залежить від другої, з урахуванням логістичного обмеження; - приріст продукції другого підприємства, що не залежить від першого, з урахуванням логістичного обмеження, - приріст продукції другої компанії, що залежить від першої, з урахуванням логістичного обмеження; - споживання товарів першого підприємства, не пов'язане з іншим; - споживання товарів другого підприємства, не пов'язане з іншим; - споживання товарів першої галузі другою галуззю; - споживання товарів другої галузі. першою галуззю.

Надалі ця модель позначатиметься, як «розширена модель протооперації з логістичним обмеженням».

1 Стійкість систем у першому наближенні

Модель протокооперації з обмеженням Ферхюльста

Методи аналізу стійкості системи були зазначені в аналогічному розділі попереднього розділу. Насамперед знаходимо рівноважні точки. Одна з них, як завжди, нульова. Інша є точку з координатами .

Для нульової точки 1 = , 2 = , оскільки обидва параметри невід'ємні, то отримуємо нестійкий вузол.

Оскільки працювати з другою точкою не зовсім зручно, через відсутність можливості скоротити вираз, то визначення типу стійкості залишимо на фазові діаграми, оскільки на них видно, стійка рівноважна точка чи ні.

Аналіз даної системи складніший за попередню в силу того, що додається фактор насичення, таким чином з'являються нові параметри, а при знаходженні рівноважних точок доведеться вирішувати не лінійне, а білінійне рівняння через змінну в знаменнику. Тому, як і попередньому випадку, залишимо визначення типу стійкості на фазові діаграми.

Незважаючи на появу нових параметрів, Якобіан у нульовій точці, так само, як і корені характеристичного рівняння, виглядає аналогічно до попередньої моделі. Таким чином, у нульовій точці є нестійкий вузол.

Перейдемо до розширених моделей. Перша їх не містить жодних обмежень і набуває вигляду системи (2.4)

Зробимо заміну змінних, , і . Нова система:

(2.6)

У такому разі отримуємо дві рівноважні точки, точка А(0,0), В(). Точка лежить у першій чверті, оскільки змінні мають невід'ємне значення.

Для рівноважної точки А отримуємо:

. - нестійкий вузол,

. - Сідло,

. - Сідло,

. - стійкий вузол,

У точці B коріння характеристичного рівняння є комплексними числами: λ1 = , λ2 = . Ми не можемо визначити тип стійкості, покладаючись на теореми Ляпунова, тому проведемо чисельне моделювання, яке не покаже всі можливі стани, але дозволить дізнатися хоча б деякі з них.

Малюнок 2.2. Чисельне моделювання пошуку типу стійкості

Розглядаючи цю модель, доведеться зіткнутися з обчислювальними складнощами, оскільки в ній є велика кількість різноманітних параметрів, а також два обмеження.

Не вдаючись у подробиці обчислень, приходимо до наступних рівноважних точок. Точка А(0,0) та точка В з наступними координатами:

(), де a =

Для точки А визначення типу стійкості - тривіальне завдання. Коріння характеристичного рівняння такі: λ1 = , λ2 = . Таким чином отримуємо чотири варіанти:

1. λ1 > 0, λ2 > 0 – нестійкий вузол.

2. λ1< 0, λ2 >0 – сідло.

3. λ1 ​​> 0, λ2< 0 - седло.

4. λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

Говорячи про точку В, варто погодитися, що підстановка скорочень у вираз для неї ускладнить роботу з Якобіаном і знаходженням коренів характеристичного рівняння. Наприклад, після спроби їх пошуку за допомогою обчислювальних засобів WolframAlpha, виведення значення коренів зайняв близько п'яти рядків, що не дозволяє працювати з ними буквально. Звичайно, за наявності вже наявних параметрів, можна швидко знайти рівноважну точку, але це окремий випадок, оскільки ми знайдемо стан рівноваги, якщо воно є, лише для даних параметрів, що не підходить для системи підтримки прийняття рішень, для якої модель і планується створюватися .

Через складність роботи з корінням характеристичного рівняння побудуємо взаємне розташування нуль-ізоклін за аналогією з розібраною в роботі Базикиною системою (Базикін, 2003). Це дозволить нам розглянути можливі стани системи, і надалі при побудові фазових портретів виявити рівноважні точки та типи їхньої стійкості.

Після деяких обчислень рівняння нуль-ізоклін приймають такий вигляд:

(2.7)

Таким чином, ізокліни мають вигляд парабол.

Малюнок 2.3. Можливий варіант розташування нуль-ізоклін

Всього можливі чотири випадки їхнього взаємного розташування за кількістю загальних точок між параболами. Для кожного з них є свої набори параметрів, а значить і фазові портрети системи.

2 Фазові портрети систем

Побудуємо фазовий портрет системи, за умови, що а інші параметри дорівнюють 1. В даному випадку достатньо і одного набору змінних, оскільки якісна не зміниться.

Як видно з наведених нижче малюнків, нульова точка - нестійкий вузол, а друга точка, якщо підставити числові значення параметрів, то отримаємо (-1.5, -1.5) - сідло.

Малюнок 2.4. Фазовий портрет для системи (2.2)

Таким чином, оскільки жодних змін не повинно відбуватися, то для даної системи існують лише нестійкі стани, що пов'язано з можливістю необмеженого зростання.

Модель протокооперації із двома обмеженнями.

У цій системі присутній додатковий стримуючий фактор, тому фазові діаграми повинні відрізнятися від попереднього випадку, що видно на малюнку. Нульова точка також - нестійкий вузол, але у цій системі утворюється стійке становище, саме стійкий вузол. При даних параметрах координати (5.5,5.5), він представлений малюнку.

Малюнок 2.5. Фазовий портрет для системи (2.3)

Таким чином, обмеження на кожен доданок дозволило отримати стійке положення системи.

Розширена модель протокооперації.

Побудуємо фазові портрети для розширеної моделі, але одразу використовуючи її модифікований вигляд:

Розглянемо чотири набори параметрів, причому таких, щоб розглянути всі випадки з нульовою рівноважною точкою, а також продемонструвати фазові діаграми чисельного моделювання, що використовується для ненульової рівноважної точки: набір А(1,0.5,0,5) відповідає стану , набір (1,0.5,-0.5) відповідає набір С(-1,0.5,0,5) а набір D(-1,0.5,-0,5) , тобто стійкого вузла в нульовій точці. Перші два набори продемонструють фазові портрети для параметрів, які ми розглядали при чисельному моделюванні.

Малюнок 2.6. Фазовий портрет системи (2.4) з параметрами А-D.

На малюнках необхідно звернути увагу на точки (-1,2) та (1,-2) відповідно, у них виникає «сідло». Для більш детального уявлення, малюнку представлений інший масштаб малюнка з сідловою точкою (1,-2). На малюнку в точках (1,2) та (-1,-2) видно стійкий центр. Що стосується нульової точки, то починаючи з малюнка по малюнок на фазових діаграмах чітко помітний нестійкий вузол, сідло, сідло та стійкий вузол.

Розширена модель протокооперації із логістичним обмеженням.

Як і в попередній моделі, продемонструємо фазові портрети для чотирьох випадків нульової точки, а також постараємося відзначити і ненульові рішення на цих діаграмах. Для цього візьмемо наступні набори параметрів із параметрами, зазначеними в наступному порядку (): А(2,1,2,1), Б(2,1,1,2), С(1,2,2,1) та Д (1,2,1,2). Інші параметри для всіх наборів будуть наступними: , .

На представлених нижче малюнках можна спостерігати чотири рівноважні стани нульової точки, описаних у попередньому розділі для даної динамічної системи. А також на малюнках стійке положення крапки з однією ненульовою координатою.

Малюнок 2.7. Фазовий портрет для системи (2.5) із параметрами А-B

3 Інтегральні траєкторії систем

Модель протокооперації з обмеженням Ферхюльста

Як і в попередньому розділі розв'яжемо кожне з диференціальних рівнянь окремо і явно висловимо залежність змінних від часового параметра.

(2.8)

(2.9)

З отриманих рівнянь видно, що значення кожної зі змінних зростає, що демонструється на тривимірної моделі нижче.

Малюнок 2.8. Тривимірна модель для рівняння (2.8)

Даний вид графіка на початку чимось нагадує тривимірне зображення мальтузіанської моделі без насичення, що розглядається в розділі 1, оскільки має аналогічний їй швидке зростання, але надалі можна помітити зниження швидкості зростання через досягнення обмеження на обсяг продукції. Таким чином, підсумковий зовнішній вигляд інтегральних кривих схожий на графік логістичного рівняння, яке було використане, щоб обмежити одне з доданків.

Модель протокооперації із двома обмеженнями.

Вирішуємо кожне із рівнянь за допомогою засобів Wolfram Alpha. Таким чином, залежність функції x(t) зводиться до наступного виду:

(2.10)

Для другої функції ситуація аналогічна, тому опустимо її вирішення. Чисельні значення виникли через заміну параметрів деякими відповідними їм значеннями, що не впливає на якісну поведінку інтегральних кривих. На наведених нижче малюнках помітно використання обмежень на зріст, оскільки згодом експоненційне зростання перетворюється на логарифмічний.

Малюнок 2.9. Тривимірна модель для рівняння (2.10)

Розширена модель протокооперації

Майже аналогічно моделям при мутуалізмі. Єдина різниця у швидшому щодо тих моделей зростанні, що видно з наведених нижче рівнянь (якщо подивитися на ступінь експоненти) та графіків. Інтегральна крива повинна набувати вигляду експоненти.

(2.11)

(2.12)

Розширена модель протокооперації з логістичним обмеженням

Залежність x(t) виглядає так:

Без графіка складно оцінити поведінку функції, тому скориставшись відомими нам засобами, побудуємо його.

Рисунок 2.10 Тривимірна модель для рівняння

Значення функції зменшується при не малих значеннях іншої змінної, що пов'язано з відсутністю обмежень на негативний білінійний доданок, і є очевидним результатом

4 Системна динаміка взаємодіючих компаній

Модель протокооперації з обмеженням Ферхюльста.

Побудуємо систему (2.2). Використовуючи вже відомі нам інструменти, будуємо імітаційну модель. Цього разу на відміну від мутуалістичних моделей, у моделі буде логістичне обмеження.

Малюнок 2.11. Модель системної динаміки для системи (2.2)

Запустимо модель. У цій моделі варто відзначити той факт, що зростання взаємозв'язку нічим не обмежене, а зростання продукції без впливу іншого має специфічне обмеження. Якщо подивитися на вираз логістичної функції, можна помітити, що у разі, коли змінна (кількість товарів) перевищує максимально можливий обсяг зберігання, доданок стає негативним. У разі, коли існує лише логістична функція, таке неможливе, але при додатковому завжди позитивному факторі зростання таке можливо. І зараз важливо зрозуміти, що логістична функція впорається із ситуацією не надто швидкого зростання кількості продукції, наприклад, лінійного. Звернімо увагу на малюнки нижче.

Малюнок 2.12. Приклад роботи моделі системної динаміки системи (2.2)

На лівому малюнку показано 5 крок роботи програми відповідної запропонованої моделі. Але зараз варто звернути увагу на правий малюнок.

По-перше, для одного з вхідних потоків для Y_stock видалено зв'язок з х, виражена в доданку . Це зроблено для того, щоб показати різницю в роботі моделі при лінійному завжди позитивному потоці, та білінійному зростанні, який представлений для X_stock. При лінійних необмежених потоках після перевищення параметра К система в якийсь момент приходить до рівноваги (у даній моделі рівноважний стан - 200 тисяч одиниць товару). Але набагато раніше білінійне зростання призводить до різкого зростання кількості товару, що переходить у нескінченність. Якщо ж залишити і правий і лівий постійно позитивні потоки білінійними, то вже приблизно на 20-30 кроці, значення накопичувача приходить до різниці двох нескінченностей.

Виходячи з перерахованого вище, можна з упевненістю стверджувати, що у разі подальшого використання подібних моделей, необхідно обмежити будь-яке позитивне зростання.

Модель протокооперації із двома обмеженнями.

З'ясувавши недоліки попередньої моделі і ввівши обмеження на другий доданок фактором насичення, побудуємо і запустимо нову модель.

Малюнок 2.13. Модель системної динаміки та приклад її роботи для системи (2.3)

Ця модель, зрештою, приносить довгоочікувані результати. Вийшло обмежити зростання значень накопичувача. Як очевидно з правого малюнка обох підприємств рівновага досягається при невеликому перевищенні обсягу зберігання.

Розширена модель протокооперації.

При розгляді системної динаміки цієї моделі буде продемонстровано можливості програмного середовища AnyLogic для яскравої візуалізації моделей. Усі попередні моделі були побудовані лише з використанням елементів системної динаміки. Тому самі моделі виглядали непомітно, вони не дозволяли відстежити динаміку зміни кількості продукції в часі та змінювати параметри під час роботи програми. При роботі з цією та наступною моделями постараємося скористатися ширшим спектром можливостей програми для зміни трьох зазначених вище недоліків.

По-перше, у програмі поряд з розділом «системна динаміка» у програмі також є розділи «картинки», «3D-об'єкти», що дозволяють урізноманітнити модель, що корисно при подальшій її презентації, оскільки робить вигляд моделі «приємнішою».

По-друге, для відстеження динаміки зміни значень моделі існує розділ «статистика», який дозволяє додавати діаграми та різні інструменти збору даних, пов'язуючи їх з моделлю.

По-третє, для зміни параметрів та інших об'єктів під час виконання моделі є розділ «елементи керування». Об'єкти цього розділу дозволяють змінювати параметри під час роботи моделі (приклад, «бігунок»), вибирати різні стани об'єкта (приклад, «перемикач») і виконувати інші дії, що змінюють спочатку задані дані під час роботи.

Модель підходить для навчального знайомства з динамікою зміни продукції підприємств, але відсутність обмежень зростання не дозволяють використовувати її на практиці.

Розширена модель протокооперації із логістичним обмеженням.

Використовуючи вже готову попередню модель, додамо до неї параметри з логістичного рівняння обмеження зростання.

Опустимо побудову моделі, оскільки на попередніх п'яти моделях, представлених у роботі, вже було продемонстровано всі необхідні інструменти та принципи роботи з ними. Варто лише відзначити, що її поведінка подібна до моделі протокооперації з обмеженням Ферхюльста. Тобто. відсутність насичення заважає її практичному застосуванню.

Після аналізу моделей за умов протокооперації визначимо кілька основних моментів:

Моделі аналізований у цьому розділі практично підходять краще мутуалістичних, оскільки мають ненульові положення стійкого рівноваги навіть за двох доданків. Нагадаю, у моделях такого мутуалізму ми змогли досягти лише при додаванні третього доданку.

Підходящі моделі повинні мати обмеження на кожному з доданків, оскільки в іншому випадку різке зростання білінійних множників «руйнує» всю імітаційну модель.

Виходячи з пункту 2, при додаванні до розширеної моделі протокооперації з ферхюльстівським обмеженням фактора насичення, а також додавання нижньої критичної кількості продукції модель повинна стати максимально наближеною до реального стану речей. Але не слід забувати, що такі маніпулювання системою ускладнять її аналіз.

Висновок

В результаті проведеного дослідження було проведено аналіз шести систем, що описують динаміку виробництва продукції підприємствами, що взаємно впливають одна на одну. У результаті рівноважні точки і типи їх стійкості були визначені одним з наступних способів: аналітично, або завдяки побудованим фазовим портретам у випадках, коли аналітичне рішення з будь-яких причин неможливо. Для кожної із систем були побудовані фазові діаграми, а також побудовані тривимірні моделі, на яких при проектуванні можна отримати інтегральні криві в площинах (x, t), (y, t). Після використання середовища моделювання AnyLogic були побудовані всі моделі і розглянуті варіанти їх поведінки при певних параметрах.

Після проведення аналізу систем і побудови їх імітаційних моделей стає очевидним, що дані моделі можуть розглядатися лише як навчальні, або ж для опису макроскопічних систем, але ніяк не як система підтримки прийняття рішень для окремих компаній, через свою низьку точність і в деяких місцях не зовсім достовірне представлення процесів, що відбуваються. Але також не варто забувати, що якою б правильною не була описуюча модель динамічна система у кожної компанії/організації/галузі свої власні процеси та обмеження, таким чином створити і описати загальну модель неможливо. У кожному конкретному випадку вона видозмінюватиметься: ускладнюватись або навпаки спрощуватися для подальшої роботи.

Роблячи висновок з висновків до кожного розділу, варто загострити увагу на виявленому факті, що введення обмежень на кожне із доданків рівняння хоч і ускладнює систему, але дозволяє виявити стійкі положення системи, а також наблизити її до того, що відбувається насправді. І варто зазначити, що моделі протокооперації більше підходять для вивчення, оскільки мають ненульові стійкі положення на відміну від двох мутуалістичних моделей, що розглянуті нами.

Таким чином, мету даного дослідження було досягнуто, а завдання виконано. У майбутньому як продовження даної роботи будуть розглянуті розширена модель взаємодії виду протокооперації з трьома введеними на неї обмеженнями: логістичним, фактором насичення, нижньою критичною чисельністю, що дозволить створити більш точну модель для системи підтримки прийняття рішень, а також модель з трьома компаніями. Як розширення роботи можна розглянути і два інші типи взаємодії крім симбіозу, про які згадувалося в роботі.

Література

1. Bhatia Nam Parshad; Szegх Giorgio P. (2002). Стабільність теорії динамічних систем. Springer.

2. Blanchard P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. (2006). Differential Equations. London: Thompson. pp. 96-111.

Boeing, G. (2016). Visual Analysis of Nonlinear Dynamical Systems: Chaos, Fractals, Self-Similarity and Limits of Prediction. Системи. 4(4): 37.

4. Campbell, David K. (2004). Nonlinear physics: Fresh breather. Nature. 432 (7016): 455-456.

Elton C.S. (1968) reprint. Animal ecology. Велика Британія: William Clowes and Sons Ltd.

7. Forrester Jay W. (1961). Industrial Dynamics. MIT Press

8. Gandolfo, Giancarlo (1996). Economic Dynamics (Third ed.). Берлін: Springer. pp. 407-428.

9. Gershenfeld Neil A. (1999). The Nature of Mathematical Modeling. Cambridge, UK: Cambridge University Press.

10. Goodman M. (1989). Study Notes in System Dynamics. Pegasus.

Grebogi C, Ott E, та Yorke J. (1987). Chaos, Strange Attractors, і Fractal Basin Boundaries в Nonlinear Dynamics. Science 238 (4827), pp 632-638.

12. Hairer Ernst; Nørsett Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York

Hanski I. (1999) Metapopulation Ecology. Oxford University Press, Oxford, pp. 43-46.

Hughes-Hallett Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calculus: Single and Multivariable (6 ed.). John wiley.

15. Libro J., Valls C. (2007). Global analytic перші integrals для реального планування Lotka-Volterra system, J. Math. Phys.

16. Jordan D.W.; Smith P. (2007). Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers (4th ed.). Oxford University Press.

Khalil Hassan K. (2001). Nonlinear Systems. Prentice Hall.

Lamar University, Online Math Notes - Phase Plane, P. Dawkins.

Lamar University, Online Math Notes - Systems of Differential Equations, P. Dawkins.

Lang Serge (1972). Різні manifolds. Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.

Law Averill M. (2006). Simulation Modeling and Analysis with Expertfit Software. McGraw-Hill Science.

Lazard D. (2009). Тридцяти років з Polynomial System Solving, and now? Journal of Symbolic Computation. 44 (3): 222-231.

24. Lewis Mark D. (2000). Програми Dynamic Systems Approaches for an Integrated Account of Human Development. Child Development. 71 (1): 36-43.

25. Malthus TR. (1798). An Essay на Principle of Population, в Оксфордському світі" Classics reprint. p 61, end of Chapter VII

26. Morecroft John (2007). Strategic Modelling and Business Dynamics: A Feedback Systems Approach. John Wiley & Sons.

27. Nolte D.D. (2015), Introduction to Modern Dynamics: Chaos, Networks, Space and Time, Oxford University Press.

Автоматика та телемеханіка, Л-1, 2007

РАС Б 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 р. Ю.С. ПОПКІВ, д-р техн. наук (Інститут системного аналізу РАН, Москва)

ЯКІСНИЙ АНАЛІЗ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ З ВД-ЕНТРОПІЙНИМ ОПЕРАТОРОМ

Пропонується метод дослідження існування, єдиності та локалізації сингулярних точок класу ДСЕО, що розглядається. Отримано умови стійкості "у малому" та "у великому". Наводяться приклади застосування одержаних умов.

1. Введення

Багато проблем математичного моделювання динамічних процесів можна вирішити з урахуванням концепції динамічних систем з энтропийным оператором (ДСЕО) . ДСЕО є динамічною системою, в якій нелінійність описується параметричним завданням максимізації ентропії. Феіо-моіологічно ДСЕО є моделлю макросистеми з "повільним" самовідтворенням та "швидким" розподілом ресурсів. Деякі властивості ДСЕО досліджували в. Ця робота продовжує цикл досліджень якісних властивостей ДСЕО.

Розглядається динамічна система з ВД-ентропійним оператором:

^ = £(х,у(х)), х е Еп:

у(х) = а^шах(Нв(у) | Ту = ц(х), у е Е^) > 0.

У цих виразах:

С(х,у), ц(х) - безперервно диференційовані вектор-функції;

Ентропія

(1.2) Нв (у) = уз 1п аз > 0, з = Т~т;

Т - (г х ш)-матриця з елементами ^0 має повний ранг, рівний г;

Вектор-функція ц(х) передбачається безперервно-диференційованою, безліч ^ - позитивний паралелепіпед

(1.3) Q = (ц: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

де а - і а + - вектори з Е +, прпчем а - вектор з малими компонентами.

Скориставшись відомим уявленням ентропійного оператора через множники Лагранжа. перетворимо систему (1.1) до наступного виду:

- = £(х,у(г)), х е Кп, у(г) е К?, г е Ег+

Уз(г) = аз\^, 3 = 1,т-

О(х, г) = Ту(г) = д(х),

де гк = ехр(-Ак) > 0 – експоненційні множники Лагранжа.

Поряд з ДСЕО загального виду (1.1) будемо розглядати, дотримуючись класифікації, наведеної у .

ДСЕО із сепарабельним потоком:

(1-5) ^ = I(х) + Ву(г),

де (п х т)-матриця;

ДСЕО з мультиплікативним потоком:

(1.6) ^ = х ® (а - х ® Шу(г)), аЬ

де Ш – (п х т)-матриця з невід'ємними елементами, а – вектор з позитивними компонентами, ® – знак покоординатного множення.

Завдання даної роботи полягає у дослідженні існування, єдиності та локалізації сингулярних точок ДСЕО та їх стійкості.

2. Сингулярні точки

2.1. Існування

Розглянемо систему (1.4). Сингулярні точки цієї динамічної системи визначаються такими рівняннями:

(2.1) С ^ (х, у (г)) = 0, г = ТП;

(2.2) уз(г) = а^ г^, 3 = Т^:

(2.3) вк (г) = ^ аз г ^ = дк (х), к = 1,г.

Розглянемо спочатку допоміжну систему рівнянь:

(2.4) С(д,г) = г, д е Я,

де безліч Я визначено рівністю (1.3) та С(д,г) - вектор-функція з компонентами

(2.5) Ск (д, г) = - Ок (г), а-< дк < а+, к =1,г.

Рівняння (2.4) має єдиний розв'язок г* при кожному фіксованому векторі д, що випливає з властивостей Вд-ентропійного оператора (див. ).

З визначення компонентів вектор-функції С(д,г) має місце очевидна оцінка:

(2.6) З(а+,г)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Позначимо рішення першого рівняння через г+ та другого - через г-. Визначимо

(2.7) C(a+,z) = z, C(a

(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk

та r-мірні вектори

(2.9) z (zmax, zmax), z (zmin, zmin).

Лемма 2.1. Для всіх q G Q (1 . 3) рішення z*(q) рівняння (2.4) належать, вектор 1 юму відрізку

zmin< z*(q) < zmax,

де вектори zmin та zmax визначаються виразами (2.7)-(2.9).

Доказ теореми наведено у Додатку. Qq

цій qk(x) (1.3) для x G Rn, то має місце

Наслідок 2.1. Нехай виконані умови леми 2.1 і функції qk(x) задовольняють умовам (1.3) для всіх ex x G Rn. Тоді для всіх x G Rm розв'язки z* рівняння (2.3) належать векторному відрізку

zmin< z* < zmax

Повернемося тепер до рівнянь (2.2). які визначають компоненти вектор-функції y(z). Елементи її якобіана мають вигляд

(2.10) jb aj zk JJ & > 0

для всіх z G R+ за винятком 0 та ж. Отже, вектор-функція y(z) строго монотонно-зростаюча. Відповідно до лем 2.1 вона обмежена знизу і зверху, тобто. для всіх z G Rr (отже, для всіх x G Rn) її значення належать множині

(2.11) Y = (у: у-< y < y+},

де компоненти векторів yk, y+ визначаються виразами:

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.

(2.13) bj = Y, tsj, 3 = 1,

Розглянемо перше рівняння (2.1) і перепишемо його у вигляді:

(2.14) L(x,y) = 0 для всіх у е Y С Е^.

Це рівняння визначає залежність змінної x від змінної у, належ-Y

ми (1.4) зводиться до існування неявної функції x(y), яка визначається рівнянням (2.14).

Лемма 2.2. Нехай виконуються такі умови:

а) вектор-функція L(x,y) безперервна за сукупністю змінних;

б) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

в) det J (x, у) = 0 для вс ex x е Еп для будь-якого фіксованого у е Y.

Тоді існує єдина неявна функція x * (у), визначена на Y. У цій лемі J (x, у) - якобіан з елементами

(2.15) Ji, i (x, y) = - i, i, l = l, n.

Доказ наведено у Додатку. З наведених лем випливає

Теорема 2.1. Нехай виконані умови лем 2.1 та 2.2. Тоді існує єдина сингулярна точка ДСЕО (1.4) і, відповідно, (1.1).

2.2. Локалізація

Під дослідженням локалізації сингулярної точки розуміється можливість встановлення інтервалу, де вона перебуває. Завдання це дуже не просте, але для деякого класу ДСЕО такий інтервал можна встановити.

Звернемося до першої групи рівнянь у (2.1) та представимо їх у вигляді

(2.16) L(x,y)=0, у-й у й у+,

де у-і у+ визначаються рівностями (2.12), (2.13).

Теорема 2.2. Нехай вектор-функція L(x,y) безупинно диференційована і монотонно-зростаюча з обох змінних, тобто.

-- > 0, -- > 0; i,l = 1, n; j = 1, m. dxi dyj

Тоді рішення системи (2.16) по змінній x належить інтервалу (2.17) xmin x х xmax,

а) вектори xmin, xmax мають вигляд

Min = i x 1 xmax = r x т;

\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax) :

xmin-^Qin^■, xmax-^QaX^;

6) x- і x+ - компоненти розв'язання наступних рівнянь

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0

з oo m естественно.

Доказ теореми наведено у Додатку.

3. Стійкість ДСЕО "у малому"

3.1. ДСЭО із сепарабельпим потоком Звернемося до рівнянь ДСЕО із сепарабельпим потоком, представивши їх у вигляді:

- = / (х) + Бу (г (х)), х е Кп аЬ

У-(г(Х)) = азП (Х)У33, 3 = 1, "~ 8 = 1

0(х, г(х)) = Ту(г(х)) = д(х), г е Нг,.

Тут значення компонент вектор-функції д(х) належать множині Q (1.3), (п х ш)-матриця має повний ранг, рівний п (п< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Нехай аналізована система має сингулярну точку ж. Для дослідження стійкості цієї сингулярної точки! "У малому" побудуємо лінеаризовану систему

де А - (п х п)-матриця, елементи якої обчислені в точці ж, та вектор £ = х - ж. Згідно з першим рівнянням (3.1) матриця лінеаризованої системи має

А = 7 (х) + БУг (ж) Їх (х), х = г (х),

| 3 = 1, ш, до = 1,

I до = 1,г, I = 1,п

З (3.1) визначаються елементи матриці Уг: ду.

"Ькз П" 8 = 1

3, г8 х8, 5 1,г.

Для визначення елементів матриці Zx звернемося до останньої групи рівнянь (3.1). У показано, що дані рівняння визначають неявну вектор-функцію г(х), яка безперервно-диференційована, якщо вектор-функція д(х) безперервно диференційована. Якобіан Zx вектор-функції г(х) визначається рівнянням

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

вг (Х) = Т Уг (X),

ддк, -т-, -" - до = 1, г, I = 1, п дх \

На цьому рівняння маємо (3.9) Zx(x) = в-1(z)Qx(x).

Підставляючи цей результат у рівність (3.3). отримаємо:

А = 1(х) + Р(х), Р(х) = ВУг(г)[ТУг(г)]-1 Qx(x).

Таким чином, рівняння лінеаризованої системи набуває вигляду

(З.І) | = (j+р)е

Тут елементи матриць J, Р обчислені у сингулярній точці. Достатні умови стійкості "у малому" ДСЕО (3.1) визначає наступна

Теорема 3.1. ДСЕО (3.1) має стійку "у малому" сингулярну точку x, якщо виконуються такі умови:

а) матриці J, Р (3.10) лінеаршованої системи (3.11) мають речові та різні власні числа, причому матриця J має максимальне власне число

Птах = max Пг > 0

Wmax = max Ui< 0;

Umax + Птах<

З цієї теореми і рівності (3.10) випливає, що для сингулярних точок, для яких Qx(x) = 0 і (або) для X, = 0 щи tkj ^ 1 для всex k,j достатні умови теореми не виконуються.

3.2. ДСЭО з мультиплікативним потоком Розглянемо урвієнія (1.6). представивши їх у вигляді:

X ® (a - x ® Wy(z(x))), x е Rn;

yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;

(ЗЛ2) yj(z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z е R++.

системи. Будемо мати:

(3.13) А = ^ [см] - 2ХШУх (г ^ х (х).

У цьому вираженні diag С] – діагональні матриці з позитивними елементами а1,..., ап, Уг, Zx – матриці, визначені рівностями (3.4)-(3.7).

Подаємо матрицю A у вигляді

(3.14) A = diag+P(x),

(3.15) P(x) = -2xWYz(z)Zx(x).

Позначимо: maxi ai = nmax та wmax - максимадне власне число матриці P(x) (3.15). Тоді теорема 3.1 справедлива і ДСЕО (1.6). (3.12).

4. Стійкість ДСЕО "у великому"

Звернемося до рівнянь ДЕСО (1.4), у яких значення компонент вектор-функції q(x) належать множині Q (1.3). У системі існує сингулярна точка Z, якій відповідають вектори z(x) = z ^ z- > 0

y(x) = y(z) = у > у-> 0.

Введемо вектори відхилень £, C, П від сингулярної точки: (4.1) £ = x – x, (= у – у, п = z – z.

ЖЕЖЕРУН О.О., ПОКРОВСЬКИЙ О.В. – 2009 р.