Перетворення дробово раціональних виразів. Перетворення виразів. Детальна теорія (2020). Зміна знаків перед дробом, а також у його чисельнику та знаменнику

Перетворення раціональних виразів

У цьому уроці попрацюємо із раціональними висловлюваннями. На конкретних прикладах розглянемо методи вирішення завдань на перетворення раціональних виразів та доказ пов'язаних із ними тотожностей.

Раціональне вираження - алгебраїчне вираз, складене з чисел, буквених змінних, арифметичних операцій, зведення в натуральний ступінь, та знаків послідовності цих дій (дужок). Разом зі словосполученням «раціональне вираження» в алгебрі іноді використовують терміни «ціле» або «дрібне».

Наприклад, вирази

є і раціональними, і цілими.

Вирази

є раціональними, і дробовими, т.к. у знаменнику знаходиться вираз зі змінною.

Не треба забувати, що дріб втрачає сенс, якщо знаменник звертається в нуль.

Основною метою уроку буде набуття досвіду під час вирішення завдань на спрощення раціональних виразів.

Спрощення раціональних виразів - це застосування тотожних перетворень, з метою спростити запис виразу (зробити коротшим і зручнішим для подальшої роботи).

Для перетворення раціональних виразів нам знадобляться правила складання (віднімання), множення, розподілу і зведення в ступінь алгебраїчних дробів, всі ці дії здійснюються за тими самими правилами, що й дії зі звичайними дробами:

А також формули скороченого множення:

При вирішенні прикладів перетворення раціональних виразів слід дотримуватися наступний порядок дій: спочатку виконуються дії в дужках, потім твір/розподіл (або зведення в ступінь), а потім дії складання/віднімання.

Отже, розглянемо приклад 1:

необхідно спростити вираз

По-перше, виконуємо дії у дужках.

Наводимо алгебраїчні дроби до спільного знаменника і здійснюємо додавання (віднімання) дробів з однаковими знаменниками за правилами, записаними вище.

Використовуючи формулу скороченого виразу (а саме квадрат різниці), отриманий вираз набуває вигляду:

По-друге, за правилами множення алгебраїчних дробів перемножуємо чисельники та окремо знаменники:

А потім скорочуємо отриманий вираз:

В результаті проведених перетворень отримуємо простий вираз

Розглянемо складніший приклад 2 перетворення раціональних виразів: необхідно довести тотожність:

Довести тотожність - це встановити, що з усіх допустимих значеннях змінних його ліва і права частини рівні.

Доказ:

Щоб довести це тотожність, необхідно перетворити вираз у лівій частині. Для цього слід дотримуватися порядку дій, викладеного вище: в першу чергу виконуються дії в дужках, потім множення, а потім додавання.

Отже, дія 1:

виконати складання/віднімання виразу в дужці.

Для цього розкладаємо на множники вирази у знаменниках дробів та наводимо дані дроби до спільного знаменника.

Так у знаменнику першого дробу виносимо за дужку 3, у знаменнику другого - виносимо знак мінус і за формулою скороченого множення розкладаємо на два множники, а в знаменнику третього дробу виносимо за дужку x.

Спільним знаменником цих трьох дробів буде вираз

Дія 2:

виконати множення дробу

Для цього спочатку слід розкласти на множники чисельник першого дробу і звести цей дріб у ступінь 2.

А при множенні дробів здійснити відповідне скорочення.

Дія 3:

Підсумовуємо перший дріб вихідного виразу і дроб, що вийшов

Для цього спочатку розкладемо на множники чисельник і знаменник першого дробу і скоротимо:

Тепер залишається лише скласти отримані алгебраїчні дроби з різними знаменниками:

Таким чином, в результаті 3-х дій та спрощення лівої частини тотожності ми отримали вираз із правої його частини, а отже, довели це тотожність. Однак нагадаємо, що тотожність справедлива лише для допустимих значень змінної x. Такими у цьому прикладі є будь-які значення x, крім тих, які обертають знаменники дробів у нуль. Отже, допустимими є будь-які значення x, крім тих, за яких виконується хоча б одна з рівностей:

Неприпустимим будуть значення:

Отже, на конкретних прикладах ми розглянули вирішення завдань перетворення раціональних висловлювань і підтвердження пов'язаних із нею тотожностей.

Список використаної литературы:

1. Мордкович О.Г. "Алгебра" 8 клас. О 2 год. Ч.1. Підручник для загальноосвітніх закладів/А.Г. Мордкович. - 9-е вид., Перероб. - М.: Мнемозіна, 2007. - 215с.: іл.
2. Мордкович О.Г. "Алгебра" 8 клас. О 2 год. Ч.2. Задачник для загальноосвітніх закладів/О.Г. Мордкович, Т.М. Мішустіна, Є.Є. Тульчинська .. - 8-е вид., - М.: Мнемозіна, 2006 - 239с.
3. Алгебра. 8 клас. Контрольні роботи для учнів навчальних закладів Л.А. Александрова за ред. А.Г. Мордковича 2-ге вид., стер. – М.: Мнемозіна 2009. – 40с.
4. Алгебра. 8 клас. Самостійні роботи для учнів закладів освіти: до підручника А.Г. Мордковіча, Л.А. Александрова за ред. А.Г. Мордковіча. 9-те вид., стер. – М.: Мнемозина 2013. – 112с.

На попередньому уроці вже було введено поняття раціонального вираження, на сьогоднішньому уроці ми продовжуємо працювати з раціональними висловлюваннями та основний упор робимо на їхнє перетворення. На конкретних прикладах ми розглянемо методи вирішення завдань на перетворення раціональних виразів та доказ пов'язаних із ними тотожностей.

Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок:Перетворення раціональних виразів

Згадаймо спочатку визначення оптимального висловлювання.

Визначення.Раціональневираз- алгебраїчне вираз, що не містить коріння і включає тільки дії додавання, віднімання, множення та поділу (зведення в ступінь).

Під поняттям «перетворити раціональне вираження» маємо у вигляді, передусім, його спрощення. А це здійснюється у відомому нам порядку дій: спочатку дії у дужках, потім добуток чисел(зведення в ступінь), розподіл чисел, а потім дії складання/віднімання.

Основною метою сьогоднішнього уроку буде набуття досвіду при вирішенні складніших завдань на спрощення раціональних виразів.

приклад 1.

Рішення.Спочатку може здатися, що зазначені дроби можна скоротити, тому що вирази в чисельниках дробів дуже схожі на формули повних квадратів відповідних знаменників. В даному випадку важливо не поспішати, а окремо перевірити, чи це так.

Перевіримо чисельник першого дробу: . Тепер чисельник другий: .

Як видно, наші очікування не виправдалися, і вирази в чисельниках є повними квадратами, тому що у них відсутнє подвоєння твору. Такі вирази, якщо згадати курс 7 класу називають неповними квадратами. Слід бути дуже уважними у таких випадках, тому що переплутування формули повного квадрата з неповним – дуже часта помилка, а подібні приклади перевіряють уважність учня.

Оскільки скорочення неможливе, то виконаємо складання дробів. У знаменників немає спільних множників, тому вони просто перемножуються для отримання найменшого загального знаменника, а додатковим множником для кожного дробу є знаменник іншого дробу.

Звичайно ж, далі можна розкрити дужки і привести потім подібні доданки, проте, в даному випадку можна обійтися меншими витратами сил і помітити, що в чисельнику перший доданок є формулою суми кубів, а друге - різниці кубів. Для зручності згадаємо ці формули у загальному вигляді:

У нашому випадку вирази в чисельнику згортаються наступним чином:

, другий вираз аналогічно. Маємо:

Відповідь..

приклад 2.Спростити раціональний вираз .

Рішення.Даний приклад схожий на попередній, але тут відразу видно, що в чисельниках дробів є неповні квадрати, тому скорочення на початковому етапі рішення неможливе. Аналогічно попередньому прикладу складаємо дроби:

Тут ми аналогічно способу, зазначеному вище, помітили та згорнули вирази за формулами суми та різниці кубів.

Відповідь..

Приклад 3.Спростити раціональний вираз.

Рішення.Можна помітити, що знаменник другого дробу розкладається на множники за формулою суми кубів. Як ми знаємо, розкладання знаменників на множники є корисним подальшого пошуку найменшого загального знаменника дробів.

Вкажемо найменший загальний знаменник дробів, він дорівнює: , тому що ділиться на знаменник третього дробу, а перше вираз взагалі є цілим, і для нього підійде будь-який знаменник. Вказавши очевидні додаткові множники, запишемо:

Відповідь.

Розглянемо складніший приклад із «багатоповерховими» дробами.

Приклад 4.Довести тотожність при всіх допустимих значеннях змінної.

Доказ.Для доказу зазначеного тотожності намагатимемося спростити його ліву частину (складну) до того простого виду, який від нас вимагається. Для цього виконаємо всі дії з дробами в чисельнику та знаменнику, а потім розділимо дроби та спростимо результат.

Доведено за всіх допустимих значень змінної.

Доведено.

На наступному уроці ми докладно розглянемо складніші приклади перетворення раціональних выражений.

Список літератури

1. Башмаков М.І. Алгебра 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.

2. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.

3. Нікольський С.М., Потапов М.А., Решетніков Н.М., Шевкін А.В. Алгебра 8 клас. Підручник для загальноосвітніх закладів. - М: Просвітництво, 2006.

2. Розробка уроків, презентації, конспекти занять ().

Домашнє завдання

1. №96-101. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.

2. Спростіть вираз .

3. Спростіть вираз.

4. Доведіть тотожність.

>> Математика: Перетворення раціональних виразів

Перетворення раціональних виразів

Цей параграф підбиває підсумок усьому тому, що ми, починаючи з 7-го класу, говорили про математичну мову, про математичну символіку, про числа, змінні, ступені, багаточлени і алгебраїчних дробах. Але спочатку зробимо невеликий екскурс у минуле.

Згадайте, як у молодших класах було з вивченням чисел і числових выражений.

А, скажімо, до дробу можна приклеїти лише один ярлик – раціональне число.

Аналогічно справи з алгебраїчними висловлюваннями: перший етап їх вивчення - числа, змінні, ступеня («цифри»); другий етап їх вивчення – одночлени («натуральні числа»); третій етап їх вивчення – багаточлени («цілі числа»); четвертий етап їх вивчення - алгебраїчні дроби
(«Раціональні числа»). У цьому кожен наступний етап хіба що вбирає у собі попередній: так, числа, змінні, ступеня - окремі випадки одночленів; одночлени – окремі випадки багаточленів; багаточлени - окремі випадки алгебраїчних дробів. Між іншим, в алгебрі використовують іноді такі терміни: многочлен - ціле вираз, алгебраїчна дріб - дробовий вираз (це лише посилює аналогію)

Продовжимо згадану аналогію. Ви знаєте, що будь-яке числове вираз після виконання всіх арифметичних дій, що входять до його складу, приймає конкретне числове значення - раціональне число (зрозуміло, воно може виявитися і натуральним числом, і цілим числом, і дробом - це неважливо). Так само будь-яке вираз алгебри, складений з чисел і змінних за допомогою арифметичних операцій і зведення в натуральну ступінь, після виконання перетворень набуває вигляду алгебраїчного дробу і знову-таки, зокрема, може вийти не дріб, а багаточлен або навіть одночлен). Для таких виразів в алгебрі використовують термін «раціональний вираз».

приклад.Довести тотожність

Рішення.
Довести тотожність - це означає встановити, що з усіх допустимих значеннях змінних його ліва і права частини є тотожно рівні висловлювання. В алгебрі тотожності доводять у різний спосіб:

1) виконують перетворення лівої частини та отримують у результаті праву частину;

2) виконують перетворення правої частини та отримують у результаті ліву частину;

3) окремо перетворять праву і ліву частини та отримують і в першому і в другому випадку один і той же вираз;

4) складають різницю лівої та правої частин і в результаті її перетворень одержують нуль.

Який спосіб вибрати – залежить від конкретного виду тотожності, який вам пропонується довести. У цьому прикладі доцільно вибрати перший спосіб.

Для перетворення раціональних висловів прийнято той самий порядок дій, що й перетворення числових выражений. Це означає, що спочатку виконують дії в дужках, потім дії другого ступеня (множення, розподіл, зведення в ступінь), потім дії першого ступеня (складання, віднімання).

Виконаємо перетворення за діями, спираючись на ті правила, алгоритми, що були вироблені у попередніх параграфах.

Як бачите, нам вдалося перетворити ліву частину тотожності, що перевіряється, до виду правої частини. Це означає, що тотожність доведена. Однак нагадаємо, що тотожність справедлива лише для допустимих значень змінних. Такими в даному прикладі є будь-які значення а та b, крім тих, які звертають знаменники дробів на нуль. Отже, допустимими є будь-які пари чисел (а; b), крім тих, за яких виконується хоча б одна з рівностей:

2а – b = 0, 2а + b = 0, b = 0.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Навч. для загальноосвіт. установ.- 3-тє вид., Доопрацювання. – М.: Мнемозіна, 2001. – 223 с: іл.

Повний перелік тем за класами, календарний план згідно з шкільною програмою з математики онлайн, відеоматеріал з математики для 8 класу

На даному уроці будуть розглянуті основні відомості про раціональні висловлювання та їх перетворення, а також приклади перетворення раціональних виразів. Ця тема хіба що узагальнює вивчені нами раніше теми. Перетворення раціональних виразів мають на увазі додавання, віднімання, множення, розподіл, зведення в ступінь алгебраїчних дробів, скорочення, розкладання на множники і т. п. У рамках уроку ми розглянемо, що таке раціональне вираження, а також розберемо приклади їх перетворення.

Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок:Основні відомості про раціональні висловлювання та їх перетворення

Визначення

Раціональний вираз- це вираз, що складається з чисел, змінних, арифметичних операцій та операції зведення у ступінь.

Розглянемо приклад раціонального виразу:

Окремі випадки раціональних виразів:

1. ступінь: ;

2. одночлен: ;

3. дріб: .

Перетворення раціонального вираження- це спрощення оптимального висловлювання. Порядок дій при перетворенні раціональних виразів: спочатку йдуть дії в дужках, потім операції множення (поділу), а потім уже операції додавання (віднімання).

Розглянемо кілька прикладів перетворення раціональних выражений.

Приклад 1

Рішення:

Розв'яжемо цей приклад за діями. Першим виконується дія у дужках.

Відповідь:

Приклад 2

Рішення:

Відповідь:

Приклад 3

Рішення:

Відповідь: .

Примітка:можливо, у вас побачивши даний приклад виникла ідея: скоротити дріб перед тим, як приводити до спільного знаменника. Справді, вона абсолютно правильною: спочатку бажано максимально спростити вираз, та був його перетворювати. Спробуємо вирішити цей приклад другим способом.

Як бачимо, відповідь вийшла абсолютно аналогічною, а ось рішення виявилося дещо простішим.

На цьому уроці ми розглянули раціональні висловлювання та їх перетворення, і навіть кілька конкретних прикладів даних перетворень.

Список літератури

1. Башмаков М.І. Алгебра 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.

2. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.