Вирішу еге на ймовірність. Основні формули теорії ймовірності. Теорема складання ймовірностей

В-6-2014 (всі 56 прототипів з банку ЄДІ)

Вміти будувати та досліджувати найпростіші математичні моделі (теорія ймовірностей)

1.У випадковому експерименті кидають дві гральні кістки. Знайдіть ймовірність того, що у сумі випаде 8 очок. Результат округліть до сотих.Рішення: Кількість наслідків, при яких в результаті кидка гральних кісток випаде 8 очок, дорівнює 5: 2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2. Кожен із кубиків може випасти шістьма варіантами, тому загальна кількість результатів дорівнює 6·6 = 36. Отже, ймовірність того, що в сумі випаде 8 очок, дорівнює 5: 36=0,138…=0,14

2.У випадковому експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно один раз.Рішення: Рівні 4 результати експерименту: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Орел випадає рівно один раз у двох випадках: орел-решка та решка-орел. Тому ймовірність того, що орел випаде рівно 1 раз, дорівнює 2: 4 = 0,5.

3.У чемпіонаті з гімнастики беруть участь 20 спортсменок: 8 із Росії, 7 із США, решта - з Китаю. Порядок, у якому виступають гімнастки, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсменка, яка виступає першою, виявиться з Китаю.Рішення: У чемпіонаті бере участьспортсменок із Китаю. Тоді ймовірність того, що спортсменка, яка виступає першою, виявиться з Китаю, дорівнює 5: 20 = 0,25

4.У середньому з 1000 садових насосів, що надійшли у продаж, 5 підтікають. Знайдіть ймовірність того, що один випадково вибраний для контролю насос не підтікає.Рішення: У середньому із 1000 садових насосів, що надійшли у продаж, 1000 − 5 = 995 не підтікають. Отже, ймовірність того, що один випадково вибраний для контролю насос не підтікає, дорівнює 995: 1000 = 0,995

5.Фабрика випускає сумки. У середньому на 100 якісних сумок припадає вісім сумок із прихованими дефектами. Знайдіть ймовірність того, що куплена сумка виявиться якісною. Результат округліть до сотих.Рішення: За умовою кожні 100 + 8 = 108 сумок припадає 100 якісних сумок. Отже, можливість того, що куплена сумка виявиться якісною, дорівнює 100: 108 =0,925925…= 0,93

6.У змаганнях з штовхання ядра беруть участь 4 спортсмени з Фінляндії, 7 спортсменів із Данії, 9 спортсменів зі Швеції та 5 – з Норвегії. Порядок, у якому виступають спортсмени, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсмен, який виступає останнім, виявиться зі Швеції.. Рішення: Загалом у змаганнях бере участь 4+7+9+5=25 спортсменів. Значить, ймовірність того, що спортсмен, який виступає останнім, виявиться зі Швеції, дорівнює 9: 25 = 0,36

7. Наукова конференція проводиться у 5 днів. Усього заплановано 75 доповідей – перші три дні по 17 доповідей, решта розподілено порівну між четвертим та п'ятим днями. Порядок доповідей визначається жеребкуванням. Яка ймовірність, що доповідь професора М. виявиться запланованою на останній день конференції?Рішення: За перші три дні буде прочитано 51 доповідь, на останні два дні планується 24 доповіді. Тож на останній день заплановано 12 доповідей. Отже, ймовірність того, що доповідь професора М. виявиться запланованою на останній день конференції, дорівнює 12: 75 =0,16

8. Конкурс виконавців проводиться в 5 днів. Усього заявлено 80 виступів – по одному від кожної країни. У перший день 8 виступів, інші розподілені порівну між днями, що залишилися. Порядок виступів визначається жеребкуванням. Якою є ймовірність, що виступ представника Росії відбудеться у третій день конкурсу?Рішення: На третій день заплановановиступів. Отже, ймовірність того, що виступ представника з Росії виявиться запланованим на третій день конкурсу, дорівнює 18:80 = 0,225

9.На семінар приїхали 3 вчених з Норвегії, 3 з Росії та 4 з Іспанії. Порядок доповідей визначається жеребкуванням. Знайдіть ймовірність того, що восьмою виявиться доповідь вченого з Росії.Рішення: Загалом у семінарі бере участь 3 + 3 + 4 = 10 учених, отже, ймовірність того, що вчений, який виступає восьмим, виявиться з Росії, дорівнює 3:10 = 0,3.

10. Перед початком першого туру чемпіонату з бадмінтону учасників розбивають на ігрові пари випадковим чином за допомогою жеребу. Загалом у чемпіонаті бере участь 26 бадмінтоністів, серед яких 10 учасників із Росії, зокрема Руслан Орлов. Знайдіть ймовірність того, що в першому турі Руслан Орлов гратиме з будь-яким бадмінтоністом із Росії?Рішення: У першому турі Руслан Орлов може зіграти з 26 − 1 = 25 бадмінтоністами, з яких 10 − 1 = 9 із Росії. Значить, ймовірність того, що в першому турі Руслан Орлов гратиметься з будь-яким бадмінтоністом з Росії, дорівнює 9:25 = 0,36

11. У збірнику квитків з біології всього 55 квитків, в 11 з них зустрічається питання з ботаніки. Знайдіть ймовірність того, що у випадково вибраному на іспиті квитку школяру дістанеться питання з ботаніки.Рішення: 11: 55 = 0,2

12. На чемпіонаті зі стрибків у воду виступають 25 спортсменів, серед них 8 стрибунів з Росії та 9 стрибунів з Парагваю. Порядок виступів визначається жеребкуванням. Знайдіть ймовірність того, що шостим виступатиме стрибун із Парагваю.

13.Дві фабрики випускають однакові стекла для автомобільних фар. Перша фабрика випускає 30% цього скла, друга - 70%. Перша фабрика випускає 3% бракованого скла, а друга - 4%. Знайдіть ймовірність того, що випадково куплене в магазині скло виявиться бракованим.

Рішення. Перекладаємо %% дробу.

Подія А - "Куплене скло першої фабрики". Р(А)=0,3

Подія В - "Куплене скло другої фабрики". Р(В)=0,7

Подія Х - "Скло браковане".

Р(А та Х) = 0.3 * 0.03 = 0.009

Р(В і Х) = 0.7 * 0.04 = 0.028 За формулою повної ймовірності: Р = 0.009 +0.028 = 0.037

14. Якщо гросмейстер А. грає білими, то він виграє у гросмейстера Б. з ймовірністю 0,52. Якщо А. грає чорними, то А. виграє Б. з ймовірністю 0,3. Гросмейстери А. і Б. грають дві партії, причому у другій партії змінюють колір фігур. Знайдіть ймовірність того, що А. виграє обидва рази. Рішення: 0,52 * 0,3 = 0,156.

15. Вася, Петя, Коля та Льоша кинули жереб - кому починати гру. Знайдіть ймовірність того, що розпочинати гру повинен буде Петя.

Рішення: Випадковий експеримент – кидання жереба.
У цьому експерименті елементарною подією є учасник, який виграв жереб.
Перелічимо можливі елементарні події:
(Вася), (Петя), (Коля), (Льоша).
Їх буде 4, тобто. N = 4. Жереб має на увазі, що всі елементарні події рівноможливі.
Події A= (жереб виграв Петя) сприяє лише одне елементарне подія (Петя). Тому N(A)=1.
Тоді P(A)=0,25Відповідь: 0,25.

16. У чемпіонаті світу беруть участь 16 команд. За допомогою жереба їх потрібно розділити на чотири групи з чотирьох команд у кожній. У ящику впереміш лежать картки з номерами груп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капітани команд тягнуть по одній картці. Яка ймовірність того, що команда Росії опиниться у другій групі?Рішення: Усього результатів -16.Из них сприятливих, тобто. з номером 2 буде 4. Значить, 4: 16 = 0,25

17.На іспиті з геометрії школяру дістається одне питання зі списку екзаменаційних питань. Імовірність того, що це питання на тему «Вписане коло» дорівнює 0,2. Імовірність того, що це питання на тему «Паралелограм», дорівнює 0,15. Запитань, що одночасно ставляться до цих двох тем, немає. Знайдіть ймовірність того, що на іспиті школяру дістанеться питання з однієї з цих двох тем.

= (питання на тему «Вписане коло»),
= (Питання на тему «Паралелограм»).
Подіїі несумісні, оскільки за умовою списку немає питань, які стосуються цих двох тем одночасно.
Подія= (питання за однією з цих двох тем) є їх об'єднанням:.
Застосуємо формулу складання ймовірностей несумісних подій:
.

18. У торговому центрі два однакові автомати продають каву. Імовірність того, що до кінця дня в автоматі закінчиться кава, дорівнює 0,3. Імовірність того, що кава закінчиться в обох автоматах, дорівнює 0,12. Знайдіть ймовірність того, що до кінця дня кава залишиться в обох автоматах.

Визначимо події
= (кава закінчиться у першому автоматі),
= (кава закінчиться у другому автоматі).
За умовою завданняі .
За формулою складання ймовірностей знайдемо ймовірність події
і = (кава закінчиться хоча б в одному з автоматів):

.
Отже, ймовірність протилежної події (кава залишиться в обох автоматах) дорівнює
.

19. Біатлоніст п'ять разів стріляє по мішенях. Імовірність влучення в ціль за одного пострілу дорівнює 0,8. Знайдіть ймовірність того, що біатлоніст перші три рази потрапив у мішені, а останні два промахнувся. Результат округліть до сотих.

У цьому завдання передбачається, що результат кожного наступного пострілу не залежить від попередніх. Тому події «потрапив за першого пострілу», «потрапив за другого пострілу» тощо. незалежні.
Імовірність кожного попадання дорівнює. Отже, ймовірність кожного промаху дорівнює. Скористайтеся формулою множення ймовірностей незалежних подій. Отримуємо, що послідовність
= (влучив, влучив, влучив, промахнувся, промахнувся) має можливість
=
=. Відповідь: .

20. У магазині стоять два платіжні автомати. Кожен може бути несправний з ймовірністю 0,05 незалежно від іншого автомата. Знайдіть ймовірність того, що хоча б один автомат справний.

У цьому вся задачі також передбачається незалежність роботи автоматів.
Знайдемо ймовірність протилежної події
= (обидва автомати несправні).
Для цього використовуємо формулу множення ймовірностей незалежних подій:
.
Значить, ймовірність події= (хоча б один автомат справний) дорівнює. Відповідь: .

21. Приміщення висвітлюється ліхтарем із двома лампами. Імовірність перегорання однієї лампи протягом року дорівнює 0,3. Знайдіть ймовірність того, що протягом року хоча б одна лампа не перегорить.Рішення: Обидві перегорять (Події незалежні та користуємося формулою добутку ймовірностей) з ймовірністю p1=0,3⋅0,3=0,09
Протилежна подія(НЕ обидві перегорять = ОДНА хоча б не перегорить)
відбудеться з ймовірністю p=1-p1=1-0,09=0,91
ВІДПОВІДЬ: 0,91

22.Вірогідність того, що новий електричний чайник прослужить більше року, дорівнює 0,97. Імовірність того, що він прослужить понад два роки, дорівнює 0,89. Знайдіть ймовірність того, що він прослужить менше двох років, але більше року

Рішення.

Нехай A = "чайник прослужить більше року, але менше двох років", В = "чайник прослужить більше двох років", тоді A + B = "чайник прослужить більше року".

Події A та В спільні, ймовірність їх суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій, зменшеній на ймовірність їхнього твору. Імовірність твору цих подій, що полягає в тому, що чайник вийде з ладу рівно через два роки - суворо того ж дня, годину та секунду - дорівнює нулю. Тоді:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B),

звідки, використовуючи дані умови, отримуємо 0,97 = P(A) + 0,89.

Тим самим, для ймовірності маємо: P(A) = 0,97 − 0,89 = 0,08.

23. Агрофірма закуповує курячі яйця у двох домашніх господарствах. 40% яєць з першого господарства – яйця вищої категорії, а з другого господарства – 20% яєць вищої категорії. Загалом вищу категорію отримує 35% яєць. Знайдіть ймовірність того, що яйце, куплене у цієї агрофірми, виявиться з першого господарства.Рішення: Нехай у першому господарстві агрофірма закуповуєяєць, у тому числі, яєць вищої категорії, а у другому господарстві -яєць, у тому числі яєць найвищої категорії. Тим самим всього агроформа закуповуєяєць, у тому числі яєць найвищої категорії. За умовою вищу категорію мають 35% яєць, тоді:

Тому ймовірність того, що куплене яйце виявиться з першого господарства, дорівнює =0,75

24.На клавіатурі телефону 10 цифр, від 0 до 9. Яка ймовірність того, що випадково натиснута цифра буде парною?

25.Яка ймовірність того, що випадково обране натуральне число від 10 до 19 ділиться на три?

26. Ковбой Джон потрапляє в муху на стіні з ймовірністю 0,9, якщо стріляє з пристріляного револьвера. Якщо Джон стріляє з непристріляного револьвера, він потрапляє на муху з ймовірністю 0,2. На столі лежить 10 револьверів, з них лише 4 пристріляні. Ковбой Джон бачить на стіні муху, навмання вистачає перший-ліпший револьвер і стріляє в муху. Знайдіть ймовірність того, що Джон промахнеться. Рішення: Джон потрапляє в муху, якщо схопить пристріляний револьвер і влучить із нього, або якщо схопить непристріляний револьвер і потрапляє з нього. За формулою умовної ймовірності, ймовірності цих подій рівні відповідно 0,4 0,9 = 0,36 і 0,6 0,2 = 0,12. Ці події несумісні, ймовірність їхньої суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій: 0,36 + 0,12 = 0,48. Подія, що полягає в тому, що Джон схибить, протилежне. Його ймовірність дорівнює 1 - 0,48 = 0,52.

27. У групі туристів 5 осіб. За допомогою жереба вони обирають двох людей, які мають іти до села за продуктами. Турист А. хотів би сходити в магазин, але він підкоряється жеребу. Яка ймовірність того, що А. піде до магазину?Рішення: Усього туристів п'ять, випадково з них обирають двох. Імовірність бути обраним дорівнює 2:5 = 0,4. Відповідь: 0,4.

28. Перед початком футбольного матчу суддя кидає монетку, щоб визначити, яка з команд розпочне гру з м'ячем. Команда "Фізік" грає три матчі з різними командами. Знайдіть ймовірність того, що в цих іграх «Фізик» виграє жереб рівно двічі.Рішення: Позначимо "1" той бік монети, який відповідає за виграш жереба "Фізиком", інший бік монети позначимо "0". Тоді сприятливих комбінацій три: 110, 101, 011, а всього комбінацій 2 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тим самим шукана ймовірність дорівнює:

29. Гральний кубик кидають двічі. Скільки елементарних наслідків досвіду сприяють події «А = сума очок дорівнює 5»? Рішення: Сума очок може дорівнювати 5 у чотирьох випадках: «3 + 2», «2 + 3», «1 + 4», «4 + 1». Відповідь: 4.

30.У випадковому експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що настане результат ОР (вперше випадає орел, вдруге - решка).Рішення: Усього можливих результатів - чотири: орел-орел, орел-решка, решка-орел, решка-решка. Сприятливим є один: орел-решка. Отже, ймовірність дорівнює 1: 4 = 0,25. Відповідь: 0,25.

31. На рок-фестивалі виступають гурти – по одній від кожної із заявлених країн. Порядок виступу визначається жеребом. Яка ймовірність того, що гурт із Данії виступатиме після групи зі Швеції та після групи з Норвегії? Результат округліть до сотих.Рішення: Загальна кількість виступаючих на фестивалі гуртів для відповіді на запитання не має значення. Скільки б їх не було, для зазначених країн є 6 способів взаємного розташування серед виступаючих (Д – Данія, Ш – Швеція, Н – Норвегія):

Д...Ш...Н..., ...Д...Н...Ш..., ...Ш...Н...Д..., ...Ш. ..Д...Н..., ...Н...Д...Ш..., ...Н...Ш...Д...

Данія перебуває після Швеції та Норвегії у двох випадках. Тому ймовірність того, що групи випадково будуть розподілені саме так, дорівнюєВідповідь: 0,33.

32.При артилерійській стрільбі автоматична система робить постріл за мету. Якщо ціль не знищена, то система робить повторний постріл. Постріли повторюються доти, доки ціль не буде знищена. Імовірність знищення певної мети при першому пострілі дорівнює 0,4, а при кожному наступному – 0,6. Скільки пострілів знадобиться для того, щоб ймовірність знищення мети була не менше 0,98?Рішення: Можна розв'язувати задачу «за діями», обчислюючи можливість уціліти після низки послідовних промахів: Р(1) = 0,6. Р(2) = Р(1) 0,4 = 0,24. Р(3) = Р(2) 0,4 = 0,096. Р(4) = Р(3) 0,4 = 0,0384; Р(5) = Р(4) 0,4 = 0,01536. Остання можливість менше 0,02, тому достатньо п'яти пострілів по мішені.

33. Щоб пройти в наступне коло змагань, футбольній команді потрібно набрати хоча б 4 очки у двох іграх. Якщо команда виграє, вона отримує 3 очки, у разі нічиєї – 1 очко, якщо програє – 0 очок. Знайдіть ймовірність того, що команді вдасться вийти у наступне коло змагань. Вважайте, що у кожній грі ймовірності виграшу та програшу однакові та рівні 0,4. Рішення : Команда може отримати не менше 4 очок у двох іграх трьома способами: 3+1, 1+3, 3+3 Ці події несумісні, ймовірність їхньої суми дорівнює сумі їх ймовірностей. Кожна з цих подій є твіром двох незалежних подій - результату в першій і в другій грі. Звідси маємо:

34.У деякому місті з 5000 немовлят, що з'явилися на світ, 2512 хлопчиків. Знайдіть частоту народження дівчаток у цьому місті. Результат округліть до тисячних.Рішення: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498

35.На борту літака 12 місць поряд із запасними виходами та 18 місць за перегородками, що розділяють салони. Інші місця незручні для пасажира високого зросту. Пасажир Ст високого зростання. Знайдіть ймовірність того, що на реєстрації при випадковому виборі місця пасажиру В. дістанеться зручне місце, якщо в літаку 300 місць.Рішення : У літаку 12 + 18 = 30 місць зручні для пасажира В., а всього в літаку 300 місць. Тому ймовірність того, що пасажиру В. дістанеться зручне місце дорівнює 30: 300 = 0,1. Відповідь: 0,1.

36.На олімпіаді у вузі учасників розсаджують за трьома аудиторіями. У перших двох по 120 осіб, що залишилися, проводять в запасну аудиторію в іншому корпусі. За підрахунком з'ясувалося, що всього було 250 учасників. Знайдіть ймовірність, що випадково обраний учасник писав олімпіаду в запасний аудиторії.Рішення: Загалом у запасну аудиторію направили 250 – 120 – 120 = 10 осіб. Тому можливість того, що випадково обраний учасник писав олімпіаду в запасний аудиторії, дорівнює 10: 250 = 0,04. Відповідь: 0,04.

37. У класі 26 осіб, серед них два близнюки – Андрій та Сергій. Клас випадково ділять на дві групи по 13 осіб у кожній. Знайдіть ймовірність того, що Андрій та Сергій опиняться в одній групі.Рішення: Нехай один із близнюків перебуває у певній групі. Разом з ним у групі опиняться 12 осіб з 25 однокласників, що залишилися. Імовірність того, що другий близнюк опиниться серед цих 12 осіб, дорівнює 12: 25 = 0,48.

38.У фірмі таксі в наявності 50 легкових автомобілів; 27 їх чорні з жовтими написами на бортах, інші - жовті з чорними написами. Знайдіть ймовірність, що на випадковий виклик приїде машина жовтого кольору з чорними написами.Рішення: 23:50 = 0,46

39. У групі туристів 30 осіб. Їх гелікоптером у кілька прийомів закидають у важкодоступний район по 6 осіб за рейс. Порядок, у якому гелікоптер перевозить туристів, випадковий. Знайдіть ймовірність того, що турист П. полетить першим рейсом вертольота.Рішення: На першому рейсі 6 місць, всього 30 місць. Тоді ймовірність того, що турист П. полетить першим рейсом вертольота, дорівнює:6:30=0,2

40. Імовірність того, що новий DVD-програвач протягом року надійде у гарантійний ремонт, дорівнює 0,045. У деякому місті з 1000 проданих DVD-програвачів протягом року до гарантійної майстерні надійшла 51 штука. Наскільки відрізняється частота події «гарантійний ремонт» від його ймовірності у цьому місті?Рішення: Частота (відносна частота) події "гарантійний ремонт" дорівнює 51: 1000 = 0,051. Вона відрізняється від передбаченої ймовірності 0,006.

41.При виготовленні підшипників діаметром 67 мм ймовірність того, що діаметр відрізнятиметься від заданого не більше ніж на 0,01 мм, дорівнює 0,965. Знайдіть ймовірність того, що випадковий підшипник матиме діаметр менше, ніж 66,99 мм або більше, ніж 67,01 мм.Рішення. За умовою, діаметр підшипника лежатиме в межах від 66,99 до 67,01 мм із ймовірністю 0,965. Тому ймовірність протилежної події дорівнює 1 − 0,965 = 0,035.

42.Ймовірність того, що на тесті з біології учень О. правильно вирішить більше 11 завдань, дорівнює 0,67. Імовірність того, що О. правильно вирішить більше 10 завдань, дорівнює 0,74. Знайдіть ймовірність того, що О. правильно вирішить рівно 11 завдань.Рішення: Розглянемо події A = "учень вирішить 11 завдань" і В = "учень вирішить більше 11 завдань". Їхня сума - подія A + B = «учень вирішить більше 10 завдань». Події A та В несумісні, ймовірність їх суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій: P(A + B) = P(A) + P(B). Тоді, використовуючи дані завдання, отримуємо: 0,74 = P(A) + 0,67, звідки P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. Відповідь: 0,07.

43. Щоб вступити до інституту на спеціальність «Лінгвістика», абітурієнт повинен набрати на ЄДІ не менше 70 балів по кожному з трьох предметів – математика, російська та іноземна мова. Щоб вступити на спеціальність «Комерція», потрібно набрати не менше 70 балів з кожного з трьох предметів – математика, російська мова та суспільствознавство. Імовірність того, що абітурієнт З. отримає не менше 70 балів з математики, дорівнює 0,6, з російської мови - 0,8, з іноземної мови - 0,7 і за суспільствознавством - 0,5. Знайдіть ймовірність того, що З. зможе надійти хоча б на одну із двох згаданих спеціальностей.Рішення: Для того, щоб вступити хоч кудись, З. потрібно здати і російську, і математику як мінімум на 70 балів, а крім цього ще здати іноземну мову або суспільствознавство не менше, ніж на 70 балів. Нехай A , B , C та D - це події, в яких З. здає відповідно математику, російську, іноземну та суспільствознавство не менше, ніж на 70 балів. Тоді оскільки

Для ймовірності надходження маємо:

44.На фабриці керамічного посуду 10% вироблених тарілок мають дефект. При контролю якості продукції виявляється 80% дефектних тарілок. Інші тарілки надходять у продаж. Знайдіть ймовірність того, що випадково обрана при покупці тарілка не має дефектів. Відповідь округліть до сотих.Рішення : Нехай завод виробивтарілок. У продаж надійдуть всі якісні тарілки та 20% невиявлених дефектних тарілок:тарілок. Оскільки якісних із них, Імовірність купити якісну тарілку дорівнює 0,9 п: 0,92 п = 0,978 Відповідь: 0,978.

45. У магазині три продавці. Кожен із них зайнятий з клієнтом із ймовірністю 0,3. Знайдіть ймовірність того, що у випадковий момент часу всі три продавці зайняті одночасно (вважайте, що клієнти заходять незалежно один від одного).Рішення : Імовірність твору незалежних подій дорівнює твору ймовірностей цих подій Тому ймовірність того, що всі три продавці зайняті, дорівнює

46. ​​За відгуками покупців Іван Іванович оцінив надійність двох інтернет-магазинів. Імовірність того, що потрібний товар доставлять із магазину А, дорівнює 0,8. Імовірність того, що цей товар доставлять із магазину Б, дорівнює 0,9. Іван Іванович замовив товар одразу в обох магазинах. Вважаючи, що інтернет-магазини працюють незалежно один від одного, знайдіть ймовірність того, що жоден магазин не доставить товар.Рішення: Імовірність того, що перший магазин не доставить товар, дорівнює 1 − 0,9 = 0,1. Імовірність того, що другий магазин не доставить товар, дорівнює 1 − 0,8 = 0,2. Оскільки ці події незалежні, ймовірність їхнього твору (обидва магазини не доставлять товар) дорівнює твору ймовірностей цих подій: 0,1 · 0,2 = 0,02

47. З районного центру до села щодня ходить автобус. Імовірність того, що у понеділок в автобусі виявиться менше 20 пасажирів, дорівнює 0,94. Імовірність того, що виявиться меншою за 15 пасажирів, дорівнює 0,56. Знайдіть ймовірність того, що кількість пасажирів буде від 15 до 19.Рішення: Розглянемо події A = "в автобусі менше 15 пасажирів" і В = "в автобусі від 15 до 19 пасажирів". Їхня сума - подія A + B = «в автобусі менше 20 пасажирів». Події A та В несумісні, ймовірність їх суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій: P(A + B) = P(A) + P(B). Тоді, використовуючи ці завдання, отримуємо: 0,94 = 0,56 + P(В), звідки P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38. Відповідь: 0,38.

48. Перед початком волейбольного матчу капітани команд тягнуть чесний жереб, щоб визначити, яка з команд розпочне гру з м'ячем. Команда «Статор» по черзі грає з командами «Ротор», «Мотор» та «Стартер». Знайдіть ймовірність того, що «Статор» розпочинатиме лише першу та останню ігри.Рішення. Потрібно знайти вірогідність добутку трьох подій: «Статор» починає першу гру, не починає другу гру, починає третю гру. Імовірність твору незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій. Імовірність кожного їх дорівнює 0,5, звідки знаходимо: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Відповідь: 0,125.

49. У Чарівній країні буває два типи погоди: хороша та відмінна, причому погода, встановившись вранці, тримається незмінною весь день. Відомо, що з ймовірністю 0,8 погода завтра буде такою самою, як і сьогодні. Сьогодні 3 липня погода у Чарівній країні хороша. Знайдіть ймовірність того, що 6 липня у Чарівній країні буде чудова погода.Рішення. Для погоди на 4, 5 та 6 липня є 4 варіанти: ХХО, ХОО, ОХО, ТОВ (тут Х – гарна, О – чудова погода). Знайдемо ймовірність наступу такої погоди: P(XXO) = 0,8·0,8·0,2 = 0,128; P(XOO) = 0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128; P(OXO) = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008; P(OOO) = 0,2 0,8 0,8 = 0,128. Зазначені події несумісні, ймовірність їхньої суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ОХО) + P(ТОВ) = 0,128 + 0,128 + 0,008 + 0,128 = 0,392.

50.Всім пацієнтам із підозрою на гепатит роблять аналіз крові. Якщо аналіз виявляє гепатит, результат аналізу називаєтьсяпозитивним . У хворих на гепатит пацієнтів аналіз дає позитивний результат з ймовірністю 0,9. Якщо пацієнт не хворий на гепатит, то аналіз може дати помилковий позитивний результат з ймовірністю 0,01. Відомо, що 5% пацієнтів, які надходять із підозрою на гепатит, дійсно хворі на гепатит. Знайдіть ймовірність того, що результат аналізу у пацієнта, який надійшов до клініки з підозрою на гепатит, буде позитивним.Рішення . Аналіз пацієнта може бути позитивним з двох причин: А) пацієнт хворіє на гепатит, його аналіз вірний; B) пацієнт не хворіє на гепатит, його аналіз складний. Це несумісні події, ймовірність їхньої суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій. Маємо: р (А) = 0,9 0,05 = 0,045; р (В) = 0,01 0,95 = 0,0095; р(А+В)=Р(А)+р(В)=0,045+0,0095=0,0545.

51. У кишені у Миші було чотири цукерки - «Грильяж», «Білочка», «Корівка» та «Ластівка», а також ключі від квартири. Виймаючи ключі, Мишко випадково випустив з кишені одну цукерку. Знайдіть ймовірність того, що загубилася цукерка "Грильяж".

52. Механічний годинник з дванадцятигодинним циферблатом в якийсь момент зламався і перестав ходити. Знайдіть ймовірність того, що годинникова стрілка застигла, досягнувши позначки 10, але не дійшовши до позначки 1 год. Рішення: 3: 12 = 0,25

53.Вірогідність того, що батарейка бракована, дорівнює 0,06. Покупець у магазині вибирає випадкову упаковку, в якій дві такі батареї. Знайдіть ймовірність того, що обидві батарейки виявляться справними.Рішення: Імовірність того, що батарейка справна, дорівнює 0,94. Імовірність добутку незалежних подій (обидві батарейки виявляться справними) дорівнює добутку ймовірностей цих подій: 0,94 · 0,94 = 0,8836. Відповідь: 0,8836.

54.Автоматична лінія виготовляє батареї. Імовірність того, що готова батарея несправна, дорівнює 0,02. Перед упакуванням кожна батарея проходить систему контролю. Імовірність того, що система забракує несправну батарею, дорівнює 0,99. Імовірність того, що система помилково забракує справну батарейку, дорівнює 0,01. Знайдіть ймовірність того, що випадково обрана виготовлена ​​батарея буде забракована системою контролю.Рішення. Ситуація, при якій батарейка буде забракована, може скластися в результаті подій: A = батарейка справді несправна і забракована справедливо або В = батарейка справна, але помилково забракована. Це несумісні події, ймовірність їхньої суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій. Маємо:

55. На малюнку зображений лабіринт. Павук заповзає до лабіринту у точці «Вхід». Розвернутися і повзти назад павук не може, тому на кожному розгалуженні павук вибирає один із шляхів, яким ще не повз. Вважаючи, що вибір подальшого шляху чисто випадковий, визначте, з якою ймовірністю павук прийде до виходу.

Рішення.

На кожному з чотирьох зазначених розвилок павук з ймовірністю 0,5 може вибрати шлях, що веде до виходу D, або інший шлях. Це незалежні події, ймовірність їхнього твору (павук дійде до виходу D) дорівнює добутку ймовірностей цих подій. Тому можливість прийти до виходу D дорівнює (0,5) 4 = 0,0625.

Наведені на даний момент у відкритому банку завдань ЄДІ з математики (mathege.ru), вирішення яких засноване на одній лише формулі, що є класичним визначенням ймовірності.

Зрозуміти формулу найпростіше на прикладах.
приклад 1.У кошику 9 червоних кульок та 3 синіх. Кулі розрізняються лише кольором. Навмання (не дивлячись) дістаємо один з них. Яка ймовірність того, що обрана таким чином куля виявиться синього кольору?

Коментар.У завданнях з теорії ймовірності відбувається щось (у разі наша дія з витягування кулі), що може мати різний результат - результат. Потрібно помітити, що результат можна дивитися по-різному. "Ми витягли якусь кулю" - теж результат. "Ми витягли синю кулю" - результат. "Ми витягли саме ось цей шар з усіх можливих куль" - такий найменш узагальнений погляд на результат називається елементарним результатом. Саме елементарні результати маються на увазі у формулі для обчислення ймовірності.

Рішення.Тепер обчислимо можливість вибору синьої кулі.
Подія А: "вибрана куля виявилася синього кольору"
Загальна кількість всіх можливих результатів: 9+3=12 (кількість всіх куль, які ми могли б витягнути)
Число сприятливих для події А результатів: 3 (кількість таких результатів, при яких подія А відбулася, тобто кількість синіх куль)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Відповідь: 0,25

Порахуємо для того ж завдання можливість вибору червоної кулі.
Загальна кількість можливих наслідків залишиться тим же, 12. Число сприятливих наслідків: 9. Шукана ймовірність: 9/12=3/4=0,75

Імовірність будь-якої події завжди лежить у межах від 0 до 1.
Іноді в повсякденному мовленні (але не теоретично ймовірності!) ймовірність подій оцінюють у відсотках. Перехід між математичною та розмовною оцінкою здійснюється шляхом множення (або розподілу) на 100%.
Отже,
При цьому ймовірність дорівнює нулю у подій, які не можуть статися, - неймовірні. Наприклад, у нашому прикладі це була б можливість витягнути з кошика зелену кулю. (Кількість сприятливих результатів дорівнює 0, Р(А)=0/12=0, якщо рахувати за формулою)
Імовірність 1 мають події, які абсолютно точно відбудуться без варіантів. Наприклад, ймовірність того, що «обрана куля виявиться або червоною або синьою» - для нашого завдання. (Кількість сприятливих результатів: 12, Р(А)=12/12=1)

Ми розглянули класичний приклад, що ілюструє визначення ймовірності. Усі подібні завдання ЄДІ з теорії ймовірності вирішуються застосуванням цієї формули.
На місці червоних та синіх куль можуть бути яблука та груші, хлопчики та дівчатка, вивчені та невивчені квитки, квитки, що містять та не містять питання з якоїсь теми (прототипи , ), браковані та якісні сумки або садові насоси (прототипи , ) – принцип залишається тим самим.

Дещо відрізняються формулюванням завдання теорії ймовірності ЄДІ, де потрібно обчислити ймовірність випадання якоїсь події на певний день. ( , ) Як і попередніх завданнях потрібно визначити, що є елементарним результатом, після чого застосувати ту ж формулу.

приклад 2.Конференція триває три дні. Першого і другого дня виступають по 15 доповідачів, третього дня – 20. Яка ймовірність того, що доповідь професора М. випаде на третій день, якщо порядок доповідей визначається жеребкуванням?

Що є елементарним результатом? – Присвоєння доповіді професора якогось одного зі всіх можливих порядкових номерів для виступу. У жеребкуванні бере участь 15+15+20=50 осіб. Таким чином, доповідь професора М. може отримати один із 50 номерів. Отже, і елементарних результатів лише 50.
А які результати сприятливі? – Ті, за яких виявиться, що професор виступатиме третього дня. Тобто останні 20 номерів.
За формулою ймовірність P(A)=20/50=2/5=4/10=0,4
Відповідь: 0,4

Жеребкування тут є встановлення випадкової відповідності між людьми та впорядкованими місцями. У прикладі 2 встановлення відповідності розглядалося з погляду того, яке з місць могла б зайняти конкретна людина. Можна до тієї ж ситуації підходити з іншого боку: хто з людей з якою ймовірністю міг би потрапити на конкретне місце (прототипи , , , ):

Приклад 3.У жеребкуванні беруть участь 5 німців, 8 французів та 3 естонці. Яка ймовірність того, що першим (/другим/сьомим/останнім – не важливо) виступатиме француз.

Кількість елементарних результатів - кількість всіх можливих людей, які могли б по жеребкуванню потрапити на це місце. 5+8+3=16 осіб.
Сприятливі наслідки – французи. 8 людей.
Шукана ймовірність: 8/16=1/2=0,5
Відповідь: 0,5

Небагато відрізняється прототип. Залишилися завдання про монети () та гральні кістки (), дещо більш творчі. Вирішення цих завдань можна переглянути на сторінках прототипів.

Наведемо кілька прикладів на кидання монети чи кубика.

Приклад 4.Коли підкидаємо монету, якою є ймовірність випадання рішки?
Виходів 2 – орел або решка. (Вважається, що монета ніколи не падає на ребро) Сприятливий результат - решка, 1.
Можливість 1/2=0,5
Відповідь: 0,5.

Приклад 5.А якщо підкидаємо монету двічі? Яка ймовірність того, що обидва рази випаде орел?
Головне визначити, які елементарні результати розглядатимемо при підкиданні двох монет. Після підкидання двох монет може вийти один із наступних результатів:
1) PP – обидва рази випала решка
2) PO – перший раз решка, вдруге орел
3) OP – перший раз орел, другий раз решка
4) OO – обидва рази випав орел
Інших варіантів немає. Отже, елементарних результатів 4. Сприятливий їх лише перший, 1.
Можливість: 1/4 = 0,25
Відповідь: 0,25

Якою є ймовірність того, що з двох підкидань монети один раз випаде решка?
Кількість елементарних результатів те саме, 4. Сприятливі результати – другий і третій, 2.
Можливість випадання однієї решки: 2/4=0,5

У таких завданнях може знадобитися ще одна формула.
Якщо при одному киданні монети можливих варіантів результату у нас 2, то для двох кидань результатів буде 2 · 2 = 2 2 = 4 (як у прикладі 5), для трьох кидань 2 · 2 · 2 = 2 3 = 8, для чотирьох: 2·2·2·2=2 4 =16, … для N кидання можливих результатів буде 2·2·...·2=2 N .

Так, можна знайти можливість випадання 5 рішок з 5 кидань монети.
Загальна кількість елементарних результатів: 25 =32.
Сприятливі результати: 1. (РРРРР – всі 5 разів решка)
Можливість: 1/32=0,03125

Те ж саме і для гральної кістки. При одному киданні можливих результатів тут 6. Значить, для двох кидань: 6 · 6 = 36, для трьох 6 · 6 · 6 = 216, і т. д.

Приклад 6.Кидаємо гральну кістку. Якою є ймовірність, що випаде парне число?

Усього результатів: 6, за кількістю граней.
Сприятливі: 3 результати. (2, 4, 6)
Можливість: 3/6=0,5

Приклад 7.Кидаємо дві гральні кістки. Яка ймовірність, що у сумі випаде 10? (округлити до сотих)

Для одного кубика 6 можливих наслідків. Значить, для двох, за вищезгаданим правилом, 6 · 6 = 36.
Які результати будуть сприятливими у тому, щоб у сумі випало 10?
10 треба розкласти у сумі двох чисел від 1 до 6. Це можна зробити двома способами: 10=6+4 і 10=5+5. Отже, для кубиків можливі варіанти:
(6 на першому та 4 на другому)
(4 на першому та 6 на другому)
(5 на першому та 5 на другому)
Разом, 3 варіанти. Шукана ймовірність: 3/36=1/12=0,08
Відповідь: 0,08

Інші типи завдань B6 будуть розглянуті в одній із наступних статей "Як вирішувати".

План проведення семінару-практикуму для вчителів математики ОУ міста Тули на тему «Рішення завдань ЄДІ з математики розділів: комбінаторика, теорія ймовірностей. Методика навчання»

Час проведення: 12 00 ; 15 00

Місце проведення: МБОУ «Ліцей №1», каб. №8

I. Вирішення задач на ймовірність

1. Вирішення завдань на класичне визначення ймовірності

Ми, як вчителі, вже знаємо, що основні типи завдань у ЄДІ з теорії ймовірностей ґрунтуються на класичному визначенні ймовірності. Згадаймо, що називається ймовірністю події?

Ймовірністю подіїназивається відношення числа результатів, що сприяють даній події, до загального числа результатів.

У нашому науково-методичному об'єднанні вчителів математики вироблено загальну схему вирішення завдань на ймовірність. До вашої уваги я її хочу уявити. До речі, ми поділилися своїм досвідом роботи, і у вас у матеріалах, які ми до вашої уваги дали для спільного обговорення вирішення завдань, ми цю схему дали. Проте я хочу її озвучити.

На наш погляд ця схема допомагає швидше логічно розкласти все по поличках, і після цього завдання вирішується набагато легше і для вчителя, і для учнів.

Так, я хочу докладно розібрати завдання наступного змісту.

Мені хотілося разом з вами поговорити, щоб пояснити методику, як до хлопців донести таке рішення, в процесі якого хлопці зрозуміли б це типове завдання, і згодом вони б самі в цих завданнях розбиралися.

Що у цій задачі є випадковим експериментом? Тепер нам необхідно вичленувати елементарну подію у цьому експерименті. Що є цією елементарною подією? Перерахуємо їх.

Питання щодо завдання?

Шановні колеги, ви теж, очевидно, розглядали завдання на ймовірність гральних кубиків. Думаю, нам треба її розібрати, бо є свої нюанси. Давайте розбиратимемо це завдання відповідно до тієї схеми, яку ми вам запропонували. Так як на кожній грані кубика є число від 1 до 6, то елементарними події є числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ми знайшли, що загальна кількість елементарних подій дорівнює 6. Визначимо, які елементарні події сприяють події. Сприяють цій події всього дві події – 5 та 6 (оскільки з умови випливає, що має випасти 5 та 6 очок).

Пояснити, що це елементарні події рівноможливі. Які будуть питання щодо завдання?

Як ви знаєте, що монета симетрична? Давайте розберемося в цьому, іноді певні фрази викликають непорозуміння. Давайте в поняттєвому режимі розберемося в цьому завданні. Давайте розберемося з вами в тому експерименті, який описаний, які можуть бути елементарні наслідки. Ви все уявляєте, де орел, де решка? Які можуть бути варіанти випадання? Чи є інші події? Скільки загальної кількості подій? За завданням відомо, що орел випав рівно один раз. Значить, цій подіїсприяють елементарні події з цих чотирьох ОР та РВ, двічі вже такого бути не може. Використовуємо формулу, за якою перебуває ймовірність події. Нагадаємо, що відповіді в частині повинні бути або ціле число, або десятковий дріб.

Показуємо на інтерактивній дошці. Читаємо завдання. Що є елементарним результатом у цьому досвіді? Уточнити, що пара впорядкована - тобто число випало на першому кубику, а на другому кубику. У будь-якій задачі є такі моменти, коли потрібно вибирати раціональні методи, форми та подавати рішення у вигляді таблиць, схем тощо. У цьому завдання зручно використовувати таку таблицю. Я вам даю вже готове рішення, але в ході рішення з'ясовується, що в цій задачі раціонально використовувати рішення у вигляді таблиці. Пояснюємо, що означає таблиця. Вам зрозуміло, чому у стовпцях написано 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Накреслимо квадрат. Рядки відповідають результатам першого кидка - їх шість, тому що у кубика шість граней. Як і стовпці. У кожній клітці напишемо суму очок, що випали. Показуємо заповнену таблицю. Зафарбуємо клітини, де сума дорівнює восьми (оскільки це потрібно за умови).

Я вважаю, що наступне завдання після розбору попередніх можна дати хлопцям вирішити самостійно.

У наступних завданнях немає потреби виписувати всі елементарні результати. Досить просто підрахувати їхню кількість.

(Без рішення) Таке завдання я давав вирішити хлопцям самостійно. Алгоритм розв'язання задачі

1. Визначаємо, у чому полягає випадковий експеримент і що є випадковою подією.

2. Знаходимо загальну кількість елементарних подій.

3. Знаходимо кількість подій, що сприяють події, зазначеній за умови завдання.

4. Знаходимо можливість події з використанням формули.

Учням можна поставити питання, якщо 1000 акумуляторів надійшло у продаж, а серед них 6 несправних, то вибраний акумулятор визначається як? Чим він є у нашому завданні? Далі я ставлю питання про знаходження, що тут використовується як числоі пропоную знайти цечисло. Далі питаю, що тут є подією? Скільки акумуляторів сприяє виконанню події? Далі, використовуючи формулу, обчислюємо цю можливість.

Тут хлопцям можна запропонувати другий спосіб вирішення. Давайте обговоримо, яким може бути цей спосіб?

1. Яку подію можна розглянути тепер?

2. Як знайти ймовірність цієї події?

Дітям треба сказати про ці формули. Вони такі

Восьму задачу можна запропонувати хлопцям самостійно, оскільки вона аналогічна до шостого завдання. Її їм можна запропонувати як самостійну роботу, або на картці біля дошки.

Це завдання можна вирішити стосовно олімпіади, яка зараз проходить. Попри те що, що у завданнях беруть участь різні події, проте завдання є типовими.

2. Найпростіші правила та формули обчислення ймовірностей (протилежні події, сума подій, твір подій)

Це завдання зі збірки ЄДІ. Рішення виводимо на дошку. Які ми питання маємо поставити перед учнями, щоб розібрати це завдання.

1. Скільки було автоматів? Раз два автомати, то подій вже два. Задаю питання дітям – якою буде подія? Якою буде друга подія?

2. - Це ймовірність події. Нам її обчислювати не потрібно, оскільки вона дана за умови. За умовою завдання ймовірність того, що «кава закінчиться в обох автоматах», дорівнює 0,12. Була подія А, була подія В. І з'являється нова подія? Я дітям ставлю питання – яке? Ця подія, коли в обох автоматах закінчується кава. В даному випадку, теоретично ймовірності це нова подія, яка називається перетином двох подій А і В і позначається це таким чином.

Скористаємося формулою складання ймовірності. Формула наступна

Ми її даємо вам у довідковому матеріалі та хлопцям можна давати цю формулу. Вона дозволяє шукати можливість суми подій. У нас питалася ймовірність протилежної події, ймовірність якої перебуває за формулою.

У задачі 13 використовується поняття добутку подій, формула для знаходження ймовірності якого наведена у додатку.

3. Завдання застосування дерева можливих варіантів

За умовою завдання легко скласти схему та знайти зазначені ймовірності.

За допомогою якого теоретичного матеріалу ви розбирали з учнями розв'язання таких задач? Ви використовували дерево можливих варіантів або використовували інші методи вирішення таких завдань? Чи давали ви поняття графів? У п'ятому чи шостому класі у хлопців є такі завдання, розбір яких дає поняття графів.

Я хотів би вас запитати, розглядали ли ви з учнями використання дерева можливих варіантів при вирішенні завдань на ймовірність? Справа в тому, що мало того, що в ЄДІ є такі завдання, але з'явилися досить складні завдання, які ми зараз вирішуватимемо.

Давайте обговоримо з вами методику вирішення таких завдань – якщо вона співпаде з моєю методикою, як я поясню хлопцям, то мені буде легше працювати з вами, якщо ні, то я допоможу вам розібратися з цим завданням.

Давайте ми обговоримо з вами події. Які події в задачі 17 можна вичленувати?

При побудові дерева на площині позначається точка, що називається коренем дерева. Далі ми починаємо розглядати подіїі. Ми побудуємо відрізок (теоретично ймовірностей він називається гілка). За умовою сказано, що перша фабрика випускає 30% мобільних телефонів цієї марки (який? Тієї, яку вони випускають), значить, в даний момент я учнів питаю, чому рівна ймовірність випуску першою фабрикою телефонів цієї марки, тих, які вони випускають? Так як подія є випуском телефону на першій фабриці, то ймовірність цієї події є 30% або 0,3. Інші телефони випущені на другій фабриці – ми будуємо другий відрізок, і ймовірність цієї події дорівнює 0,7.

Учням ставиться питання – якого типу може бути телефон, випущений першою фабрикою? З дефектом чи без дефекту. Яка ймовірність того, що телефон, випущений першою фабрикою, має дефект? За умовою сказано, що вона дорівнює 0,01. Питання: якою є ймовірність того, що телефон, випущений першою фабрикою, не має дефекту? Оскільки ця обставина протилежно цьому, його ймовірність дорівнює.

Потрібно знайти ймовірність того, що телефон з дефектом. Він може бути з першої фабрики, а може і з другої. Тоді скористаємося формулою складання ймовірностей і отримаємо, що вся ймовірність це сума ймовірностей того, що телефон з дефектом з першої фабрики, і що телефон з дефектом з другої фабрики. Імовірність того, що телефон має дефект і випущений на першій фабриці, знайдемо за формулою добутку ймовірностей, яка наведена в додатку.

4. Одне з найскладніших завдань з банку ЄДІ на ймовірність

Розберемо, наприклад, №320199 з Банку завдань ФІПД. Це одне із найскладніших завдань В6.

Аби вступити до інституту на спеціальність «Лінгвістика», абітурієнт З. повинен набрати на ЄДІ не менше 70 балів за кожним із трьох предметів – математика, російська мова та іноземна мова. Щоб вступити на спеціальність «Комерція», потрібно набрати не менше 70 балів з кожного з трьох предметів – математика, російська мова та суспільствознавство.

Імовірність того, що абітурієнт З. отримає не менше 70 балів з математики, дорівнює 0,6, з російської мови – 0,8, з іноземної мови – 0,7 та за суспільствознавством – 0,5.

Знайдіть ймовірність того, що З. зможе надійти хоча б на одну із двох згаданих спеціальностей.

Зауважимо, що завдання не питається, чи буде абітурієнт на прізвище З. вчитися і лінгвістиці, і комерції відразу й отримувати два дипломи. Тут треба знайти ймовірність того, що З. зможе надійти хоча б на одну із двох даних спеціальностей – тобто набере необхідну кількість балів.

Для того, щоб вступити хоча б на одну з двох спеціальностей, З. повинен набрати не менше 70 балів з математики. І з російської. І ще – суспільствознавство чи іноземний.

Імовірність набрати 70 балів з математики йому дорівнює 0,6.

Імовірність набрати бали з математики та російської дорівнює.

Розберемося з іноземним та суспільствознавством. Нам підходять варіанти, коли абітурієнт набрав бали зі суспільствознавства, іноземного або обох. Не підходить варіант, коли ні з мови, ні з «суспільства» він не набрав балів. Значить, ймовірність здати суспільствознавство чи іноземну не нижче ніж на 70 балів дорівнює. В результаті ймовірність здати математику, російську та суспільствознавство або іноземну дорівнює

Це відповідь.

II . Вирішення комбінаторних завдань

1. Число поєднань та факторіали

Давайте коротко розберемо теоретичний матеріал.

Виразn ! читається як «ен-факторіал» і позначає добуток усіх натуральних чисел від 1 доn включно:n ! = 1 · 2 · 3 · ... ·n .

Крім того, у математиці за визначенням вважають, що 0! = 1. Таке вираження буває рідко, проте зустрічається у завданнях з теорії ймовірностей.

Визначення

Нехай є об'єктів (олівців, цукерок, чого завгодно), у тому числі потрібно вибрати рівно різних об'єктів. Тоді кількість варіантів такого вибору називаєтьсячислом поєднань з елементів. Це число позначається та вважається за спеціальною формулою.

Позначення

Що нам дає ця формула? Насправді, без неї не вирішується практично жодне серйозне завдання.

Для кращого розуміння розберемо кілька найпростіших комбінаторних завдань:

Завдання

Бармен має 6 сортів зеленого чаю. Для проведення чайної церемонії потрібно подати зелений чай рівно 3 різних сортів. Скільки способів бармен може виконати замовлення?

Рішення

Тут все просто: єn = 6 сортів, з яких треба вибратиk = 3 сорти. Число поєднань можна знайти за формулою:

Відповідь

Підставляємо у формулу. Ми всі завдання вирішити не можемо, але типові завдання ми виписали, вони представлені вашій увазі.

Завдання

У групі з 20 студентів треба обрати двох представників для виступу на конференції. Скільки можна це зробити?

Рішення

Знову ж таки, всього у нас єn = 20 студентів, а вибрати требаk = 2 студенти. Знаходимо число поєднань:

Зверніть увагу: червоним кольором відмічені множники, що входять у різні факторіали. Ці множники можна безболісно скоротити і цим значно зменшити загальний обсяг обчислень.

Відповідь

190

Завдання

На склад завезли 17 серверів з різними дефектами, які коштують у 2 рази дешевше за нормальні сервери. Директор купив до школи 14 таких серверів, а заощаджені гроші у кількості 200 000 рублів направив на придбання іншого обладнання. Скільки способів директор може вибрати браковані сервери?

Рішення

У задачі досить багато зайвих даних, які можуть збити з пантелику. Найважливіші факти: всього єn = 17 серверів, а директору требаk = 14 серверів. Вважаємо число поєднань:

Червоним кольором знову позначені множники, які скорочуються. Разом вийшло 680 комбінацій. Загалом директору є з чого вибрати.

Відповідь

680

Це завдання примхлива, оскільки у цьому є зайві дані. Багатьох учнів вони збивають із правильного рішення. Усього серверів було 17, а директору необхідно вибрати 14. Підставляючи у формулу, отримуємо 680 комбінацій.

2. Закон множення

Визначення

Закон множення у комбінаториці: кількість поєднань (способів, комбінацій) у незалежних наборах множиться.

Іншими словами, нехай єA способів виконати одну дію таB способів виконати іншу дію. Шлях також ці події незалежні, тобто. ніяк не пов'язані між собою. Тоді можна знайти число способів виконати першу і другу дію за формулою:C = A · B .

Завдання

У Петі є 4 монети по 1 рублю та 2 монети по 10 рублів. Петя, не дивлячись, дістав із кишені 1 монету номіналом 1 рубль і ще 1 монету номіналом 10 рублів, щоб купити ручку за 11 рублів. Скільки способів він може вибрати ці монети?

Рішення

Отже, спочатку Петя дістаєk = 1 монету зn = 4 наявні монети номіналом 1 рубль. Число способів зробити це одноC 4 1 = ... = 4.

Потім Петя знову лізе до кишені і дістаєk = 1 монету зn = 2 наявних монет номіналом 10 рублів. Тут число поєднань рівнеC 2 1 = ... = 2.

Оскільки ці дії незалежні, загальна кількість варіантів дорівнюєC = 4 · 2 = 8.

Відповідь

Завдання

У кошику лежать 8 білих кульок та 12 чорних. Скількими способами можна дістати з цього кошика 2 білі кулі та 2 чорні?

Рішення

Всього у кошикуn = 8 білих куль, з яких треба вибратиk = 2 кулі. Це можна зробитиC 8 2 = ... = 28 у різний спосіб.

Крім того, в кошику єn = 12 чорних куль, з яких треба вибрати знову ж такиk = 2 кулі. Число способів зробити це одноC 12 2 = ... = 66.

Оскільки вибір білої кулі та вибір чорної – події незалежні, загальна кількість комбінацій вважається за законом множення:C = 28 · 66 = 1848. Як бачимо, варіантів може бути досить багато.

Відповідь

1848

Закон множення показує, скількома способами можна виконати складну дію, яка складається з двох і більш простих - за умови, що вони незалежні.

3. Закон складання

Якщо закон множення оперує «ізольованими» подіями, які залежать друг від друга, то законі складання все навпаки. Тут розглядаються взаємовиключні події, які ніколи не трапляються одночасно.

Наприклад, «Петя вийняв з кишені 1 монету» та «Петя не вийняв з кишені жодної монети» - це взаємовиключні події, оскільки вийняти одну монету і при цьому не вийняти жодної неможливо.

Аналогічно, події «Вибраний навмання куля – білий» та «Вибраний навмання куля – чорний» також є взаємовиключними.

Визначення

Закон складання у комбінаториці: якщо дві взаємовиключні дії можна виконатиA іB способами відповідно, ці події можна об'єднати. При цьому виникне нова подія, яку можна виконатиX = A + B методами.

Іншими словами, при об'єднанні взаємовиключних процесів (подій, варіантів) кількість їх комбінацій складається.

Можна сказати, що закон додавання - це логічне «АБО» у комбінаториці, коли нас влаштовує будь-який із взаємовиключних варіантів. І навпаки, закон множення – це логічне «І», за якого нас цікавить одночасне виконання і першої, і другої дії.

Завдання

У кошику лежать 9 чорних кульок та 7 червоних. Хлопчик дістає 2 кулі однакового кольору. Скільки способами він може це зробити?

Рішення

Якщо кулі однакового кольору, то варіантів небагато: обидва вони або чорні або червоні. Очевидно, що ці варіанти – взаємовиключні.

У першому випадку хлопчику належить вибиратиk = 2 чорні кулі зn = 9 наявних. Число способів зробити це одноC 9 2 = ... = 36.

Аналогічно, у другому випадку вибираємоk = 2 червоні кулі зn = 7 можливих. Число способів дорівнюєC 7 2 = ... = 21.

Залишилося знайти загальну кількість способів. Оскільки варіанти з чорними та червоними кулями – взаємовиключні, за законом складання маємо:X = 36 + 21 = 57.

Відповідь57

Завдання

У кіоску продаються 15 троянд і 18 тюльпанів. Учень 9-го класу хоче купити 3 квітки для своєї однокласниці, причому всі квіти мають бути однаковими. Скільки способами він може скласти такий букет?

Рішення

За умовою, всі квіти мають бути однаковими. Отже, купуватимемо або 3 троянди, або 3 тюльпани. В будь-якому випадку,k = 3.

У випадку з трояндами доведеться вибирати зn = 15 варіантів, тому число поєднань рівнеC 15 3 = ... = 455. Для тюльпанів жn = 18, а число поєднань -C 18 3 = ... = 816.

Оскільки троянди та тюльпани – це взаємовиключні варіанти, працюємо за законом додавання. Отримуємо загальну кількість варіантівX = 455 + 816 = 1271. Це і є відповідь.

Відповідь

1271

Додаткові умови та обмеження

Дуже часто в тексті завдання присутні додаткові умови, що накладають суттєві обмеження на поєднання, що цікавлять нас. Порівняйте дві пропозиції:

Є набір із 5 ручок різних кольорів. Скільки способами можна вибрати 3 ручки для обведення креслення?

Є набір із 5 ручок різних кольорів. Скільки способами можна вибрати 3 ручки для обведення креслення, якщо серед них обов'язково має бути червоний колір?

У першому випадку ми маємо право брати будь-які кольори, які нам подобаються – додаткових обмежень немає. У другому випадку все складніше, оскільки ми повинні вибрати ручку червоного кольору (передбачається, що вона є у вихідному наборі).

Вочевидь, будь-які обмеження різко скорочують підсумкова кількість варіантів. Ну і як у цьому випадку знайти кількість поєднань? Просто запам'ятайте наступне правило:

Нехай є набір зn елементів, серед яких треба вибратиk елементів. При введенні додаткових обмежень числаn іk зменшуються на однакову величину.

Іншими словами, якщо з 5 ручок треба вибрати 3, при цьому одна з них має бути червоною, то вибирати доведеться зn = 5 − 1 = 4 елементів заk = 3 − 1 = 2 елементи. Таким чином, замістьC 5 3 треба рахуватиC 4 2 .

Тепер подивимося, як це правило працює на конкретних прикладах:

Завдання

У групі з 20 студентів, серед яких 2 відмінники, треба обрати 4 особи для участі у конференції. Скільки способів можна вибрати цих чотирьох, якщо відмінники обов'язково мають потрапити на конференцію?

Рішення

Отже, є група зn = 20 студентів. Але вибрати треба лишеk = 4 їх. Якби не було додаткових обмежень, то кількість варіантів дорівнювала числу поєднаньC 20 4 .

Однак нам поставили додаткову умову: 2 відмінники мають бути серед цих чотирьох. Таким чином, згідно з наведеним вище правилом, ми зменшуємо числаn іk на 2. Маємо:

Відповідь

153

Завдання

У Петі у кишені є 8 монет, з яких 6 монет за рублем та 2 монети по 10 рублів. Петя перекладає якісь три монети в іншу кишеню. Скільки способами Петя може це зробити, якщо відомо, що обидві монети по 10 рублів опинилися в іншій кишені?

Рішення

Отже, єn = 8 монет. Петя перекладаєk = 3 монети, у тому числі 2 - десятирублеві. Виходить, що з 3 монет, які будуть перекладені, 2 вже зафіксовані, тож числаn іk треба зменшити на 2. Маємо:

Відповідь

III . Вирішення комбінованих задач на застосування формул комбінаторики та теорії ймовірностей

Завдання

У кишені у Петі було 4 монети за рублем та 2 монети по 2 рублі. Петя, не дивлячись, переклав якісь три монети в іншу кишеню. Знайдіть ймовірність того, що обидві дворублеві монети лежать в одній кишені.

Рішення

Припустимо, що обидві дворублеві монети справді опинилися в одній кишені, тоді можливі два варіанти: або Петя їх взагалі не перекладав, або переклав відразу обидві.

У першому випадку, коли дворублеві монети не перекладалися, доведеться перекласти 3 монети рублем. Оскільки всього таких монет 4, число способів це зробити дорівнює кількості поєднань з 4 по 3:C 4 3 .

У другому випадку, коли обидві дворублеві монети були перекладені, доведеться перекласти ще одну карбованцеву монету. Її треба вибрати з 4 існуючих, і число способів так вчинити дорівнює кількості поєднань з 4 по 1:C 4 1 .

Тепер знайдемо загальну кількість способів перекласти монети. Оскільки всього монет 4 + 2 = 6, а вибрати треба лише 3 їх, загальна кількість варіантів дорівнює числу поєднань з 6 по 3:C 6 3 .

Залишилося знайти ймовірність:

Відповідь

0,4

Показати на інтерактивній дошці. Приділити увагу, що за умовою завдання Петя, не дивлячись, переклав три монети в одну кишеню. Ми, відповідаючи на це питання, можемо припустити, що дві дворублеві монети справді залишилися в одній кишені. Послатись на формулу складання ймовірностей. Показати ще раз формулу.

Завдання

У кишені Петі було 2 монети по 5 рублів і 4 монети по 10 рублів. Петя, не дивлячись, переклав якісь 3 монети в іншу кишеню. Знайдіть ймовірність того, що п'ятирублеві монети лежать у різних кишенях.

Рішення

Щоб п'ятирублеві монети лежали в різних кишенях, треба перекласти лише одну. Кількість способів це зробити дорівнює кількості поєднань з 2 по 1:C 2 1 .

Оскільки Петя переклав 3 монети, доведеться перекласти ще 2 монети по 10 рублів. Таких монет у Петі 4, тому кількість способів дорівнює кількості поєднань з 4 по 2:C 4 2 .

Залишилося знайти, скільки всього є варіантів перекласти 3 монети з 6 наявних. Ця кількість, як і в попередній задачі, дорівнює кількості поєднань з 6 по 3:C 6 3 .

Знаходимо ймовірність:

В останньому кроці ми множили число способів вибрати дворублеві монети та число способів вибрати десятирублеві, оскільки дані події незалежні.

Відповідь

0,6

Отже, завдання з монетами є власна формула ймовірності. Вона настільки проста і важлива, що її можна оформити у вигляді теореми.

Теорема

Нехай монету кидаютьn разів. Тоді ймовірність того, що орел випаде рівноk раз, можна знайти за формулою:

ДеC n k - Число поєднань зn елементів поk , Яке вважається за формулою:

Отже, на вирішення завдання з монетами потрібні два числа: число кидків і число орлів. Найчастіше ці числа дано у тексті завдання. Понад те, немає значення, що саме вважати: решки чи орли. Відповідь вийде та сама.

На перший погляд, теорема здається надто громіздкою. Але варто трохи потренуватися - і вам не захочеться повертатися до стандартного алгоритму, описаному вище.

Монету кидають чотири рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно тричі.

Рішення

За умовою завдання, всього кидків булоn = 4. Необхідне число орлів:k = 3. Підставляємоn іk у формулу:

З тим самим успіхом можна вважати число решек:k = 4 − 3 = 1. Відповідь буде такою ж.

Відповідь

0,25

Завдання [Робочий зошит «ЄДІ 2012 з математики. Завдання B6»]

Монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що решка не випаде жодного разу.

Рішення

Знову виписуємо числаn іk . Оскільки монету кидають 3 рази,n = 3. А оскільки решек бути не повинно,k = 0. Залишилося підставити числаn іk у формулу:

Нагадаю, що 0! = 1 за визначенням. ТомуC 3 0 = 1.

Відповідь

0,125

Задача [Пробний ЄДІ з математики 2012. Іркутськ]

У довільному експерименті симетричну монету кидають 4 рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде більше, ніж решка.

Рішення

Щоб орлів було більше, ніж решік, вони повинні випасти або 3 рази (тоді рішок буде 1), або 4 (тоді рішок взагалі не буде). Знайдемо ймовірність кожної з цих подій.

Нехайp 1 - Імовірність того, що орел випаде 3 рази. Тодіn = 4, k = 3. Маємо:

Тепер знайдемоp 2 - ймовірність того, що орел випаде усі 4 рази. В цьому випадкуn = 4, k = 4. Маємо:

Щоб отримати відповідь, залишилося скласти ймовірністьp 1 іp 2 . Пам'ятайте: складати ймовірності можна лише для взаємовиключних подій. Маємо:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Відповідь

0,3125

З метою економії вашого часу під час підготовки з хлопцями до ЄДІ та ДПА, ми представили рішення ще багатьох завдань, які ви можете обирати та вирішувати з хлопцями.

Матеріали ДІА, ЄДІ різних років, підручники та сайти.

IV. Довідковий матеріал

Ми почнемо з простих завдань та основних понять теорії ймовірностей.
Випадковимназивається подія, яку не можна точно передбачити заздалегідь. Воно може або статися, або ні.
Ви виграли у лотерею – випадкова подія. Запросили друзів відсвяткувати виграш, а вони дорогою до вас застрягли у ліфті – теж випадкова подія. Щоправда, майстер опинився поблизу і звільнив усю компанію за десять хвилин - і це теж можна вважати щасливою випадковістю.

Наше життя сповнене випадкових подій. Про кожного з них можна сказати, що воно станеться з деякою ймовірністю. Швидше за все, ви інтуїтивно знайомі із цим поняттям. Тепер ми дамо математичне визначення ймовірності.

Почнемо з найпростішого прикладу. Ви кидаєте монету. Орел чи решка?

Таку дію, яка може призвести до одного з кількох результатів, теоретично ймовірностей називають випробуванням.

Орел і решка - два можливі результатувипробування.

Орел випаде в одному випадку із двох можливих. Кажуть що ймовірністьте, що монета впаде орлом, дорівнює .

Кинемо гральну кістку. У кубика шість граней, тому можливих результатів також шість.

Наприклад, ви загадали, що випаде три очки. Це один вихід із шести можливих. Теоретично ймовірностей він називатиметься сприятливим результатом.

Імовірність випадання трійки дорівнює (один сприятливий результат із шести можливих).

Імовірність четвірки - теж

А ось ймовірність появи сімки дорівнює нулю. Адже грані із сімома точками на кубику немає.

Імовірність події дорівнює відношенню числа сприятливих наслідків до загального числа наслідків.

Вочевидь, що ймовірність може бути більше одиниці.

Ось інший приклад. У пакеті яблук, їх - червоні, інші - зелені. Ні формою, ні розміром яблука не відрізняються. Ви запускаєте в пакет руку і навмання виймаєте яблуко. Імовірність витягнути червоне яблуко дорівнює, а зелене.

Імовірність дістати червоне або зелене яблуко дорівнює.

Визначення ймовірності. Прості завдання із варіантів ЄДІ.

Розберемо завдання з теорії ймовірностей, що входять до збірників для підготовки до ЄДІ.

У фірмі таксі зараз вільно машин: червоних, жовтих і зелених. За викликом виїхала одна з машин, що випадково опинилися найближче до замовниці. Знайдіть можливість того, що до неї приїде жовте таксі.

Усього є машин, тобто до замовниці приїде одна із п'ятнадцяти. Жовтих – дев'ять, і отже, ймовірність приїзду саме жовтої машини дорівнює, тобто.

У збірнику квитків з біології всього квитків, у двох із них зустрічається питання про гриби. На іспиті школяреві дістається один випадково вибраний квиток. Знайдіть ймовірність того, що в цьому квитку не буде питання грибів.

Очевидно, ймовірність витягти квиток без питання про гриби дорівнює, тобто.

Батьківський комітет закупив пазлів для подарунків дітям на закінчення навчального року, з них із картинами відомих художників та із зображеннями тварин. Подарунки розподіляються випадково. Знайдіть ймовірність того, що Вовочку дістанеться пазл з твариною.

Завдання вирішується аналогічно.

Відповідь: .

У чемпіонаті з гімнастики беруть участь спортсменок: із Росії, зі США, решта – з Китаю. Порядок, у якому виступають гімнастки, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсменка, яка виступає останньою, виявиться з Китаю.

Уявімо, що всі спортсменки одночасно підійшли до капелюха і витягли з нього папірці з номерами. Комусь із них дістанеться двадцятий номер. Імовірність того, що його витягне китайська спортсменка, дорівнює (оскільки з Китаю – спортсменок). Відповідь: .

Учня попросили назвати число від до. Якою є ймовірність того, що він назве число кратне п'яти?

Кожне п'ятечисло з цієї множини ділиться на . Отже, ймовірність дорівнює.

Кинута гральна кістка. Знайдіть ймовірність того, що випаде непарне число очок.

Непарні числа; - парні. Імовірність непарного числа очок дорівнює.

Відповідь: .

Монета кинута тричі. Яка ймовірність двох «орлів» та однієї «решки»?

Зауважимо, що завдання можна сформулювати інакше: кинули три монети одночасно. На рішення це не вплине.

Як ви вважаєте, скільки тут можливих результатів?

Кидаємо монету. У цієї дії два можливі результати: орел і решка

Дві монети - вже чотири результати:

Три монети? Правильно, результатів, оскільки .

Два орли і одна решка випадають у трьох випадках із восьми.

Відповідь: .

У випадковому експерименті кидають дві гральні кістки. Знайдіть ймовірність того, що у сумі випаде очок. Результат округліть до сотих.

Кидаємо першу кістку – шість результатів. І для кожного з них можливі ще шість – коли ми кидаємо другу кістку.

Отримуємо, що з цієї дії - кидання двох гральних кісток - всього можливих результатів, оскільки .

А тепер – сприятливі результати:

Імовірність випадання восьми очок дорівнює.

Стрілець потрапляє в ціль із ймовірністю. Знайдіть ймовірність того, що він потрапить у ціль чотири рази пострілу поспіль.

Якщо ймовірність попадання дорівнює - отже, ймовірність промаху. Міркуємо так само, як і в попередньому завданні. Імовірність двох попадання поспіль дорівнює. А ймовірність чотирьох попадань поспіль дорівнює.

Імовірність: логіка перебору.

У кишені Петі мав монети по рублів і монети по рублів. Петя, не дивлячись, переклав якісь монети в іншу кишеню. Знайдіть ймовірність того, що п'ятирублеві монети лежать у різних кишенях.

Ми знаємо, що можливість події дорівнює відношенню числа сприятливих результатів до загального числа результатів. Але як порахувати всі ці наслідки?

Можна, звичайно, позначити п'ятирублеві монети цифрами, а десятирублеві цифрами - а потім порахувати, скільки можна вибрати три елементи з набору.

Однак є просте рішення:

Кодуємо монети числами: , (це п'ятирублеві), (це десятирублеві). Умову завдання тепер можна сформулювати так:

Є шість фішок з номерами від до. Скільки способами можна розкласти їх по двох кишенях порівну, щоб фішки з номерами і не виявилися разом?

Давайте запишемо, що у нас у першій кишені.

Для цього складемо всі можливі комбінації з набору. Набір із трьох фішок буде тризначним числом. Очевидно, що в наших умовах і це один і той же набір фішок. Щоб нічого не пропустити і не повторитися, маємо відповідні тризначні числа за зростанням:

Усе! Ми перебрали всі можливі комбінації, що розпочинаються на . Продовжуємо:

Усього можливих результатів.

У нас є умова – фішки з номерами і не повинні опинитися разом. Це означає, наприклад, що комбінація нам не підходить - вона означає, що фішки і обидві опинилися в першій, а в другій кишені. Сприятливі нам результати - такі, де є або тільки , або тільки . Ось вони:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 - всього сприятливих результатів.

Тоді шукана ймовірність дорівнює.

Сума подій, добуток подій та їх комбінації

Імовірність того, що новий електричний чайник прослужить понад рік, дорівнює 0,93. Імовірність того, що він прослужить понад два роки, дорівнює 0,87. Знайдіть ймовірність того, що він прослужить менше двох років, але більше року.

Пропрацювавши рік, чайник може зламатися на другий рік, або благополучно служити і після 2 років роботи.
Нехай – ймовірність того, що чайник прослужив понад рік.

- Імовірність того, що він зламається на другий рік, - Імовірність того, що він прослужить більше двох років. Очевидно,

Відповідь: 0,06

Події, що взаємовиключають одна одну в рамках даного завдання, називаються несумісними. Поява однієї з несумісних подій унеможливлює появу інших.

Сума двох подій – термін, що означає, що сталася або перша подія, або друга, або обидва.

Імовірність суми несумісних подій дорівнює сумі їх ймовірностей.
У нашому завданні події «чайник зламався на другий рік роботи» та «чайник працює більше двох років» – несумісні. Чайник або зламався, або залишається у робочому стані.

На малюнку зображено лабіринт. Павук заповзає до лабіринту у точці «Вхід». Розвернутися та повзти назад павук не може. На кожному розгалуженні павук вибирає шлях, яким ще не повз. Вважаючи вибір подальшого шляху випадковим, визначте, з якою ймовірністю павук вийде через вихід А.

Пронумеруємо розвилки, на яких павук може випадково згорнути в той чи інший бік.

Він може або вийти у вихід D, і можливість цієї події дорівнює Або піти далі в лабіринт. На другому роздоріжжі він може або згорнути в глухий кут, або вийти у вихід В (з ймовірністю На кожному роздоріжжі ймовірність згорнути в той чи інший бік дорівнює а оскільки розвилок п'ять, ймовірність вибратися через вихід А дорівнює тобто 0,03125.

Події А та В називають незалежними, якщо ймовірність появи події А не змінює ймовірності появи події В.

У нашому завданні так і є: нерозумний павук повертає ліворуч або праворуч випадковим чином, незалежно від того, що він робив до цього.

Для кількох незалежних подій ймовірність того, що вони відбудуться, дорівнює добутку ймовірностей.

(А)Дві вантажівки, працюючи спільно, вивозять сніг з вулиці Нижня Підгірна, причому перша вантажівка повинна зробити три рейси з вантажем снігу, а друга - дві. Імовірність застрягти з вантажем снігу при підйомі в гірку дорівнює 0,2 для першої вантажівки і 0,25 - для другої. З якою ймовірністю вантажівки вивезуть сніг із вулиці Нижня Підгірна, жодного разу не застрягши на гірці?

Оскільки перша вантажівка повинна зробити 3 рейси, а друга – два, вантажівки жодного разу не застрянуть на гірці з ймовірністю

Агрофірма закуповує курячі яйця у двох домашніх господарствах. 40% яєць з першого господарства – яйця вищої категорії, а з другого господарства – 20% яєць вищої категорії. Загалом вищу категорію отримує 35% яєць. Знайдіть ймовірність того, що яйце, куплене у цієї агрофірми, виявиться з першого господарства.

Намалюємо всі можливі наслідки ситуації. Покупець прийшов у магазин, який належить агрофірмі, та купив яйце. Потрібно знайти ймовірність того, що це яйце з першого господарства.

Яйця можуть бути тільки з першого домашнього господарства, або з другого, причому ці дві події несумісні. Інших яєць у цей магазин не надходить.

Нехай ймовірність того, що куплене яйце з першого господарства дорівнює . Тоді ймовірність того, що яйце з другого господарства (протилежної події) дорівнює .

Яйця можуть бути найвищою категорії і не найвищою.
У першому господарстві 40% яєць мають найвищу категорію, а 60% - не найвищу. Це означає, що випадково обране яйце з першого господарства з ймовірністю 40% буде найвищою категорією.

У другому господарстві 20% яєць найвищої категорії, а 80% - не найвищої.

Нехай випадково обране в магазині яйце - з першого господарства та найвищої категорії. Імовірність цієї події дорівнює твору ймовірностей:

Імовірність того, що яйце з другого господарства та вищої категорії, дорівнює

Якщо ми складемо ці дві ймовірності, ми матимемо ймовірність того, що яйце має найвищу категорію. За умовою, найвищу категорію мають 35% яєць, отже, ця можливість дорівнює 0,35.

Ми отримали рівняння:

Вирішуємо це рівняння і знаходимо, що ймовірність того, що яйце, куплене у цієї агрофірми, виявилося з першого господарства.

Усім пацієнтам із підозрою на гепатит роблять аналіз крові. Якщо аналіз виявляє гепатит, результат аналізу називається позитивним. У хворих на гепатит пацієнтів аналіз дає позитивний результат з ймовірністю 0,9. Якщо пацієнт не хворий на гепатит, то аналіз може дати помилковий позитивний результат з ймовірністю 0,01. Відомо, що 5% пацієнтів, які надходять із підозрою на гепатит, дійсно хворі на гепатит. Знайдіть ймовірність того, що результат аналізу у пацієнта, який надійшов до клініки з підозрою на гепатит, буде позитивним.

З чим прийшов пацієнт до клініки? – З підозрою на гепатит. Можливо, він справді хворий на гепатит, а можливо, у його поганого самопочуття інша причина. Може, він просто з'їв щось. Імовірність того, що він хворий на гепатит, дорівнює 0,05 (тобто 5%). Імовірність того, що він здоровий, дорівнює 0,95 (тобто 95%).

Пацієнту роблять аналіз. Покажемо на схемі всі можливі результати:

Якщо він хворий на гепатит, аналіз дає позитивний результат з ймовірністю 0,9. Тобто, аналіз покаже: «є гепатит».
Зауважимо, що аналіз не завжди виявляє гепатит у того, хто дійсно ним хворий. Із ймовірністю 0,1 аналіз не розпізнає гепатит у хворого.

Більш того. Аналіз може помилково дати позитивний результат у того, хто не хворіє на гепатит. Імовірність такого хибного позитивного результату 0,01. Тоді з ймовірністю 0,99 аналіз дасть негативний результат, якщо людина здорова.

Знайдемо ймовірність того, що результат аналізу у пацієнта, який надійшов до клініки з підозрою на гепатит, буде позитивним.

Сприятливі для цієї ситуації результати: людина хвора, і аналіз позитивний (імовірність одночасного наступу цих двох подій дорівнює), або людина здорова, і аналіз помилковий позитивний (ймовірність одночасного наступу цих двох подій дорівнює). Оскільки події «людина хвора» і «людина не хвора» несумісні, то ймовірність того, що результат аналізу буде позитивним, дорівнює

Відповідь: 0,0545.

Аби вступити до інституту на спеціальність «Лінгвістика», абітурієнт З. повинен набрати на ЄДІ не менше 70 балів за кожним із трьох предметів – математика, російська мова та іноземна мова. Щоб вступити на спеціальність «Комерція», потрібно набрати не менше 70 балів по кожному з трьох предметів – математика, російська мова та суспільствознавство.

Імовірність того, що абітурієнт З. отримає не менше 70 балів з математики, дорівнює 0,6, з російської мови – 0,8, з іноземної мови – 0,7 та за суспільствознавством – 0,5.
Знайдіть ймовірність того, що З. зможе надійти хоча б на одну із двох згаданих спеціальностей.

Зауважимо, що завдання не питається, чи буде абітурієнт на прізвище З. вчитися і лінгвістиці, і комерції відразу й отримувати два дипломи. Тут треба знайти ймовірність того, що З. зможе надійти хоча б на одну із двох даних спеціальностей – тобто набере необхідну кількість балів.
Для того, щоб вступити хоча б на одну з двох спеціальностей, З. повинен набрати не менше 70 балів з математики. І з російської. І ще – суспільствознавство чи іноземний.
Імовірність набрати 70 балів з математики йому дорівнює 0,6.
Імовірність набрати бали з математики та російської дорівнює

Розберемося з іноземним та суспільствознавством. Нам підходять варіанти, коли абітурієнт набрав бали зі суспільствознавства, іноземного або обох. Не підходить варіант, коли ні з мови, ні з «суспільства» він не набрав балів. Отже, ймовірність здати суспільствознавство чи іноземну не нижче ніж на 70 балів дорівнює

В результаті ймовірність здати математику, російську та суспільствознавство або іноземну дорівнює це відповідь.

Щоб повністю опанувати тему, дивіться . Це безкоштовно.

Ще завдання ЄДІ на тему

На заводі керамічної плитки 5% вироблених плиток мають дефект. При контролі якості продукції можна знайти лише 40% дефектних плиток. Інші плитки вирушають на продаж. Знайдіть ймовірність того, що обрана випадковим чином при покупці плитка не матиме дефектів. Відповідь округліть до сотих.

Рішення

При контролі якості продукції виявляється 40% дефектних плиток, які становлять 5% вироблених плиток, і вони не надходять у продаж. Отже, не надходить у продаж 0,4 · 5% = 2% від вироблених плиток. Решта вироблених плиток - 100% - 2% = 98% надходить у продаж.

Не має дефектів 100% - 95% вироблених плиток. Імовірність того, що куплена плитка не має дефекту, дорівнює 95%: 98% = \frac(95)(98)\approx 0,97

Відповідь

Умова

Імовірність того, що акумулятор не заряджений, дорівнює 0,15. Покупець у магазині купує випадкову упаковку, яка містить два такі акумулятори. Знайдіть ймовірність того, що обидва акумулятори в цій упаковці будуть заряджені.

Рішення

Імовірність того, що акумулятор заряджений дорівнює 1-0,15 = 0,85. Знайдемо ймовірність події «обидва акумулятори заряджені». Позначимо через A та B події «перший акумулятор заряджений» та «другий акумулятор заряджений». Отримали P(A) = P(B) = 0,85. Подія "обидва акумулятори заряджені" - це перетин подій A \cap B, його ймовірність дорівнює P(A \cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85 \ cdot 0,85 = 0,7225.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

Імовірність того, що нова пральна машина протягом року надійде у гарантійний ремонт, дорівнює 0,065. У деякому місті протягом року було продано 1200 пральних машин, з яких 72 штук було передано до гарантійної майстерні. Визначте, наскільки відрізняється відносна частота настання «гарантійного ремонту» від його ймовірності в цьому місті?

Рішення

Частота події «пральна машина протягом року надійде у гарантійний ремонт» дорівнює \frac(72)(1200) = 0,06.Від ймовірності вона відрізняється від 0,065-0,06=0,005.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

Імовірність того, що ручка бракована, дорівнює 0,05. Покупець у магазині набуває випадкової упаковки, яка містить дві ручки. Знайдіть ймовірність того, що обидві ручки в цій упаковці виявляться справними.

Рішення

Імовірність того, що ручка справна, дорівнює 1-0,05 = 0,95. Знайдемо ймовірність події «обидві справні ручки». Позначимо через A та B події «перша ручка справна» та «друга ручка справна». Отримали P(A) = P(B) = 0,95. Подія "обидві ручки справні" - це перетин подій A\cap B, його ймовірність дорівнює P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95 \ cdot 0,95 = 0,9025.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

На малюнку зображено лабіринт. Жук заповзає до лабіринту у точці «Вхід». Розвернутися і повзти у зворотному напрямку жук не може, тому на кожному роздоріжжі він обирає один із шляхів, в якому ще не був. З якою ймовірністю жук прийде до виходу Д, якщо вибір подальшого шляху випадковим.

Рішення

Розставимо на перехрестях стрілки у напрямках, якими може рухатися жук (див. рис.).

Виберемо на кожному з перехресть один напрямок з двох можливих і вважатимемо, що при попаданні на перехрестя жук рухатиметься за обраним нами напрямком.

Щоб жук досягнув виходу Д, потрібно, щоб на кожному перехресті було обрано напрямок, позначений суцільною червоною лінією. Усього вибір напрямку робиться 4 рази, щоразу незалежно від попереднього вибору. Імовірність того, що кожного разу вибрано суцільну червону стрілку, дорівнює \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Відповідь

Джерело: «Математика. Підготовка до ЄДІ-2017. Профільний рівень». За ред. Ф. Ф. Лисенка, С. Ю. Кулабухова.

Умова

У секції 16 спортсменок, серед них дві подруги – Оля та Маша. Спортсменок випадково розподіляють по 4 рівним групам. Знайдіть ймовірність того, що Оля та Маша потраплять до однієї групи.