ЄДІ з математики (базовий). ЄДІ з Математики (базовий) Підготовка до еге завдання 18 профільний

Двадцять п'ять випускників одного з одинадцятих класів школи №4 міста N складали профільний рівеньЄДІ з математики. Найнижчий бал, отриманий рівно двома з цих випускників – 18, а найвищий – 82. Поріг дорівнює 27 балам. Виберіть твердження, які випливають із цієї інформації.

1) Серед цих випускників є хоча б один, який одержав 82 бали за ЄДІ з математики.
2) Серед цих випускників є рівно двоє, які не набрали пороговий бал.
3) Серед цих випускників є хоча б дві особи з рівними балами за ЄДІ з математики.
4) Бали за ЄДІ з математики будь-якого з цих випускників не вище 82.

У 1312 року у місті Блавікен вартість обереги від темних сил підвищилася на 12% проти 1311 роком, а 1314 року - на 38% проти 1312 роком. Які з наведених тверджень випливають із цих даних?

1) В 1315 ціна на обереги від темних сил зросте, але несильно в порівнянні з 1314 роком.
2) За три роки ціна зросла у півтора рази порівняно з 1311 роком.
3) У місті багато темних сил.
4) Жодне із запропонованих.

У відповіді вкажіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

У паблику Міфологія стародавніх киргизів 36 передплатників, із них 25 знають англійська мова, 14 – німецька мова і лише четверо – французька. Виберіть твердження, які випливають із наведених даних.

У паблику:
1) немає жодної людини, яка знає всі три зазначені мови
2) хоча б двоє передплатників знають і англійську, і німецьку мови
3) кожен передплатник знає хоча б одну іноземну мову
4) хоча б один передплатник знає і німецьку, і французьку мови

У відповіді вкажіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

Серед чотирьох найвищих хлопчиків у класі Петя вищий за Сашка, Мишко вищий за Андрія, Андрій нижчий за Петю, а Саша товщі за Андрія. Виберіть твердження, які випливають із наведених даних.

1) Петя найвищий у класі.
2) Андрій найнижчий з цих чотирьох хлопчиків.
3) Андрій не найвищий у класі.
4) Якщо скласти зростання Петі та Сашка, то результат буде більшим, ніж сума ростів Миші та Андрія.

У відповіді вкажіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

Випускник Баранкін здавав ЄДІ з чотирьох предметів. Найнижчий результат він показав з математики - 33 бали (за іншими іспитами бали вищі). Середній бал Баранкіна за чотирма зданими ЄДІ дорівнює 45 балів. Виберіть твердження, які випливають із наведених даних.

1) Середній бал з трьох іспитів, крім математики, дорівнює 49.
2) Усі предмети, крім математики, Баранкін здав на 45 балів чи краще.
3) Жоден з цих чотирьох Баранкін не отримав навіть 80 балів.
4) З якогось предмета Баранкін отримав понад 48 балів.

У відповіді вкажіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

У квартирі Антоніни Петрівни проживає 14 кішок. Вік кожної кішки більше за рік, але менше 17 років. Виберіть твердження, які випливають з цієї інформації.

1) 7 кішок у цій квартирі молодше 9 років.
2) У цій квартирі є кішка, вік якої більше 11 років.
3) Найстаріша кішка в цій квартирі старша за наймолодшу менш ніж на 22 роки.
4) У цій квартирі немає 6-місячних кошенят.

У відповіді вкажіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

На зимовій олімпіаді у Сочі збірна Зімбабве завоювала менше медалей, ніж збірна Казахстану, збірна Камеруну – менше, ніж збірна Данії, а збірна Росії – більше, ніж збірні всіх зазначених чотирьох країн разом. Виберіть твердження, які є вірними за вказаних умов.

1) Збірна Росії завоювала вп'ятеро більше медалей, ніж збірні Камеруну та Зімбабве разом.
2) Збірна Данії завоювала більше медалей, ніж збірна Казахстану.
3) Збірні Камеруну та Зімбабве завоювали однакову кількість медалей.
4) Збірна Росії завоювала більше медалей, ніж кожна з решти чотирьох збірних.

У відповіді вкажіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

Коли Іван Валерійович ловить рибу, він обов'язково переводить свій телефон на беззвучний режим. Виберіть твердження, які є правильними за наведеною умовою.

1) Якщо телефон Івана Валерійовича на беззвучному режимі, то він ловить рибу.
2) Якщо Іван Валерійович перебуває на рибалці, то його телефон на беззвучному режимі.
3) Якщо телефон Івана Валерійовича не на беззвучному режимі, то він не ловить рибу.
4) Якщо телефон Івана Валерійовича не на беззвучному режимі, то його дружина не відпустила його на рибалку.

У відповіді вкажіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

Серед мешканців будинку №23 є ті, хто працює, та є ті, хто навчається. А також є ті, хто не працює та не вчиться. Деякі мешканці будинку №23, які навчаються, ще працюють. Виберіть твердження, які є вірними за вказаних умов.

1) Хоча б один із працюючих мешканців будинку №23 навчається.
2) Усі мешканці будинку №23 працюють.
3) Серед мешканців будинку №23 немає тих, хто не працює та не навчається.
4) Хоча б один із мешканців будинку №23 працює.

Перед волейбольним турніром виміряли зростання гравців волейбольної команди міста N. Виявилося, що зростання кожного з волейболістів цієї команди більше 190 см і менше 210 см. Виберіть твердження, які правильні за вказаних умов.

1) У волейбольній команді міста N обов'язково є гравець, зростання якого дорівнює 220 см.
2) У волейбольній команді міста N немає гравців зі зростанням 189 см.
3) Зростання будь-якого волейболіста цієї команди менше 210 см.
4) Різниця у зростанні будь-яких двох гравців волейбольної команди міста N становить понад 20 см.

У відповіді запишіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

Деякі співробітники фірми влітку 2014 відпочивали на дачі, а деякі - на морі. Усі співробітники, які не відпочивали на морі, відпочивали на дачі. Виберіть твердження, які є вірними за вказаних умов.

1) Кожен співробітник цієї фірми відпочивав влітку 2014 або на дачі, або на морі, або там, і там.
2) Співробітник цієї фірми, який влітку 2014 не відпочивав на морі, не відпочивав і на дачі.
3) Якщо Фаїна не відпочивала влітку 2014 року ні на дачі, ні на морі, вона є співробітником цієї фірми.
4) Якщо співробітник цієї фірми не відпочивав на морі влітку 2014 року, він відпочивав на дачі.
У відповіді запишіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

У країні "Доталандія" чоловіків більше, ніж жінок. Найбільш поширене чоловіче ім'я– Іван, жіноче – Марія. Виберіть твердження, які випливають із наведених даних.
У країні «Доталандія»:

1) жінок з ім'ям Марія більше, ніж з ім'ям Авдотья
2) чоловіків з ім'ям Євсикакій більше, ніж з ім'ям Євстафій
3) хоча б одна жінка має ім'я Марія
4) чоловіків з ім'ям Антон більше, ніж жінок з іменем Дульсінея

У відповіді вкажіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

Школа придбала стіл, дошку, магнітофон та принтер. Відомо, що принтер дорожчий за магнітофон, а дошка дешевша за магнітофон і дешевшу за стол. Виберіть твердження, які правильні за вказаних умов.

1) Магнітофон дешевший за дошку.
2) Принтер дорожчий за дошку.
3) Дошка – найдешевша з покупок.
4) Принтер та дошка стоять однаково.

У відповіді запишіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

У класі навчається 30 осіб, з них 20 осіб відвідують гурток з біології, а 16 – гурток з географії. Виберіть твердження, які правильні за вказаних умов.

1) Знайдуться хоча б двоє з цього класу, хто відвідує обидва гуртки.
2) Кожен учень з цього класу відвідує обидва гуртки.
3) Знайдуться 11 осіб, які не відвідують жодного гуртка.
4) Не знайдеться 17 осіб з цього класу, які відвідують обидва гуртки.

У відповіді запишіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

Господиня до свята купила торт, ананас, сік та м'ясну нарізку. Торт коштував дорожче ананаса, але дешевше м'ясної нарізки, сік коштував дешевше торта. Виберіть твердження, які правильні за вказаних умов.

1) Ананас коштував дешевше за м'ясну нарізку.
2) За сік заплатили більше ніж за м'ясну нарізку.
3) М'ясна нарізка – найдорожча з покупок.
4) Торт – найдешевша з покупок.

У відповіді запишіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

1) Стіл дешевший за ксерокс.
2) Стелаж дорожчий за ксерокс.

У відповіді запишіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

Вітя вище за Колі, але нижче за Машу. Аня не вище за Віті. Виберіть твердження, які правильні за вказаних умов.

1) Маша найвища із зазначених чотирьох осіб.

2) Аня та Маша одного зростання.

3) Вітя та Коля одного зросту.

4) Коля нижче за Машу.

У відповіді запишіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

Двадцять випускників одного з одинадцятих класів складали ЄДІ за суспільством. Найнижчий отриманий бал дорівнював 36, а найвищий - 75. Виберіть твердження, які вірні за вказаних умов.

1) Серед цих випускників є двадцять осіб із рівними балами за ЄДІ із суспільствознавства.
2) Серед цих випускників є людина, яка отримала 75 балів за ЄДІ
із суспільствознавства.
3) Бали за ЄДІ із суспільствознавства будь-якої з цих двадцяти осіб
не нижче 35.
4) Серед цих випускників є людина, яка отримала 20 балів за ЄДІ із суспільствознавства.

У відповіді запишіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

1)Кожен учень цього класу відвідує обидва гуртки.
2)Знайдуться хоча б двоє з цього класу, хто відвідує обидва гуртки.
3) Якщо учень з цього класу ходить на гурток з історії, він обов'язково ходить на гурток з математики.
4) Не знайдеться 11 осіб з цього класу, які відвідують обидва гуртки.

У відповіді запишіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

У зоомагазині в один із акваріумів запустили 30 рибок. Довжина кожної рибки більше 2 см, але не перевищує 8 см. Виберіть твердження, які є правильними за вказаних умов.

1) Сім рибок у цьому акваріумі коротше 2 див.
2) У цьому акваріумі немає рибки завдовжки 9 див.
3) Різниця у довжині будь-яких двох рибок не більше 6 см.
4) Довжина кожної рибки більше 8 див.

У відповіді запишіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

Фірма придбала стелаж, стіл, проектор та ксерокс. Відомо, що стелаж дорожчий за стол, а ксерокс дешевший за стол і дешевший за проектора. Виберіть твердження, які правильні за вказаних умов.

1) Стіл дешевший за ксерокс.
2) Стелаж дорожчий за ксерокс.
3) Ксерокс – найдешевша з покупок.
4) Стелаж та ксерокс стоять однаково.

Оля молодша за Алісу, але старшу за Іру. Олена не молодша за Іру. Виберіть твердження, які правильні за вказаних умов.

1) Аліса та Іра одного віку.
2)Среди зазначених чотирьох чоловік немає нікого молодше Іри.
3) Аліса старша за Іру.
4) Аліса та Оля одного віку.

Якщо спортсмен, який бере участь в Олімпійських іграх, встановив світовий рекорд, його результат є і олімпійським рекордом.

Виберіть твердження, які є правильними за наведеною умовою.

1) Якщо результат спортсмена, який бере участь в Олімпійських іграх, не є олімпійським рекордом, він не є і світовим рекордом.

2) Якщо результат спортсмена, який бере участь в Олімпійських іграх, не є олімпійським рекордом, він є світовим рекордом.

3) Якщо результат спортсмена, який бере участь в Олімпійських іграх, є світовим рекордом, він не є олімпійським рекордом.

4) Якщо спортсмен, який бере участь в Олімпійських іграх, встановив світовий рекорд у бігу на 100 м, його результат є і олімпійським рекордом.

У відповіді вкажіть номери вибраних тверджень без пробілів,
ком та інших додаткових символів.

Серед дачників у селищі є ті, хто вирощує виноград, та є ті, хто вирощує груші. Також є ті, хто не вирощує ні виноград, ні груші. Деякі дачники у цьому селищі, які вирощують виноград, також вирощують і груші. Виберіть твердження, які правильні за вказаних умов.

1) Якщо дачник із цього селища не вирощує виноград, то він вирощує груші.
2) Серед тих, хто вирощує виноград, є дачники із цього селища.
3) Є хоча б один дачник у цьому селищі, яке вирощує і груші, і виноград.
4) Якщо дачник у цьому селищі вирощує виноград, він не вирощує груші.

У відповіді запишіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

Серед тих, хто зареєстрований у ВКонтакті, є школярі з Твері. Серед школярів із Твері є ті, хто зареєстрований у «Однокласниках». Виберіть твердження, які правильні за вказаних умов.

1) Усі школярі з Твері не зареєстровані ні у ВКонтакті, ні в Однокласниках.
2) Серед школярів із Твері немає тих, хто зареєстрований у «ВКонтакті».
3) Серед школярів із Твері є ті, хто зареєстрований у «ВКонтакті».
4) Хоча б один із користувачів «Однокласників» є школярем із Твері.

У відповіді запишіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

У фірмі N працює 50 співробітників, їх 40 людей знають
англійська мова, а 20 – німецька. Виберіть твердження, які правильні за вказаних умов.
1) У фірмі N хоча б три співробітники знають і англійську, і німецьку мови.
2) У цій фірмі немає жодного співробітника, який знає і англійську, і німецьку мови.
3) Якщо співробітник цієї фірми знає англійську мову, він знає і німецьку.
4) Не більше 20 співробітників цієї фірми знають і англійську, і німецьку мови.
У відповіді запишіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

Коли учитель фізики Микола Дмитрович веде урок, він обов'язково відключає телефон. Виберіть твердження, які є правильними за наведеною умовою.
1.Якщо телефон Миколи Дмитровича увімкнено, він не веде урок.
2.Якщо телефон Миколи Дмитровича включений, то він веде урок.
3. Якщо Микола Дмитрович проводить на уроці лабораторну роботу з фізики, то його телефон вимкнено.
4. Якщо Микола Дмитрович веде урок фізики, значить, його телефон включений.

2) Якщо у будинку встановлені газові плити, то у цьому будинку менше 13 поверхів.
3) Якщо у будинку більше 17 поверхів, то в ньому встановлені газові плити.
4) Якщо в будинку встановлені газові плити, то в ньому трохи більше 12 поверхів.
У відповіді запишіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

1) У цій компанії знайдеться 10 осіб, які не користуються ні мережею однокласників, ні мережею ВКонтакте.

2) У цій компанії знайдеться хоча б 5 людей, які користуються обома мережами.

3) Не знайдеться жодної людини з цієї компанії, яка користується лише мережею Однокласники.

4) Не більше 10 осіб із цієї компанії користуються обома мережами.

У відповіді запишіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

2) Якщо телефон Івана Петровича увімкнено, значить, він веде урок.

3) Якщо Іван Петрович проводить контрольну роботу з математики, то його телефон вимкнено.

4) Якщо Іван Петрович веде урок математики, то його телефон включений.

У відповіді вкажіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

У класі навчається 20 осіб, з них 13 осіб відвідують гурток з історії, а 10 – гурток з математики. Виберіть твердження, які правильні за вказаних умов.

1) Кожен учень цього класу відвідує обидва гуртки.
2) Якщо учень з цього класу ходить на гурток з історії, він обов'язково ходить на гурток з математики.
3) Знайдуться хоча б двоє з цього класу, хто відвідує обидва гуртки.
4) Не знайдеться 11 осіб з цього класу, які відвідують обидва гуртки.
1) Вітя вищий за Сашка.
2) Сашко нижче за Ані.
3) Коля та Маша одного зростання.
4) Вітя найвищий із усіх.
У відповіді вкажіть номери вибраних тверджень без пробілів, ком та інших додаткових символів.

ЄДІ з математики профільний рівень

Робота складається із 19 завдань.
Частина 1:
8 завдань з короткою відповіддю базового рівня складності.
Частина 2:
4 завдання з короткою відповіддю
7 завдань з розгорнутою відповіддю високого рівня складності.

Час виконання – 3 години 55 хвилин.

Приклади завдань ЄДІ

Вирішення завдань ЄДІ з математики.

Для самостійного вирішення:

1 кіловат-годину електроенергії коштує 1 рубль 80 копійок.
Лічильник електроенергії 1 листопада показував 12625 кіловат-годин, а 1 грудня показував 12802 кіловат-години.
Яку суму слід заплатити за електроенергію за листопад?
Відповідь дайте у рублях.

Завдання із рішенням:

У правильній трикутній піраміді АВСS з основою АВС відомі ребра: АВ = 5 коренів із 3, SC = 13.
Знайти кут, утворений площиною основи та прямою, що проходить через середину ребер АS та ВС.

Рішення:

1. Оскільки SABC – правильна піраміда, то ABC – рівносторонній трикутник, а інші грані – рівні між собою рівнобедрені трикутники.
Тобто всі сторони основи дорівнюють 5 sqrt(3), а всі бічні ребра дорівнюють 13.

2. Нехай D – середина BC, E – середина AS, SH – висота, опущена з точки S до основи піраміди, EP – висота, опущена з точки E до основи піраміди.

3. Знайдемо AD із прямокутного трикутника CAD за теоремою Піфагора. Вийде 15/2 = 7.5.

4. Оскільки піраміда правильна, точка H - це точка перетину висот/медіан/бісектрис трикутника ABC, отже, ділить AD щодо 2:1 (AH = 2 AD).

5. Знайдемо SH із прямокутного трикутника ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, за теоремою Піфагора SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Трикутники AEP і ASH обидва прямокутні і мають загальний кут A, отже, подібні. За умовою, AE = AS/2, отже, і AP = AH/2, і EP = SH/2.

7. Залишилося розглянути прямокутний трикутник EDP (нас цікавить кут EDP).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Тангенс кута EDP = EP/DP = 6/5,
Кут EDP = arctg(6/5)

Відповідь:

В обмінному пункті 1 гривня коштує 3 рублі 70 копійок.
Відпочиваючі обміняли рублі на гривні та купили 3 кг помідорів за ціною 4 гривні за 1 кг.
Скільки рублів обійшлася їм ця покупка? Відповідь округліть до цілого числа.

Маша надіслала SMS-повідомлення із новорічними привітаннями своїм 16 друзям.
Вартість одного SMS-повідомлення 1 карбованець 30 копійок. Перед відправкою повідомлення на рахунку Маша мала 30 рублів.
Скільки рублів залишиться у Маші після надсилання всіх повідомлень?

У школі є тримісні туристичні намети.
Яку найменшу кількість наметів потрібно взяти у похід, у якому бере участь 20 осіб?

Поїзд Новосибірськ-Красноярськ вирушає о 15:20, а прибуває о 4:20 наступного дня (час московський).
Скільки годин поїзд перебуває в дорозі?

Чи знаєте ви, що?

Серед усіх фігур, з однаковим периметром, коло матиме найбільшу площу. І навпаки, серед усіх фігур з однаковою площею, коло матиме найменший периметр.

Леонардо да Вінчі вивів правило, згідно з яким квадрат діаметра стовбура дерева дорівнює сумі квадратів діаметрів гілок, взятих на загальній фіксованій висоті. Пізніші дослідження підтвердили його з однією лише відмінністю - ступінь у формулі необов'язково дорівнює 2, а лежить в межах від 1,8 до 2,3. Традиційно вважалося, що ця закономірність пояснюється тим, що дерево з такою структурою має оптимальний механізм постачання гілок поживними речовинами. Однак у 2010 році американський фізик Крістоф Еллой знайшов простіше механічне пояснення феномену: якщо розглядати дерево як фрактал, то закон Леонардо мінімізує ймовірність зламу гілок під впливом вітру.

Лабораторні дослідження показали, що бджоли можуть вибирати оптимальний маршрут. Після локалізації розставлених у різних місцях квіток бджола здійснює обліт і повертається назад таким чином, що підсумковий шлях виявляється найкоротшим. Таким чином, ці комахи ефективно справляються із класичним «завданням комівояжера» з інформатики, на вирішення якої сучасні комп'ютери, залежно від кількості точок, можуть витрачати не один день.

Якщо помножити ваш вік на 7, потім помножити на 1443, результатом буде ваш вік написаний три рази поспіль.

Ми вважаємо негативні числа чимось природним, але так далеко не завжди. Вперше негативні числа були узаконені у Китаї III столітті, але використовувалися лише виняткових випадків, оскільки вважалися, загалом, бездумними. Трохи згодом негативні числа стали використовуватися в Індії для позначення боргів, але на захід вони не прижилися – знаменитий Діофант Олександрійський стверджував, що рівняння 4x+20=0 – абсурдно.

Американський математик Джордж Данциг, будучи аспірантом університету, одного разу спізнився на урок і прийняв написані на дошці рівняння домашнє завдання. Воно здалося йому складніше звичайного, але за кілька днів він зміг його виконати. Виявилося, що він вирішив дві «нерозв'язні» проблеми у статистиці, над якими билося багато вчених.

У російській математичної літературі нуль перестав бути натуральним числом, а західної, навпаки, належить до безлічі натуральних чисел.

Використана нами десяткова система числення виникла через те, що з людини на руках 10 пальців. Здатність до абстрактного рахунку з'явилася у людей не відразу, а використовувати для рахунку саме пальці найзручніше. Цивілізація майя та незалежно від них чукчі історично використовували двадцятичну систему числення, застосовуючи пальці не лише рук, а й ніг. В основі поширених у стародавніх Шумері та Вавилоні дванадцятирічної та шістдесятирічної систем теж було використання рук: великим пальцем відлічувалися фаланги інших пальців долоні, число яких дорівнює 12.

Одна знайома жінка просила Ейнштейна зателефонувати їй, але попередила, що номер її телефону дуже складно запам'ятати: - 24-361. Запам'ятали? Повторіть! Здивований Ейнштейн відповів: - Звісно, ​​запам'ятав! Дві дюжини та 19 у квадраті.

Стівен Хокінг - один із найбільших фізиків-теоретиків та популяризатор науки. У розповіді про себе Хокінг згадав, що став професором математики, не одержуючи жодної математичної освіти з часів середньої школи. Коли Хокінг почав викладати математику в Оксфорді, він читав підручник, випереджаючи своїх студентів на два тижні.

Максимальне число, яке можна записати римськими цифрами, не порушуючи правил Шварцмана (правил запису римських цифр) – 3999 (MMMCMXCIX) – більше трьох цифр поспіль писати не можна.

Відомо багато притч про те, як одна людина пропонує іншій розплатитися з ним за деяку послугу таким чином: на першу клітку шахівниці той покладе одне рисове зернятко, на другу - два і так далі: на кожну наступну клітку вдвічі більше, ніж на попередню. Через війну той, хто розплачується в такий спосіб, неодмінно руйнується. Це не дивно: підраховано, що загальна вага рису становитиме понад 460 мільярдів тонн.

У багатьох джерелах зустрічається твердження, що Ейнштейн завалив у школі математику або, більше того, взагалі вчився дуже погано з усіх предметів. Насправді все було не так: Альберт ще в ранньому віціпочав виявляти талант у математиці та знав її далеко за межами шкільної програми.

ЄДІ 2020 з математики завдання 18 з рішенням

Демонстраційний варіант ЄДІ 2020 з математики

ЄДІ з математики 2020 у форматі pdfБазовий рівень Профільний рівень

Завдання для підготовки до ЄДІ з математики: базовий та профільний рівень з відповідями та рішенням.

Математика: базовий профільний 1-12 | | | | | | | | Головна

ЄДІ 2020 з математики завдання 18

ЄДІ 2020 з математики профільний рівень завдання 18 з рішенням

ЄДІ з математики

Знайдіть усі позитивні значення параметра а,
при кожному з яких рівняння а x = xмає єдине рішення.

Нехай f(x) = x, g(x) = x.

Функція g(x) - безперервна, що строго зростає на всій області визначення і може набувати будь-якого значення від мінус нескінченності до плюс нескінченності.

При 0< a < 1 функция f(x) - непрерывная, строго убывающая на всей области определения и может принимать значения в интервале (0;+бесконечность). Поэтому при любых таких a уравнение f(x) = g(x) имеет ровно одно решение.

При a = 1 функція f(x) тотожно дорівнює одиниці і рівняння f(x) = g(x) також має єдине рішення x = 1.

При a> 1:
Похідна функції h(x) = (a x - x) дорівнює
(a x - x) = a x ln(a) - 1
Прирівняємо її до нуля:
a x ln(a) = 1
a x = 1/ln(a)
x = -log_a (ln (a)).

У похідної єдиний нуль. Ліворуч від цього значення функція h(x) зменшується, праворуч - зростає.

Тому вона або взагалі не має нулів, або має два нулі. І один корінь вона має лише у тому випадку, коли він збігається зі знайденим екстремумом.

Тобто нам потрібно знайти таке значення a, при якому функція
h(x) = a x - x досягає екстремуму і звертається в нуль в одній і тій самій точці. Інакше кажучи, коли пряма y = x є дотичною графіку функції a x .

A x = x
a x ln(a) = 1

Підставляємо a x = x у друге рівняння:
x ln(a) = 1, звідки ln(a) = 1/x, a = e (1/x).

Знову підставляємо у друге рівняння:
(e (1/x)) x (1/x) = 1
e 1 = x
x = e.

А це підставляємо у перше рівняння:
a e = e
a = e (1/e)

Відповідь:

ЄДІ з математики

Рішення:

Розкриємо модуль:

При x<= a 2: f(x) = x 2 - 8x - a 2 ,
при x > a2: f(x) = x2 - 10x + a2.

Похідна лівої частини: f"(x) = 2x - 8
Похідна правої частини: f"(x) = 2x - 10

І ліва, і права частини можуть мати лише мінімум. Значить, єдиний максимум у функції f(x) може бути в тому і тільки в тому випадку, якщо в точці x = a 2 ліва частина зростає (тобто 2x-8> 0), а права - зменшується (тобто 2x-10< 0).

Тобто отримуємо систему:
2x-8 > 0
2x-10< 0
x = a 2

Звідки
4 < a 2 < 5

Відповідь:(-sqrt(5); -2) ~ (2; sqrt(5))

Формулювання завдання обмежує матеріал лише випадками постановки ком. Це суттєве звуження теми.

Коми ставляться у таких випадках:

Підрядне відокремлюється від головної коми, якщо стоїть перед або після головного коми:

Коли вона увійшла до кімнати, я встав.

(Коли…), .

Я встав, коли вона увійшла до кімнати.

, (Коли…).

Придаткове відокремлюється від головного комами з двох сторін, якщо знаходиться всередині головного:

Вчора, коли пролунав дзвінок від Івана, я був зайнятий.

[ , (Коли…), ].

Однорідні придаткові, з'єднані без союзу, розділяються комою:

Він знав, що вчителька зателефонує мамі, мама буде вкрай незадоволена, йому влетить.

, (Що …), (), ().

Однорідні придаткові пов'язані повторюваними спілками, коми ставляться як і, як і за однорідних членах:

Він знав, що вчителька зателефонує мамі, і що мама буде вкрай незадоволена і що йому влетить.

, (Що ...), І (Що ...), І (Що ...).

Придаткові реченнязі складними підпорядковими спілками тому що, тому що, через те, що, замість того, щоб, щоб, після того як, в той час якта ін. подібними відокремлюються від головної однієї коми, яка ставиться на межі головної та придаткової пропозиції:

У міру того як він розповідав, я все більше дивувався.

(У міру того як…),.

Я все більше і більше дивувався, коли він розповідав.

, (у міру того як…).

Я, у міру того як він розповідав, усе більше і більше дивувався.

[ (у міру того як…) ].

Складні спілки можуть розпадатися на дві частини, якщо:

1) перед ними є негативна частка не:

Вона невідповіла тому, що злякалася.

2) перед ними є частки тільки, тільки, самета ін, що виражають обмежувальне значення:

Вона відповіла тількитому що злякалася.

Увага:

Союзи тоді як, неначе як, навіть якщо, лише колине розбиваються.

Якщо поруч два підпорядкованих союзи, то між ними ставиться кома у всіх випадках, крім тих, коли це складні союзи з то.

Потрібна кома: Вони вирішили, що якщо ранком буде хороша погода, вони поїдуть за місто.
Кома не ставиться: Вони вирішили, що якщо ранком буде хороша погода, товони їдуть за місто.

Придаткові визначальні із союзним словом Котрий.Кома після союзного слова що не ставиться. Це правило працює, навіть якщо слово Котрийвходить до складу дієприслівникового обороту:

Я не знаю, як реагувати на ситуацію, виходу з якої не бачу.

Ми розташувалися на березі озера, береги якого заросли брусницею.

(Кома після дієприслівникового обороту дізнавшись якене ставиться).

Вконтакте

Однокласники

Довідник для підготовки до ЄДІ

• Завдання 16. Розділові знаки в реченнях з відокремленими членами (визначеннями, обставинами, додатками, доповненнями)
• Завдання 17. Розділові знаки в реченнях зі словами та конструкціями, граматично не пов'язаними з членами речення

ЄДІ 2017. Математика. Завдання 18. Завдання із параметром. Садівницький Ю.В.

М.: 2017. – 128 с.

Ця книга присвячена завданням, аналогічним до завдання 18 ЄДІ з математики (завдання з параметром). Розглядаються різні методи вирішення таких завдань, також велика увага приділяється графічним ілюстраціям. Книга буде корисною учням старших класів, вчителям математики, репетиторам.

Формат: pdf

Розмір: 1,6 Мб

Дивитись, скачати:drive.google

ЗМІСТ
Вступ 4
§1. Лінійні рівняння та системи лінійних рівнянь 5
Завдання для самостійного вирішення 11
§2. Дослідження квадратного тричлена за допомогою дискримінанта 12
Завдання для самостійного вирішення 19
§3. Теорема Вієта 20
Завдання для самостійного вирішення 26
§4. Розташування коріння квадратного тричлена 28
Завдання для самостійного вирішення 43
§5. Застосування графічних ілюстрацій
до дослідження квадратного тричлена 45
Завдання для самостійного вирішення 55
§6. Обмеженість функції. Знаходження області значень 56
Завдання для самостійного вирішення 67
§7. Інші властивості функцій 69
Завдання для самостійного вирішення 80
§8. Логічні задачі з параметром 82
Завдання для самостійного вирішення 93
Ілюстрації на координатній площині 95
Завдання для самостійного вирішення 108
Метод «Оха» 110
Завдання для самостійного вирішення 119
Відповіді 120

Ця книга присвячена завданням, аналогічним до завдання 18 ЄДІ з математики (завдання з параметром). Поряд із завданням 19 (завдання, при вирішенні якої використовуються властивості цілих чисел) задача 18 є найбільш складною у варіанті. Тим не менш, у книзі зроблено спробу систематизувати завдання даного типу з різних методів їх вирішення.
Декілька параграфів присвячені здавалося б такій популярній темі, як дослідження квадратного тричлена. Однак часом подібні завдання вимагають різних, часом найнесподіваніших підходів до їх вирішення. Один з таких нестандартних підходів продемонстровано на прикладі 7 параграфа 2.
Часто при розв'язанні задачі з параметром необхідно досліджувати цю функцію. У книзі формулюються деякі твердження щодо таких властивостей функцій, як обмеженість, парність, безперервність; потім на прикладах демонструється застосування цих властивостей до вирішення завдань.