Стереометрія у природі презентації. Презентація – предмет стереометрії – аксіоми стереометрії. Взаємне розташування прямих у просторі

Цикл уроків на тему: "Аксіоми стереометрії" складається з наступних уроків:

1. Предмет стереометрії. Аксіоми стереометрії

2. Деякі наслідки з аксіом.

3;4. Вирішення завдань застосування аксіом та його наслідків.

5. Розв'язання задач застосування аксіом стереометрії та його наслідків. Самостійна робота.

Для кожного уроку підготовлено презентацію.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Цикл уроків на тему: «Аксіоми стереометрії та їх наслідки».

Урок 1. Предмет стереометрії. Аксіоми стереометрії.

Цілі уроку:

1. ознайомити учнів із змістом курсу стереометрії;
2. вивчити аксіоми про взаємне розташування точок, прямих та площин у просторі;
3. вчити застосовувати аксіоми стереометрії під час вирішення завдань.

Хід уроку:

Слайд 1

1. Організаційний момент.

2. Вивчення нового матеріалу.

Вчитель: Вже три роки, починаючи з 7 класу, ми з вами вивчаємо шкільний курс геометрії.

Слайд 2 Питання учням:

Що таке геометрія? (Геометрія – наука про властивості геометричних фігур)

Що таке планіметрія? (Планіметрія - розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур на площині)

Які основні поняття планіметрії ви знаєте? (точка, пряма)

Вчитель: Сьогодні ми розпочинаємо вивчення нового розділу геометрії – стереометрії.

Слайд 3 Стереометрія – розділ геометрії, у якому вивчаються властивості постатей у просторі. (Учні роблять запис у зошит)

Слайд 4 Основні поняття простору: точка, пряма, площина.

Уявлення про площину дає гладка поверхня столу, стіни, підлоги, стелі тощо. Площина, як геометричну фігуру, потрібно представляти нескінченною, що простягається на всі боки. Позначаються площини грецькими літерами α, β, γ тощо.

1. Назвіть точки, що лежать у площині β; не лежать у площині β.

2. Назвіть прямі: що лежать у площині β; не лежать у площині β.

Слайд 5 Про основні поняття (точка, пряма, площина) ми маємо наочне уявлення та визначення їм не даються. Їхні властивості виражені в аксіомах.

Поряд з точкою, прямою, площиною в стереометрії розглядають геометричні тіла (куб, паралелепіпед, циліндр, тетраедр, конус та ін), вивчають їх властивості, обчислюють їх площі та обсяги. Уявлення про геометричні тіла дають навколишні предмети.

Слайд 6 Питання учням:

Які геометричні тіла нагадують вам предмети, зображені на цих малюнках.

Назвіть предмети з навколишньої обстановки (нашої класної кімнати), що нагадують вам геометричні тіла.

Слайд 7. Практична робота (у зошитах)

1. Зобразіть у зошиті куб (видні лінії – суцільною лінією, невидимі – пунктиром).

2. Позначте вершини куба великими літерами АВСДА 1 В 1 З 1 Д 1

3. Виділіть кольоровим олівцем:

• вершини А, С, В 1, Д 1 ; відрізки АВ, СД, В 1 С, Д 1 З; діагоналі квадрата АА 1 В 1 Ст.

Звернути увагу учнів на видимі та невидимі лінії на малюнку; зображення квадрата АА 1 В 1 У просторі.

Слайд 8. Запитання до учнів:

Що таке аксіома? Які аксіоми планіметрії ви знаєте?

У просторі основні властивості точок, прямих і площин, що стосуються їхнього взаємного розташування, виражені в аксіомах.

Слайд 9. Учні роблять записи та малюнки у зошитах.

Аксіома 1. (А1) Через будь-які 3 точки, що не лежать на одній прямій, проходить площину і при цьому лише одна.

Слайд 10 Відзначити, що якщо взяти не 3, а 4 довільні точки, то через них може не проходити жодна площина, тобто 4 точки можуть не лежати в одній площині.

Слайд 11. Аксіома 2. (А2) Якщо 2 точки прямої лежать у площині, то всі точки прямої лежать у цій площині. І тут кажуть, що пряма лежить у площині чи площина проходить через пряму.

Слайд 12 Питання учням:

Скільки загальних точок мають пряма та площина? (рис.1 – нескінченно багато; рис.2 – одну)

Слайд 13. Аксіома 3. (А3) Якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають спільну пряму, на якій лежать усі загальні точки цих площин.

В цьому випадку кажуть, що площини перетинаються прямою.

3. Закріплення вивченого матеріалу.

Слайд 14 Розв'язання задач із підручника № 1(а,б), 2(а).

Учні читають умову завдань і малюнку на слайді дають відповідь з поясненням.

Завдання 1.

а) Р, Е (АДВ) РЕ (АДВ) А 2

Аналогічно МК (ВДС)

В,Д (АДВ) та (ВДС) ВД (АДВ) та (ДВС)

Аналогічно АВ (АДВ) та (АВС)

С, Е (АВС) та (ДЕС) РЄ (АВС) та (ДЕС)

б) С (ДК) та (АВС) ДК ∩(АВС) = С. Т.к. точок перетину прямий і площині трохи більше однієї (пряма лежить у площині), це єдина точка.

Аналогічно РЄ ∩ (АДВ) = Е.

Завдання 2(а)

У площині ДСС 1: Д, С, С1, Д1 , К, М, R. У площині ВQС: 1, В, Р, Q, З 1, М, С.

Слайд 15 4. Підбиття підсумків уроку.Питання учням:

1. Як називається розділ геометрії, який ми вивчатимемо у 10-11 класах?
2. Що таке стереометрія?
3. Сформулюйте за допомогою малюнку аксіоми стереометрії, які ви досліджували сьогодні на уроці.

Слайд 16 5. Домашнє завдання.

Урок 2. Деякі наслідки із аксіом.

Цілі уроку:

Повторити аксіоми стереометрії та застосування їх під час вирішення задач домашнього завдання;

Ознайомити учнів із наслідками з аксіом;

Навчити застосовувати слідства з аксіом під час вирішення завдань, і навіть закріпити вміння застосовувати аксіоми стереометрії під час вирішення завдань;

Повторити формули обчислення площі ромба.

Хід уроку.

Слайд 1 1. Організаційний момент.Повідомлення теми та цілей уроку.

Слайд 2

1)Сформулюйте аксіоми стереометрії та оформіть малюнки на дошці.

2) №1 (в, г); 2(б,д).

Учні усно з місця на малюнку на слайді відповідають питання домашнього завдання.

Слайд 3 3. Вивчення нового матеріалу.Розглянемо та доведемо слідства з аксіом.

Теорема 1. Через пряму та не лежачу на ній точку проходить площину і до того ж лише одна.

Учні записують формулювання у зошиті, відповідаючи питання вчителя, роблять відповідні записи і малюнки в зошит.

Що дано у теоремі? (Пряма і не лежача на ній точка)

Що треба довести? (проходить площину; одна)

Що можна використовувати для підтвердження? (аксіоми стереометрії)

Яка з аксіом дозволяє побудувати площину? (А1, через три точки проходить площину і до того ж лише одна)

Що є в даній теоремі і чого не вистачає для використання А1 (маємо точку; необхідні ще дві точки)

Де збудуємо ще дві точки? (на даній прямій)

Який висновок можемо зробити? (через три точки будуємо площину)

Чи належить цій площині пряма? (так)

На підставі чого можна зробити такий висновок? (на підставі А2: якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить площині)

Скільки площин можна провести через дані пряму та дану точку? (одну)

Чому? (оскільки площина, що проходить через пряму і площину, проходить через дану точку і дві точки на прямій, значить А1 ця площина - єдина)

Слайд 4 Теорема 2. Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину і притому тільки одна.

Учні доводять теорему самостійно, потім прослуховуються кілька доказів та робляться доповнення та уточнення (якщо вони необхідні)

Звернути увагу, що доказ спирається не так на аксіоми, але в наслідок 1.

Слайд 5 4. Закріплення вивченого матеріалу.

Завдання 6 (з навчального посібника)

Учні працюють у зошитах, пропонують свої варіанти рішення, потім порівнюють своє рішення із рішенням на екрані. Розбираються два випадки: 1) точки не лежать на одній прямій; 2) точки лежать на одній прямій.

слайд 6,7. Завдання на слайді. Учні читають умову, роблять малюнок та необхідні записи у зошитах. Вчитель проводить фронтальну роботу із класом з питань завдання. У результаті вирішення завдання повторюємо формули обчислення площі ромба.

Дано: АВСД - ромб, АС∩ВД = О, М, (А, Д, О); АВ = 4см, А = 60 º.

Знайти: (В, С); Д (МОВ); (МОВ)∩(АДО); SАВСД.

Рішення:

Якщо дві площини мають спільні точки, то вони перетинаються по прямій, що проходить через ці точки.

5. Підбиття підсумків:

Сформулюйте аксіоми стереометрії.

Сформулюйте наслідки із аксіом.

Мета уроку досягнуто. Аксіоми стереометрії повторили, познайомилися зі наслідками з аксіом і застосували їх під час вирішення завдань.

Виставлення позначок (з коментарями)

Слайд 8. 6. Постановка домашнього завдання:

Урок 3. Розв'язання задач застосування аксіом стереометрії та його наслідків.

Цілі уроку:

Повторити аксіоми стереометрії та їх наслідки;

Сформувати навичку застосування аксіом стереометрії та їх наслідків під час вирішення завдань;

Учні знають аксіоми стереометрії та їх наслідки та вміють застосовувати їх під час вирішення завдань.

Хід уроку.

Слайд 1 1. Організаційний момент.Повідомлення теми та цілей уроку.

2. Актуалізація знань учнів.

1) Перевірка домашнього завдання з питань учнів.

Перед уроком у кількох учнів взяти на перевірку зошити із домашньою роботою.

2) Двоє учнів готують біля дошки підтвердження наслідків з аксіом.

3) Двоє учнів (1 рівень) та двоє учнів (2 рівень) працюють за картками індивідуального опитування. Слайд.

4) Фронтальна робота з учнями.

Слайд 2. Дано: куб АВСДА1В1С1Д1

Знайдіть:

1. Декілька точок, які лежать у площині α; (А, В, С, Д)
2. Декілька точок, які не лежать у площині α; (А 1 , В 1 , З 1 , Д 1 )
3. Декілька прямих, що лежать у площині α; (АВ, ВС, ЦД, АТ, АС, ВД)
4. Декілька прямих, які не лежать у площині α; (А 1 В 1, В 1 С 1, С 1 Д 1, А 1 Д 1, А 1 С 1, В 1 Д 1, АА 1, ВВ 1, СС 1, ДД 1)
5. Декілька прямих які перетинають пряму НД; (ВВ 1 , СС 1 )
6. Декілька прямих, які не перетинають пряму ПС. (АТ, АА 1 …)

Слайд 3 Заповніть перепустки, щоб вийшло вірне твердження:

Слайд 4 Чи лежать прямі АА 1 , АВ, АТ в одній площині? (Прямі АА 1 , АВ, АТ проходять через точку А, але не лежать в одній площині)

3. Розв'язання задач.

Слайд 5 Учні вирішують завдання № 7, 10, 14 з навчального посібника, роблячи відповідні малюнки та записи на дошці та у зошитах.

Завдання №7.

2) Чи лежать в одній площині всі прямі через точку М?

Рішення: По слідству 2:

2) Усі прямі, що проходять через точку М, не обов'язково лежать в одній площині. (Див. приклад зі слайду 4)

Задача 10. Учні вирішують завдання самостійно (аналогічно до завдання № 7). Вчитель вибірково бере зошити на перевірку та надає індивідуальну допомогу у вирішенні завдання учням, які не впоралися із завданням.

Завдання № 14. Рішення: Усі прямі а, b, с лежать в одній площині. В цьому випадку за наслідком 2 можна провести площину, і через три прямі проходить одна площина.

Одна з трьох прямих, наприклад, не лежить в площині α, що визначається прямими а і b. У цьому випадку через задані три прямі проходять три різні площини, що визначаються парами прямих а та b, а і с, b та с.

Слайд 6 Учні роблять малюнок та необхідні побудови та записи у зошитах. При побудові учні промовляють аксіоми, результати побудови записують за допомогою символіки.

Завдання. Дано: куб АВСДА 1 В 1 З 1 Д 1

т.м лежить на ребері ВР 1 , Т. N лежить на ребрі СС 1 і точка К лежить на ребрі ДД 1

а) Назвіть площини, у яких лежать точки М; N.

б) знайдіть т.F-точку перетину прямих МN та ВС. Яку властивість має точка F?

в) знайдіть точку перетину прямої КN та площини АВС.

г) знайдіть лінію перетину площин МNК та АВС.

Рішення:

Слайд 7. Для вирішення наступного завдання повторимо формулу обчислення площі чотирикутника. Висновок формули розбирають за слайдом.

Учні записують формулу в зошит.

Слайд 8. Доведіть що всі вершини чотирикутника АВСД лежать в одній площині, якщо його діагоналі АС і ВД перетинаються.

Обчисліть площа чотирикутника, якщо АС┴ВД, АС = 10см, ВД = 12см.

Відповідь: 60 см 2

4. Підбиття підсумків уроку.

Що викликало труднощі? Вчитель оголошує позначки за урок із коментарем.

Слайд 9.

Урок 4. Розв'язання задач застосування аксіом стереометрії та його наслідків.

Цілі уроку:

Провести контроль знань аксіом стереометрії та їх наслідків;

Закріпити сформовану навичку застосування аксіом стереометрії та їх наслідків під час вирішення завдань;

Повторити: теорему Піфагора та її застосування; формули обчислення площ рівностороннього трикутника, прямокутника

Хід уроку.

Слайд 1 1. Організаційний момент.Повідомлення теми та цілей уроку.

Слайд 2 2. Перевірка домашнього завдання.

Перед уроком у кількох учнів взяти на перевірку зошити із домашньою роботою.

Двоє учнів готують біля дошки розв'язання завдань із домашньої роботи – № 9, 15.

Інші учні відповідають питання математичного диктанта по слайду.

Слайд 3. 3. Розв'язання задач (фронтальна робота із класом)

Завдання №1.

Даний тетраедр МАВС, кожне ребро якого дорівнює 6 див.

1. Назвіть пряму, якою перетинаються площини: а) МАВ та МFС; б) МСF та АВС.
2. Знайдіть довжину СF та SАВС
3. Як побудувати точку перетину прямої ДЕ із площиною АВС?

Питання до учнів (за потреби):

Які точки одночасно належать обом площинам. На підставі якої аксіоми можна зробити висновок?

Сформулюйте властивість медіани рівнобедреного трикутника.

Сформулюйте теорему Піфагора.

Чому можна застосувати теорему Піфагора у разі?

Якими способами можна обчислити площу рівностороннього трикутника?

Чи завжди можна побудувати точку перетину прямої ДЕ із площиною АВС?

Слайд 4. Завдання №2.

1. Як побудувати точку перетину площини АВС із прямою Д 1 Р?
2. Як побудувати лінію перетину площини АТ 1 Р і АВВ 1?
3. Обчисліть довжину відрізків АР та АТ 1 , якщо АВ = а

Рішення:

Слайд 5. Завдання №3.

Дано : Точки А, В, С не лежать на одній прямій

Доведіть , Що точка Р лежить у площині АВС.

За допомогою анімації на слайді учні роблять відповідні побудови та необхідні висновки. Роблять записи у зошитах за допомогою математичних символів, промовляючи відповідні аксіоми та наслідки з аксіом.

Питання учням (за потребою):

Знаючи, що точки А, В, С не лежать на одній прямій, який висновок можна зробити?

Якщо точки А та В лежать у площині, який висновок про пряму АВ можна зробити?

Який висновок можна зробити про точку М?

Якщо точки А і С лежать у площині, який висновок про пряму АС можна зробити?

Який висновок можна зробити про точку К?

Знаючи, що точки М і К лежать у площині, який висновок можна зробити про пряму МК?

Який висновок можна зробити про точку Р?

Рішення (інший спосіб доказу):

АВ∩АС=А. За другим слідством, прямі АВ та АС визначають площину α. Точка М належить АВ, отже, належить площині α, і точка К належить АС, отже, і площині α. По аксіомі А2: МК лежить у площині? Точка Р належить МК, отже, і площині α.

Слайд 6. Завдання №4.

Площини і β перетинаються по прямій с. Пряма а лежить у площині і перетинає площину. Чи перетинаються прямі а і с? Чому?

Питання учням (за необхідності):

Знаючи, що пряма а перетинає площину, який висновок можна зробити? (Пряма та площина мають загальну точку, наприклад, точку В)

Яку властивість має точка В? (Пункт В належить і прямий а, і площині α, і площини β)

Якщо точка належить двом площин одночасно, то що ми можемо сказати про взаємне становище площин? (площини перетинаються по прямій, наприклад)

Яке взаємне розташування точки і прямої с? (Точка В належить прямий з)

Знаючи, що точка В належить і прямий а, і прямий, який висновок можна зробити про ці прямі? (Прямі перетинаються в точці В)

Слайд 7. Завдання №5.

Даний прямокутник АВСД, О – точка перетину його діагоналей. Відомо, що точки А, В, лежать у площині α. Доведіть, що точки С та Д також лежать у площині α. Обчисліть площу прямокутника, якщо АС = 8 см,АОВ = 60 º.

Завдання призначене для самостійного рішення з обговоренням рішення та наданням індивідуальної допомоги учням. Корисно обговорити різні способи знаходження площі прямокутника:

Запропонувати учням вирішити завдання різними способами. Відповідь: 16см 2 .

4. Підбиття підсумків уроку:

Які аксіоми та теореми ми застосовували на уроці під час вирішення задач? Сформулюйте.

Які завдання були найцікавішими, найскладнішими?

Що корисного для вас особисто було на уроці?

Що викликало труднощі?

Виставлення позначок за урок (з коментуванням кожної позначки)

Слайд 8. 5. Постановка домашнього завдання:

Урок 5. Розв'язання задач застосування аксіом стереометрії та його наслідків. Самостійна робота (20 хв.)

Цілі уроку:

Закріпити засвоєння питань теорії у процесі розв'язання задач;

Перевірити рівень підготовленості учнів шляхом проведення самостійної роботи контролюючого характеру.

Хід уроку.

Слайд 1 1. Організаційний момент.

Повідомлення теми та цілей уроку.

Слайд 2 2. Перевірка домашнього завдання.

Перед уроком у кількох учнів взяти на перевірку зошити із домашньою роботою.

Завдання 1.

Прямі а та b перетинаються в точці О, Аа, B, Р АВ. Доведіть, що прямі а та b і точка Р лежать в одній площині.

Рішення:

Слайд 3. Завдання 2.

На цьому малюнку площина містить точки А, В, С, Д, але не містить точку М. Побудуйте точку К – точку перетину прямої АВ і площини МСД. Чи точка К лежить у площині α.

Рішення:

Слайди 4, 5, 6 3.Усне вирішення завдань на повторення теорії (за слайдами)

Слайди 7,8 4. Самостійна робота(Різнорівнева, контролюючого характеру) Учні вибирають свій рівень складності.

5. Підбиття підсумків.

1) Зібрати зошити з самостійною роботою.

2) Оголошення позначок із коментуванням.

Слайд 9. 6. Домашнє завдання.

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі акаунт ( обліковий запис) Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Урок 1 Тема: "Предмет стереометрії. Аксіоми стереометрії."

Що таке геометрія? Геометрія – наука про властивості геометричних постатей «Геометрія» - (грец.) – «землемірство» - Що таке планіметрія? Планіметрія – розділ геометрії, у якому вивчаються властивості постатей на площині. А а Основні поняття планіметрії: точка пряма - Основні поняття планіметрії?

Стереометрія – розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур у просторі

Основні фігури у просторі: точка пряма площина α β Позначення: А; В; З; …; М;… а В М N Р Позначення: a, b, с, d…, m, n,… (або двома великими латинськими) Позначення: α , β , γ … Дайте відповідь на запитання за рисунком: 1. Назвіть точки, що лежать у площині β; не лежать у площині β. 2. Назвіть прямі, що лежать у площині β; не лежать у площині β

Деякі геометричні тіла. А В С Д Д 1 С 1 В 1 А 1 куб А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 паралелепіпед А В С Д тетраедр циліндр конус

Назвіть які геометричні тіла вам нагадують предмети, зображені на цих малюнках: Назвіть предмети з навколишньої обстановки (нашої класної кімнати), що нагадують вам геометричні тіла.

Практична робота. 1. Зобразіть у зошиті куб (видні лінії – суцільною лінією, невидимі – пунктиром). 2. Позначте вершини куба великими літерами АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 А В С Д Д 1 С 1 В 1 А 1 3. Виділіть кольоровим олівцем: вершини А, С, В 1, Д 1 відрізки АВ, СД, В 1 З, Д 1 З діагоналі квадрата АА 1 В 1 В

Що таке аксіома? Аксіома - це твердження про властивості геометричних фігур, приймається як вихідні положення, на основі яких доводяться далі теореми і взагалі будується вся геометрія. Аксіоми планіметрії: - через будь-які дві точки можна провести пряму і лише одну. із трьох точок прямий одна, і лише одна, лежить між двома іншими. є принаймні три точки, що не лежать на одній прямій…

Аксіоми стереометрії. А В С А1. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площину і до того ж лише одна. α

Якщо ніжки столу не однакові по довжині, стіл стоїть на трьох ніжках, тобто. спирається на три «точки», а кінець четвертої ніжки (четверта точка) не лежить у площині підлоги, а висить у повітрі.

Аксіоми стереометрії. А В α А2. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то всі точки цієї прямої лежать у цій площині. Кажуть: пряма лежить у площині чи площина проходить через пряму.

а М Пряма лежить у площині Пряма перетинає площину Скільки загальних точок мають пряма та площина?

Аксіоми стереометрії. α β А3. Якщо дві площини мають спільну точку, всі вони мають спільну пряму, де лежать все загальні точки цих площин. Кажуть: площини перетинаються прямою. А а

Розв'язати задачі: № 1 (а, б); 2(а) А В С Д Р Е К М А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 Q P R К М Назвіть за малюнком: а) площини, в яких лежать прямі ДВ, АВ, МК, РЕ, ЕС; б) точки перетину прямої ДК із площиною АВС, прямої РЄ із площиною АДВ. а) точки, що лежать у площинах ДСС 1 і В Q З № 1(а,б) № 2(а)

Підіб'ємо підсумки уроку: 1) Як називається розділ геометрії, який ми вивчатимемо в 10-11 класах? 2) Що таке стереометрія? 3) Сформулюйте за допомогою малюнку аксіоми стереометрії, які ви вивчили сьогодні на уроці. А А В В α α А α β

Теорема 1. Через пряму та не лежачу на ній точку проходить площину і до того ж лише одна. Дано: а, М ¢ а Довести: (а, М) з α α – єдина а М α Доказ: 1 . Р, Про с а; ( Р,О,М ) а Р О По аксіомі А1: через точки Р, О, М проходить площину. По аксіомі А2: т.к. дві точки прямий належать площині, і вся пряма належить цієї площині, тобто. (А, М) з α 2 . Будь-яка площина проходить через пряму а і точку М проходить через точки Р, О, і М, отже, по аксіомі А1 вона – єдина. Ч.т.д. Деякі наслідки з аксіом:

Теорема 2. Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину, і притому тільки одна. Дано: а ∩ b Довести: 1. (а∩ b) з α 2. α - єдина а b М Н α Доказ: 1.Через а та Н а, Н b проходить площину α. (М, Н) α, (М,Н) b, значить по А2 всі точки b належать площині. 2. Площина проходить через і b і вона єдина, т.к. Будь-яка площина, що проходить через прямі а і b, проходить і через Н, отже α – єдина.

Розв'язати задачу № 6 АВС α Три дані точки з'єднані попарно відрізками. Доведіть, що всі відрізки лежать у одній площині. Доказ: 1. (А,В,С) α , отже А1 через А,В,З проходить єдина площина. 2. Дві точки кожного відрізка лежать у площині, отже, по А2 всі точки кожного з відрізків лежать у площині α . 3. Висновок: АВ, ПС, АС лежать у площині α 1 випадок. А В С α 2 випадок. Доказ: Оскільки три точки належать одній прямій, то по А2 всі точки цієї прямої лежать у площині.

Завдання. А В С Д М О АВСД – ромб, О – точка перетину його діагоналей, М – точка простору, що не лежить у площині ромба. Крапки А, Д, Про лежать у площині α. Визначити та обґрунтувати: Чи лежать у площині α точки В та С? Чи лежить у площині МОВ точка Д? Назвіть лінію перетину площин МОВ та АДО. Обчисліть площу ромба, якщо сторона його дорівнює 4 см, а кут дорівнює 60º. Запропонуйте різні методи обчислення площі ромба.

Усна робота. А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 α Дано: куб АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 Знайдіть: Кілька точок, що лежать у площині α; Декілька точок, які не лежать у площині α; Декілька прямих, що лежать у площині α; Декілька прямих, які не лежать у площині α; Декілька прямих які перетинають пряму НД; Декілька прямих, які не перетинають пряму ПС. Завдання 1.

Усна робота. Завдання 2. α А М В а b c Заповніть перепустки, щоб вийшло вірне твердження:

Усна робота. А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 α Прямі АА 1 , АВ, АТ проходять через точку А, але не лежать в одній площині Чи прямі лежать АА 1 , АВ, АТ в одній площині?

Розв'яжіть завдання з навчального посібника: стор. 8 № 7, 10, 14. Робота учнів на дошці та у зошитах:

Задача 1 А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 М NF К Дано: куб АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 т.М лежить на ребрі ВВ 1 т. N лежить на ребрі СС 1 і точка К лежить на ребрі ДД 1 а) назвіть площини, у яких лежать точки М; N. б) знайдіть т. F точку перетину прямих М N і ВС. Якою властивістю має точка F? в) знайдіть точку перетину прямої К N та площини АВС О г) знайдіть лінію перетину площин М N К та АВС

Завдання (усно) А В С Д М О АВСД – ромб, О – точка перетину його діагоналей, М – точка простору, що не лежить у площині ромба. Крапки А, Д, Про лежать у площині α. Визначити та обґрунтувати: 1. Які ще точки лежать у площині? Чи лежать у площині точки В і М? Чи лежить у площині МОД точка В? Назвіть лінію перетину площин МОС та АДО. Точка О – загальна точка площин МОВ та МОС. Чи правда, що ці площини перетинаються по прямій МО? Назвіть три прямі, що лежать в одній площині; що не лежать в одній площині.

Завдання (усно) А В З М Сторони АВ та АС трикутника АВС лежать у площині. Доведіть, що і медіана лежить у площині.

С Д В Е F О М Завдання (усно) У чому помилка креслення, де О Е F . Дайте пояснення. Як має виглядати правильне креслення.

1 рівень А В С S К М N 1. Користуючись цим малюнком, назвіть: а) чотири точки, що лежать у площині S АВ; б)площина, в якій лежить пряма М N; в) пряму якою перетинаються площини S АС і S ВС. 2. Точка С – загальна точка площини та. Пряма з проходить через точку С. Чи вірно, що площини і перетинаються по прямій с. Відповідь поясніть. 3. Через пряму а та точку А можна провести дві різні площини. Яке взаємне розташування прямої а та точки А. Відповідь поясніть. 2 рівень S А В С Д Е F 1. Користуючись цим малюнком, назвіть: а) дві площини, що містять пряму ДЕ; б) пряму, якою перетинаються площини АЕ F і S ВС; в) площини, які перетинає пряма S В. 2. Прямі а, b та с мають загальну точку. Чи вірно, що ці прямі лежать в одній площині? Відповідь обґрунтуйте. 3. Площини та перетинаються по прямій с. Пряма а лежить у площині та перетинає площину. Яким є взаємне розташування прямих а і с?

А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 Рівень 3 (на картках) 1. Користуючись цим малюнком, назвіть: а) дві площини, що містять пряму 1 С; б) пряму, по якій перетинаються площини 1 СД і АА 1 Д 1 ; в) площину, що не перетинається з прямою ЦД 1 . 2. Чотири прямі попарно перетинаються. Чи вірно, якщо будь-які три з них лежать в одній площині, то всі чотири прямі лежать в одній площині? Відповідь поясніть. 3. Вершина З плоского чотирикутника АВСД лежить у площині, а точки А, В, Д не лежать у цій площині. Прямі АВ і АТ перетинають площину в точках 1 і 1 відповідно. Яке взаємне розташування точок С, В1 і Д1? Відповідь поясніть.

Домашнє завдання: повторити матеріал з планиметрії та зробити в зошитах конспект з наступних питань: Визначення паралельних прямих Взаємне розташування двох прямих на площині Побудова прямої, паралельної даній Аксіому про паралельні прямі

• Що таке стереометрія?
• Виникнення та розвиток стереометрії
• Основні фігури у просторі
• Позначення точок та приклади їх моделей
• Позначення прямих
• Приклади моделей прямих
• Позначення площин та приклади їх моделей
• Що ще вивчає стереометрію?
• Навколишні предмети та геометричні тіла
• Зображення геометричних тіл на кресленнях
• Практичне (прикладне) значення стереометрії
• Аксіоми стереометрії
• Наслідки з аксіом стереометрії
• Закріплення
• Використовувана література

Що таке стереометрія?

Стереометрія - Це розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур у просторі.

Виникнення та розвиток стереометрії.

• Розвиток стереометрії почалося значно пізніше за планіметрію.
• Стереометрія розвивалася із спостережень та вирішення питань, які виникали в процесі практичної діяльності людини.

• Вже первісна людина, зайнявшись землеробством, робила спроби оцінювати, хоча б у грубих рисах, розмір зібраного ним урожаю за масами хліба, складеного в купи, копи або скирти.
• Будівельник навіть найдавніших примітивних будівель повинен був якось враховувати матеріал, яким він мав у своєму розпорядженні, та й уміти підрахувати, скільки матеріалу потрібно для зведення тієї чи іншої споруди.

• Кам'яна справа у стародавніх єгиптян і халдеїв вимагала знайомства з метричними властивостями хоча б найпростіших геометричних тіл.
• Потреба землеробства, мореплавання, орієнтування у часі штовхали людей до астрономічним спостереженням, а останні – до вивчення якостей сфери та її елементів, отже і законів взаємного розташування площин і ліній у просторі.

Основні фігури у просторі.

Площина - геометрична фігура, що простягається необмежено на всі боки

Позначення точок та приклади їх моделей.

Крапки позначаються великими латинськими літерами А, В, С, …

Прикладами моделей точок є:

атоми та молекули

планети в масштабах всесвіту

Позначення прямих.

• Прямі позначаються:
• малими латинськими літерами a, b, c, d, e, k, …
• двома великими латинськими літерами AB, CD...

Приклади прямих моделей.

Прикладами моделей прямих можуть бути:

інверсійні сліди літаків

Позначення площин та приклади їх моделей.

Площини позначаються грецькими буквами α, β, γ,…

Прикладами моделей площин можуть бути:

поверхня води

поверхня столу

Що ще вивчає стереометрію?

Поряд із точкою, прямою і площиною стереометрія вивчає геометричні тіла та їх поверхні.

Навколишні предмети і геометричні тіла.

Навколишні предмети дають уявлення про геометричні тіла.

А вивчаючи властивості геометричних фігур - уявних об'єктів, ми отримуємо відомості про геометричні властивості реальних предметів і можемо використовувати ці властивості практичної діяльності.

кристали-багатогранники

жерстяна банка - циліндр

упаковка для цукерок - конус

Зображення геометричних тіл на кресленнях.

• Зображенням просторової фігури є її проекція на ту чи іншу площину.
• Невидимі частини фігури є штриховими лініями.

Практичне (прикладне) значення стереометрії.

• Геометричні тіла є вигаданими об'єктами
• Вивчаючи властивості геометричних фігур, ми отримуємо уявлення про геометричні властивості реальних предметів (їхню форму, взаємне розташування тощо)
• Стереометрія широко використовується в будівельній справі, архітектурі, машинобудуванні та інших галузях науки та техніки.

Аксіоми стереометрії.

• Аксіома- це твердження про властивості геометричних фігур, приймається як вихідні положення, на основі яких доводяться далі теореми і взагалі будується вся геометрія.

Аксіоми стереометрії.

А1 . Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площину і до того ж лише одна.

Аксіоми стереометрії.

А2 . Якщо дві точки прямої лежать у площині, то всі точки цієї прямої лежать у цій площині.

У такому разі кажуть, що пряма лежить у площині чи площина проходить через пряму.

Аксіоми стереометрії.

А3. Якщо дві площини мають спільну точку, всі вони мають спільну пряму, де лежать все загальні точки цих площин.

Кажуть, що площини перетинаються прямою

Наслідки із аксіом.

Теорема 1: Через пряму і не лежачу на ній точку проходить площину, і лише одна.

Теорема 2: Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину, і при тому тільки одна.

Закріплення.

1.Назвіть площини, у яких лежать прямі:

Закріплення.

2. Назвіть точку перетину прямої СЕ з площиною ADB.

3. Назвіть прямі, якими перетинаються площини:

Використовувана література

• Геометрія. 10-11 класи: навч. Для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев та ін. - 21-е вид. - М: Просвітництво, 2012. - 255 с.: іл.
• Геометрія: методичний посібникдля вищих педагогічних закладів та викладачів середньої школи: ч. 2 Стереометрія / за ред. Проф. І.К. Андронова.

Вивчення математики важливе у двох відносинах:

по-перше, за сильним впливом

цієї суворої науки на розвиток розумових здібностей,

по-друге, за широтою її додатків.

М. Остроградський

Навчальне заняття з геометрії

План заняття

Перевірка домашнього завдання

Вивчення нової теми

Завдання додому

Знання - найчудовіше з володінь.

Усі прагнуть до нього, саме воно не приходить.

Ал - Біруні

Вивчення нової теми

• Історія геометрії
• Основні поняття геометрії
• Аксіоми стереометрії
• Наслідки з аксіом

Цілі і завдання

• Оперувати поняттями точка, пряма, площина, простір.
• Познайомитися з аксіомами стереометрії та їх наслідками.
• Застосовувати аксіоми під час вирішення завдань.

Історія геометрії

1 Зародження та визначення геометрії

2 Основні етапи розвитку геометрії

Основні поняття у геометрії

Геометрія― частина математики, що представляє науку про просторові відносини та форми тіл; наука про фігури та перетворення фігур.

Теорема -твердження, яке встановлюється за допомогою доказу.

Аксіома- становище, яке приймається без логічного доказу через безпосередню переконливість.

Основні поняття геометрії

Геометрія

Планіметрія

Стереометрія

розділ геометрії, в якому вивчаються фігури, розташовані у просторі та властивості цих фігур.

розділ геометрії, у якому вивчаються властивості геометричних постатей на площині.

Основні поняття геометрії

Планіметрія

Площина

Точка, крапка

Пряма

Простір

Стереометрія

Основні поняття геометрії

Площина― це модель ідеально рівної та гладкої поверхні, нескінченно продовженої на всі боки.

Основні поняття геометрії

Класична модель простору – тривимірний евклідовий простір.

Простір- Це безліч, елементами якого є точки і в якому виконується система аксіом стереометрії, що описує властивості точок, прямих та площин.

Основні поняття геометрії

Теореми стереометрії

Аксіоми стереометрії

Аксіома 1 (аксіома приладдя прямий)

Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма лежить у цій площині.

Аксіоми стереометрії

Аксіома 2 (аксіома про перетин площин)

Якщо дві площини мають хоча б одну загальну точку, то вони перетинаються прямою, що проходить через цю точку.

Аксіоми стереометрії

Аксіома про три точки

Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.

Аксіоми стереометрії

Аксіома наступності

У просторі є площини. У будь-якій площині виконуються всі аксіоми, отже, і всі теореми планіметрії.

Наслідки з аксіом

Теорема 1

Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину і притому тільки одну.

Наслідки з аксіом

Теорема 2

Через дві паралельні прямі можна провести площину і лише одну.

Наслідки з аксіом

Теорема 3

Через будь-яку пряму точку, що не належить їй, можна провести площину, і притому тільки одну.

Наслідки з аксіом

Зауваження

Через будь-яку пряму в просторі можна провести безліч площин.

Занадто розкиданий розум до розуміння речей не здатний.

Д. Кардано

Аксіома 1

Аксіома 2

Аксіома 3

Аксіома 4

Аксіоми стереометрії

У просторі є площини.

У будь-якій площині виконуються всі аксіоми, отже, і всі теореми планіметрії .

Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.

Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма лежить у цій площині.

Якщо дві площини мають хоча б одну загальну точку, то вони перетинаються прямою, що проходить через цю точку.

Аксіоми стереометрії описують:

Спосіб завдання площини

Наслідки з аксіом

Через будь-яку пряму і неналежну їй точку можна провести площину, і до того ж лише одну

Через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину і притому тільки одну

Через дві паралельні прямі можна провести площину і лише одну

Способи завдання площини

Площина можна провести через три точки

Можна провести через пряму і не лежачу на ній точку

Можна провести через дві прямі, що перетинаються.

Теорема 1

Теорема 3

Аксіома 3

Чи правда, що будь-які чотири точки не лежать в одній площині?

Чи вірно, що через будь-які три точки проходить площину і до того ж одна?

Точки А, В, С, Д не лежать в одній площині, чи можуть якісь три з них лежати на одній прямій?

Чи можуть дві площини мати лише одну загальну точку?

Чи можуть дві площини мати лише дві загальні точки?

Точки А, В, С, Д не лежать в одній площині, чи прямі АВ і СД можуть перетинатися?

Чи можуть дві площини мати лише одну спільну пряму?

Чи правильне твердження, що якщо дві точки кола лежать у площині, то й усе коло лежить у цій площині?

Чи правильне твердження, що якщо три точки кола лежать у площині, то і все коло лежить у цій площині?

1) чотири точки, що лежать у площині SAB , у площині АВС;

2) площину, у якій лежить пряма MN, пряма КМ;

3) пряму, якою перетинаються площини ASC і SBC , площини SAC і CAB .

Користуючись цим малюнком, назвіть:

1) площини, що містять пряму DE, пряму EF;

2) дві площини, які перетинає пряма SB; пряма AC.

B 1

C 1

A 1

D 1

Користуючись цим малюнком, назвіть:

1) пряму, якою перетинаються площини BCD і AA 1 D 1 ; площини ADC і A 1 B 1 B;

2) площину, що не перетинається з прямою CD 1 ; з прямою BC 1

Усі мистецтва тяжіють до музики; всі науки – до математики.

Дж. Сантаяна

Наші знання ніколи не можуть мати кінця саме тому, що предмет пізнання нескінченний.

Б. Паскаль

Слайд 1

Методична розробка Савченко О.М. МОУ гімназія №1, м. Полярні Зорі, Мурманської обл.
Предмет стереометрії
Аксіоми стереометрії
Геометрія 10 клас

Слайд 2

Планіметрія
Стереометрія
Вивчає властивості геометричних фігур на площині
Вивчає властивості фігур у просторі
У перекладі з грецької слово "геометрія" означає "землемірство" "гео" - по-грецьки земля, "метрео" - міряти
Слово «стереометрія» походить від грецьких слів «стереос» об'ємний, просторовий, «метрео» – міряти

Слайд 3

Планіметрія
Стереометрія
Поряд із цими фігурами ми розглядатимемо геометричні тіла та їх поверхні. Наприклад, багатогранники. Куб, паралелепіпед, призма, піраміда. Тіла обертання. Куля, сфера, циліндр, конус.
Основні фігури: точка, пряма
Основні фігури: точка, пряма, площина
Інші фігури: відрізок, промінь, трикутник, квадрат, ромб, паралелограм, трапеція, прямокутник, опуклі та неопуклі n-кутники, коло, коло, дуга та ін.

Слайд 4

Для позначення точок використовуємо великі латинські літери
Для позначення прямих використовуємо малі латинські літери
Або позначаємо пряму двома великими латинськими літерами.

Слайд 5

Площини позначатимемо грецькими літерами.
На малюнках площини позначаються як паралелограмів. Площина як геометричну фігуру слід уявляти, що тягнеться необмежено на всі боки.

Слайд 6

Слайд 7

При вивченні просторових фігур, зокрема геометричних тіл, користуються їх плоскими зображеннями на кресленні. Зображенням просторової фігури є її проекція на ту чи іншу площину. Одна й та сама фігура допускає різні зображення.
Різні зображення конуса

Слайд 8

Стереометрія широко використовується у будівельній справі, архітектурі, машинобудуванні, геодезії, у багатьох інших галузях науки та техніки.
При проектуванні цієї машини важливо було отримати таку форму, щоб під час руху опір повітря був мінімальним.

Слайд 9

Оперний театр у Сіднеї
Данський архітектор Йорн Утцон був натхненний видом вітрил.

Слайд 10

Ейфелева вежа Париж, Марсове поле
Інженер Ґюстав Ейфель знайшов незвичайну форму для свого проекту. Ейфелева вежа дуже влаштовує: сильний вітервідхиляє її вершину лише на 10-12 см. У спеку від нерівномірного нагрівання сонячними променями вона може відхилитися на 18 см.

Слайд 11

18000 залізних деталей скріплюються 2500000 заклепками

Слайд 12

Оригінальна ідея для будівництва вежі була знайдена архітекторами Л. Баталовим та Д. Бурдіним за участю конструктора Н. Нікітіна. Усередині циліндричних бетонних блоків натягнуті металеві троси. Така конструкція надзвичайно стійка.
Теоретичне відхилення вершини вежі за максимальних розрахункових швидкостях вітру близько 12 метрів.

Слайд 13

Основні властивості точок, прямих та площин виражені в аксіомах. З безлічі аксіом ми сформулюємо лише три.
А1. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площину, і до того ж лише одна.
Ілюстрація до аксіоми А1: скляна пластинка щільно ляже на три точки А, В та С, що не лежать на одній прямій.
A
B
C

Слайд 14

Ілюстрації до аксіоми А1 із життя.
Табурет з трьома ніжками завжди ідеально стане на підлогу і не гойдатиметься. У табурету з чотирма ніжками бувають проблеми зі стійкістю, якщо ніжки випорожнення не однакові по довжині. Табурет хитається, тобто спирається на три ніжки, а четверта ніжка (четверта «крапка») не лежить у площині підлоги, а висить у повітрі.
Для відеокамери, фотозйомки та інших приладів часто використовують штатив – триногу. Три ніжки штатива стійко розташуються на будь-якій підлозі в приміщеннях, на асфальті або прямо на газоні на вулиці, на піску на пляжі або в траві в лісі. Три ніжки штатива завжди знайдуть площину.

Слайд 15

Про
А
В
Побудова прямих кутів на місцевості за допомогою найпростішого приладу, який називається екер.
Триножник з екером.

Слайд 16

a
А2. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то всі точки прямої лежать у цій площині.
A
B

Слайд 17

Властивість, виражене в аксіомі А2, використовується для перевірки рівності креслярської лінійки. Лінійку прикладають краєм до плоскої поверхні столу. Якщо край лінійки рівний, він усіма своїми точками прилягає до поверхні столу. Якщо край нерівний, то в якихось місцях між ним та поверхнею столу утворюється просвіт.

Слайд 18

З аксіоми А2 випливає, що якщо пряма не лежить у даній площині, вона має з нею не більше однієї загальної точки. Якщо пряма та площина мають лише одну загальну точку, то кажуть, що вони перетинаються.

Слайд 19

a
А3. Якщо дві площини мають спільну точку, всі вони мають спільну пряму, де лежать все загальні точки цих площин.
В цьому випадку кажуть, що площини перетинаються прямою.

Слайд 20

Наочною ілюстрацією аксіоми А3 є перетин двох суміжних стін, стіни та стелі класної кімнати.

Слайд 21

А1. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площину, і до того ж лише одна.

Слайд 22

Теорема
Через пряму і не лежачу на ній точку проходить площину, і до того ж тільки одна.
М
a

Слайд 23

Деякі наслідки з аксіом.
Теорема
Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину, і притому тільки одна
М
a
b
N

Слайд 24

Тренувальні вправи
Назвіть площини, в яких прямі РЕ МК DB AB EC
P
E
A
B
C
D
M
K

Слайд 25

Тренувальні вправи
Назвіть точки перетину прямої DK із площиною АВС, прямої СЕ із площиною АDB.
P
E
A
B
C
D

Шкільний курс геометрії складається із двох частин:

Основні поняття

Поряд з точками, прямими, площинами в стереометрії розглядаються геометричні тіла, вивчаються їх властивості, обчислюються площі їх

Об'ємні геометричні тіла

Крапки позначаються великими латинськими літерами А, В, С, D, Е, К,...

Стереометрія широко використовується у будівельній справі

Стереометрія використовується в архітектурі

Стереометрія використовується у машинобудуванні

Стереометрія використовується у геодезії

Ясно, що в кожній площині лежать якісь точки простору, але не всі точки простору лежать в одній площині.

Аксіоми стереометрії

Деякі наслідки з аксіом